🛠️

Whiz Tools

Build • Create • Innovate

เครื่องคิดเลขสำหรับคำนวณ Z-Score และการวิเคราะห์

คำนวณ z-score (คะแนนมาตรฐาน) สำหรับข้อมูลใด ๆ โดยกำหนดตำแหน่งของมันเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเฉลี่ยโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เหมาะสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติและการทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐาน

📚

เอกสารประกอบ

Z-Score Calculator

Introduction

z-score (หรือคะแนนมาตรฐาน) เป็นการวัดทางสถิติที่อธิบายความสัมพันธ์ของค่าใดค่าหนึ่งกับค่าเฉลี่ยของกลุ่มค่า มันบ่งบอกว่ามีการเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คะแนน z เป็นเครื่องมือที่สำคัญในสถิติ ช่วยให้สามารถทำให้ชุดข้อมูลที่แตกต่างกันมีมาตรฐานเดียวกันและสามารถระบุค่าที่ผิดปกติได้

Formula

คะแนน z ถูกคำนวณโดยใช้สูตรดังต่อไปนี้:

z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

โดยที่:

  • zz = คะแนน z
  • xx = จุดข้อมูลแต่ละจุด
  • μ\mu = ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล
  • σ\sigma = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล

สูตรนี้คำนวณจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่จุดข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย

Calculation

ในการคำนวณคะแนน z ของจุดข้อมูล:

  1. คำนวณค่าเฉลี่ย (μ\mu):

    รวมจุดข้อมูลทั้งหมดและหารด้วยจำนวนจุดข้อมูล

    μ=i=1nxin\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
  2. คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ\sigma):

    • ความแปรปรวน (σ2\sigma^2):

      σ2=i=1n(xiμ)2n\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}
    • ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

      σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}
  3. คำนวณคะแนน Z:

    แทนค่าลงในสูตรคะแนน z

    z=xμσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Edge Cases

  • ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ (σ=0\sigma = 0):

    เมื่อจุดข้อมูลทั้งหมดเหมือนกัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นศูนย์ ทำให้คะแนน z ไม่สามารถกำหนดค่าได้เพราะไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ในกรณีนี้แนวคิดของคะแนน z จะไม่สามารถใช้ได้

  • จุดข้อมูลเท่ากับค่าเฉลี่ย (x=μx = \mu):

    หากจุดข้อมูลเท่ากับค่าเฉลี่ย คะแนน z จะเป็นศูนย์ ซึ่งบ่งบอกว่ามันอยู่ในระดับเฉลี่ย

  • ข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลข:

    ต้องมั่นใจว่าข้อมูลทั้งหมดเป็นตัวเลข ข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลขจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ

Cumulative Probability

ความน่าจะเป็นสะสม ที่เกี่ยวข้องกับคะแนน z แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงปกติมาตรฐานจะน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่กำหนด มันคือพื้นที่ใต้กราฟการแจกแจงปกติทางซ้ายของคะแนน z ที่ระบุ

ทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นสะสม PP จะถูกคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน:

P(Zz)=Φ(z)=12πzet2/2dtP(Z \leq z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

โดยที่:

  • Φ(z)\Phi(z) = CDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐานที่ zz

ความน่าจะเป็นสะสมเป็นสิ่งสำคัญในสถิติสำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นที่ค่าจะเกิดขึ้นภายในช่วงที่กำหนด มันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการควบคุมคุณภาพ การเงิน และวิทยาศาสตร์สังคม

SVG Diagram

ด้านล่างนี้เป็นแผนภาพ SVG ที่แสดงกราฟการแจกแจงปกติมาตรฐานและคะแนน z:

μ x z

Standard Normal Distribution

รูปภาพ: กราฟการแจกแจงปกติมาตรฐานพร้อมคะแนน Z ที่ถูกทำให้มองเห็น

แผนภาพนี้แสดงกราฟการแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย μ\mu อยู่ตรงกลาง พื้นที่ที่ถูกทำให้มองเห็นแสดงถึงความน่าจะเป็นสะสมจนถึงจุดข้อมูล xx ซึ่งสอดคล้องกับคะแนน z

Use Cases

Applications

  • การทำให้มาตรฐานในระดับที่แตกต่างกัน:

    คะแนน z ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบระหว่างข้อมูลจากระดับที่แตกต่างกันโดยการทำให้ชุดข้อมูลมีมาตรฐานเดียวกัน

  • การตรวจจับค่าผิดปกติ:

    การระบุจุดข้อมูลที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยอย่างมีนัยสำคัญ (เช่น คะแนน z น้อยกว่า -3 หรือมากกว่า 3)

  • การทดสอบทางสถิติ:

    ใช้ในการทดสอบสมมติฐาน รวมถึง z-tests เพื่อตรวจสอบว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่างแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากค่าเฉลี่ยของประชากรที่รู้จักหรือไม่

  • การควบคุมคุณภาพ:

    ในการผลิต คะแนน z ช่วยในการตรวจสอบกระบวนการเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ยังคงอยู่ในขอบเขตที่ยอมรับได้

