Calculadora de Z-Score para Análise Estatística e Dados

Calculadora de Z-Score

Introdução

O z-score (ou escore padrão) é uma medida estatística que descreve a relação de um valor com a média de um grupo de valores. Indica quantos desvios padrão um elemento está distante da média. O z-score é uma ferramenta crucial em estatística, permitindo a padronização de diferentes conjuntos de dados e a identificação de outliers.

Fórmula

O z-score é calculado usando a seguinte fórmula:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Onde:

$z$ = z-score
$x$ = ponto de dados individual
$\mu$ = média do conjunto de dados
$\sigma$ = desvio padrão do conjunto de dados

Esta fórmula calcula o número de desvios padrão que um ponto de dados está distante da média.

Cálculo

Para calcular o z-score de um ponto de dados:

Calcule a Média ( $\mu$ ):

Some todos os pontos de dados e divida pelo número de pontos de dados.
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
Calcule o Desvio Padrão ( $\sigma$ ):
- Variância ( $\sigma^2$ ):
  $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}$
- Desvio Padrão:
  $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Calcule o Z-Score:

Substitua os valores na fórmula do z-score.
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Casos Limite

Desvio Padrão Zero ( $\sigma = 0$ ):

Quando todos os pontos de dados são idênticos, o desvio padrão é zero, tornando o z-score indefinido, pois não se pode dividir por zero. Nesse caso, o conceito de z-score não se aplica.
Ponto de Dados Igual à Média ( $x = \mu$ ):

Se o ponto de dados for igual à média, o z-score é zero, indicando que é exatamente a média.
Entradas Não Numéricas:

Certifique-se de que todas as entradas são numéricas. Entradas não numéricas resultarão em erros de cálculo.

Probabilidade Cumulativa

A probabilidade cumulativa associada a um z-score representa a probabilidade de que uma variável aleatória de uma distribuição normal padrão seja menor ou igual ao valor dado. É a área sob a curva de distribuição normal à esquerda do z-score especificado.

Matematicamente, a probabilidade cumulativa $P$ é calculada usando a função de distribuição cumulativa (CDF) da distribuição normal padrão:

P(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Onde:

$\Phi(z)$ = CDF da distribuição normal padrão em $z$

A probabilidade cumulativa é essencial em estatística para determinar a probabilidade de um valor ocorrer dentro de um determinado intervalo. É amplamente utilizada em áreas como controle de qualidade, finanças e ciências sociais.

Diagrama SVG

Abaixo está um diagrama SVG ilustrando a curva de distribuição normal padrão e o z-score:

μ x z

Distribuição Normal Padrão

Figura: Curva de Distribuição Normal Padrão com Z-Score Sombreada

Este diagrama mostra a curva de distribuição normal com a média $\mu$ no centro. A área sombreada representa a probabilidade cumulativa até o ponto de dados $x$ , correspondente ao z-score.

Casos de Uso

Aplicações

Padronização Entre Diferentes Escalas:

Z-scores permitem comparação entre dados de diferentes escalas ao padronizar os conjuntos de dados.
Detecção de Outliers:

Identificação de pontos de dados que estão significativamente distantes da média (por exemplo, z-scores menores que -3 ou maiores que 3).
Teste Estatístico:

Usado em testes de hipótese, incluindo testes z, para determinar se uma média de amostra difere significativamente de uma média populacional conhecida.
Controle de Qualidade:

Na fabricação, z-scores ajudam a monitorar processos para garantir que os resultados permaneçam dentro de limites aceitáveis.
Finanças e Investimentos:

Avaliando o desempenho de ações comparando retornos em relação ao desempenho médio do mercado.

Alternativas

T-Score:

Semelhante ao z-score, mas usado quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão populacional é desconhecido.
Classificação Percentil:

Indica a porcentagem de pontuações em sua distribuição de frequência que são iguais ou inferiores a ela.
Unidades de Desvio Padrão:

Usando valores de desvio padrão bruto sem padronizar como z-scores.

História

O conceito de z-score deriva do trabalho sobre a distribuição normal por Carl Friedrich Gauss no início do século XIX. A distribuição normal padrão, fundamental para os z-scores, foi desenvolvida ainda mais por estatísticos como Abraham de Moivre e Pierre-Simon Laplace. O uso de z-scores se tornou generalizado com o avanço dos métodos estatísticos no século XX, particularmente em testes psicológicos e controle de qualidade.

Exemplos

Excel

1## Calcular z-score no Excel
2## Supondo que o ponto de dados esteja na célula A2, a média na célula B2 e o desvio padrão na célula C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## Calcular z-score em R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("O desvio padrão não pode ser zero.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## Exemplo de uso:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("Z-score:", z_score))
16

MATLAB

1% Calcular z-score em MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('O desvio padrão não pode ser zero.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% Exemplo de uso:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('Z-score: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// Calcular z-score em JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('O desvio padrão não pode ser zero.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// Exemplo de uso:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`Z-score: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## Calcular z-score em Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("O desvio padrão não pode ser zero.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## Exemplo de uso:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("Z-score:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// Calcular z-score em Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("O desvio padrão não pode ser zero.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("Z-score: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// Calcular z-score em C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("O desvio padrão não pode ser zero.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "Z-score: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## Calcular z-score em Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "O desvio padrão não pode ser zero." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## Exemplo de uso:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "Z-score: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// Calcular z-score em PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("O desvio padrão não pode ser zero.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// Exemplo de uso:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "Z-score: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// Calcular z-score em Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("O desvio padrão não pode ser zero.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("Z-score: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// Calcular z-score em C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("O desvio padrão não pode ser zero.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"Z-score: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// Calcular z-score em Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("o desvio padrão não pode ser zero")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("Z-score: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// Calcular z-score em Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "O desvio padrão não pode ser zero.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// Exemplo de uso:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("Z-score: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

Referências

Escore Padrão - Wikipedia

https://pt.wikipedia.org/wiki/Escore_padr%C3%A3o
Compreendendo Z-Scores - Statistics Solutions

https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/
Distribuição Normal e Z-Scores - Khan Academy

https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Recursos Adicionais

Calculadora Interativa de Z-Score

https://www.socscistatistics.com/pvalues/normaldistribution.aspx
Visualizando a Distribuição Normal

https://seeing-theory.brown.edu/normal-distribution/index.html

Calculadora de Z-Score para Análise Estatística e Dados

Documentação