  • การเงินและการลงทุน:

    การประเมินผลการดำเนินงานของหุ้นโดยการเปรียบเทียบผลตอบแทนกับผลการดำเนินงานเฉลี่ยของตลาด

Alternatives

  • T-Score:

    คล้ายกับคะแนน z แต่ใช้เมื่อขนาดตัวอย่างเล็กและไม่ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

  • Percentile Rank:

    แสดงถึงเปอร์เซ็นต์ของคะแนนในการแจกแจงความถี่ที่เท่ากับหรือต่ำกว่ามัน

  • หน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

    ใช้ค่ามาตรฐานส่วนเบี่ยงเบนโดยไม่ทำให้เป็นมาตรฐานเป็นคะแนน z

History

แนวคิดของคะแนน z เกิดจากงานเกี่ยวกับการแจกแจงปกติโดย Carl Friedrich Gauss ในต้นศตวรรษที่ 19 การแจกแจงปกติมาตรฐานซึ่งเป็นพื้นฐานของคะแนน z ได้รับการพัฒนาต่อโดยนักสถิติ เช่น Abraham de Moivre และ Pierre-Simon Laplace การใช้คะแนน z ได้รับความนิยมอย่างแพร่หลายพร้อมกับความก้าวหน้าของวิธีการทางสถิติในศตวรรษที่ 20 โดยเฉพาะในการทดสอบทางจิตวิทยาและการควบคุมคุณภาพ

Examples

Excel

1## คำนวณคะแนน z ใน Excel
2## สมมติว่าจุดข้อมูลอยู่ในเซลล์ A2 ค่าเฉลี่ยอยู่ในเซลล์ B2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ในเซลล์ C2
3=(A2 - B2) / C2
4

R

1## คำนวณคะแนน z ใน R
2calculate_z_score <- function(x, mean, sd) {
3  if (sd == 0) {
4    stop("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.")
5  }
6  z <- (x - mean) / sd
7  return(z)
8}
9
10## ตัวอย่างการใช้งาน:
11x <- 85
12mu <- 75
13sigma <- 5
14z_score <- calculate_z_score(x, mu, sigma)
15print(paste("คะแนน Z:", z_score))
16

MATLAB

1% คำนวณคะแนน z ใน MATLAB
2function z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
3    if sigma == 0
4        error('ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.');
5    end
6    z = (x - mu) / sigma;
7end
8
9% ตัวอย่างการใช้งาน:
10x = 90;
11mu = 80;
12sigma = 8;
13z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
14fprintf('คะแนน Z: %.2f\n', z);
15

JavaScript

1// คำนวณคะแนน z ใน JavaScript
2function calculateZScore(x, mu, sigma) {
3  if (sigma === 0) {
4    throw new Error('ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.');
5  }
6  return (x - mu) / sigma;
7}
8
9// ตัวอย่างการใช้งาน:
10const x = 100;
11const mu = 85;
12const sigma = 7;
13try {
14  const z = calculateZScore(x, mu, sigma);
15  console.log(`คะแนน Z: ${z.toFixed(2)}`);
16} catch (error) {
17  console.error(error.message);
18}
19

Python

1## คำนวณคะแนน z ใน Python
2def calculate_z_score(x, mu, sigma):
3    if sigma == 0:
4        raise ValueError("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.")
5    return (x - mu) / sigma
6
7## ตัวอย่างการใช้งาน:
8x = 95
9mu = 88
10sigma = 4
11try:
12    z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13    print("คะแนน Z:", round(z, 2))
14except ValueError as e:
15    print(e)
16

Java

1// คำนวณคะแนน z ใน Java
2public class ZScoreCalculator {
3    public static double calculateZScore(double x, double mu, double sigma) {
4        if (sigma == 0) {
5            throw new IllegalArgumentException("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.");
6        }
7        return (x - mu) / sigma;
8    }
9
10    public static void main(String[] args) {
11        double x = 110;
12        double mu = 100;
13        double sigma = 5;
14
15        try {
16            double z = calculateZScore(x, mu, sigma);
17            System.out.printf("คะแนน Z: %.2f%n", z);
18        } catch (IllegalArgumentException e) {
19            System.err.println(e.getMessage());
20        }
21    }
22}
23

C/C++

1// คำนวณคะแนน z ใน C++
2#include <iostream>
3#include <stdexcept>
4
5double calculate_z_score(double x, double mu, double sigma) {
6    if (sigma == 0) {
7        throw std::invalid_argument("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.");
8    }
9    return (x - mu) / sigma;
10}
11
12int main() {
13    double x = 130;
14    double mu = 120;
15    double sigma = 10;
16
17    try {
18        double z = calculate_z_score(x, mu, sigma);
19        std::cout << "คะแนน Z: " << z << std::endl;
20    } catch (const std::exception &e) {
21        std::cerr << e.what() << std::endl;
22    }
23
24    return 0;
25}
26

Ruby

1## คำนวณคะแนน z ใน Ruby
2def calculate_z_score(x, mu, sigma)
3  raise ArgumentError, "ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้." if sigma == 0
4  (x - mu) / sigma
5end
6
7## ตัวอย่างการใช้งาน:
8x = 105
9mu = 100
10sigma = 5
11begin
12  z = calculate_z_score(x, mu, sigma)
13  puts "คะแนน Z: #{z.round(2)}"
14rescue ArgumentError => e
15  puts e.message
16end
17

PHP

1<?php
2// คำนวณคะแนน z ใน PHP
3function calculate_z_score($x, $mu, $sigma) {
4  if ($sigma == 0) {
5    throw new Exception("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.");
6  }
7  return ($x - $mu) / $sigma;
8}
9
10// ตัวอย่างการใช้งาน:
11$x = 115;
12$mu = 110;
13$sigma = 5;
14
15try {
16  $z = calculate_z_score($x, $mu, $sigma);
17  echo "คะแนน Z: " . round($z, 2);
18} catch (Exception $e) {
19  echo $e->getMessage();
20}
21?>
22

Rust

1// คำนวณคะแนน z ใน Rust
2fn calculate_z_score(x: f64, mu: f64, sigma: f64) -> Result<f64, String> {
3    if sigma == 0.0 {
4        return Err("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.".to_string());
5    }
6    Ok((x - mu) / sigma)
7}
8
9fn main() {
10    let x = 125.0;
11    let mu = 115.0;
12    let sigma = 5.0;
13
14    match calculate_z_score(x, mu, sigma) {
15        Ok(z) => println!("คะแนน Z: {:.2}", z),
16        Err(e) => println!("{}", e),
17    }
18}
19

C#

1// คำนวณคะแนน z ใน C#
2using System;
3
4public class ZScoreCalculator
5{
6    public static double CalculateZScore(double x, double mu, double sigma)
7    {
8        if (sigma == 0)
9            throw new ArgumentException("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.");
10        return (x - mu) / sigma;
11    }
12
13    public static void Main()
14    {
15        double x = 135;
16        double mu = 125;
17        double sigma = 5;
18
19        try
20        {
21            double z = CalculateZScore(x, mu, sigma);
22            Console.WriteLine($"คะแนน Z: {z:F2}");
23        }
24        catch (ArgumentException e)
25        {
26            Console.WriteLine(e.Message);
27        }
28    }
29}
30

Go

1// คำนวณคะแนน z ใน Go
2package main
3
4import (
5    "errors"
6    "fmt"
7)
8
9func calculateZScore(x, mu, sigma float64) (float64, error) {
10    if sigma == 0 {
11        return 0, errors.New("ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้")
12    }
13    return (x - mu) / sigma, nil
14}
15
16func main() {
17    x := 140.0
18    mu := 130.0
19    sigma := 5.0
20
21    z, err := calculateZScore(x, mu, sigma)
22    if err != nil {
23        fmt.Println(err)
24    } else {
25        fmt.Printf("คะแนน Z: %.2f\n", z)
26    }
27}
28

Swift

1// คำนวณคะแนน z ใน Swift
2func calculateZScore(x: Double, mu: Double, sigma: Double) throws -> Double {
3    if sigma == 0 {
4        throw NSError(domain: "ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่สามารถเป็นศูนย์ได้.", code: 1, userInfo: nil)
5    }
6    return (x - mu) / sigma
7}
8
9// ตัวอย่างการใช้งาน:
10let x = 120.0
11let mu = 110.0
12let sigma = 5.0
13
14do {
15    let z = try calculateZScore(x: x, mu: mu, sigma: sigma)
16    print("คะแนน Z: \(String(format: "%.2f", z))")
17} catch let error as NSError {
18    print(error.domain)
19}
20

References

  1. คะแนนมาตรฐาน - Wikipedia

    https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score

  2. การทำความเข้าใจคะแนน Z - Statistics Solutions

    https://www.statisticssolutions.com/understanding-z-scores/

  3. การแจกแจงปกติและคะแนน Z - Khan Academy

    https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review

Additional Resources

🔗

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

ค้นพบเครื่องมือเพิ่มเติมที่อาจมีประโยชน์สำหรับการทำงานของคุณ

เครื่องคิดเลข Z-Test สำหรับการทดสอบทางสถิติ

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคำนวณคะแนน Z ของ Altman สำหรับการประเมินความเสี่ยง

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคิดเลขสำหรับการทดสอบ T-Test ทุกประเภท

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคิดเลขสำหรับคำนวณคะแนนดิบและสถิติ

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคำนวณค่าที่สำคัญสำหรับการทดสอบทางสถิติ

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคำนวณกราฟกล่องและหนวดสำหรับการวิเคราะห์

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคำนวณความสำคัญทางสถิติสำหรับการทดสอบ A/B

ลองเครื่องมือนี้

ตัวแปลงช่วงความเชื่อมั่นเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ลองเครื่องมือนี้

เครื่องคำนวณ Six Sigma: วัดคุณภาพกระบวนการของคุณ

ลองเครื่องมือนี้