拱形计算器 - 计算半径、跨度和拱高

什么是拱形计算器？

拱形计算器可以根据半径、跨度和拱高中的任意两个尺寸，计算出第三个尺寸。它还可以算出弧长和拱形面积。建筑师、建造者和业余爱好者使用它来规划门口、窗户、桥梁以及弯曲形状的园林构筑物。

拱形的关键尺寸

圆拱是从圆周边缘截取的一部分。五项测量值可以描述它的形状：

• 半径：从该圆的圆心到拱形曲线上任意一点的距离。
• 跨度：拱形底部两个端点之间的水平直线距离，也称宽度。
• 拱高：从起拱线（连接两个端点的水平线）到拱形最高点的垂直距离。
• 弧长：沿拱形曲线从一端到另一端的距离。
• 拱形面积：拱形与起拱线之间所围成的曲线区域面积。

拱形尺寸公式

这些公式适用于圆拱，即由同一个圆的一段圆弧构成的拱。对于不超过半径两倍的任何拱高，公式都成立。这个范围涵盖了大多数人计算的门口、窗户和桥梁拱，也涵盖马蹄拱，即曲线延伸超过半圆的拱。

拱高公式（根据半径和跨度）

$\text{拱高} = \text{半径} - \sqrt{\text{半径}^2 - \left(\frac{\text{跨度}}{2}\right)^2}$

当半径和跨度为正数，且跨度 ≤ 2 × 半径时有效。

半径公式（根据跨度和拱高）

$\text{半径} = \frac{\text{跨度}^2}{8 \times \text{拱高}} + \frac{\text{拱高}}{2}$

当跨度和拱高为正数时有效。

跨度公式（根据半径和拱高）

$\text{跨度} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{半径} \times \text{拱高} - \text{拱高}^2}$

当半径和拱高为正数，且拱高 ≤ 2 × 半径时有效。

弧长公式

$\text{弧长} = \text{半径} \times \theta$

其中，θ（theta）为圆心角，单位为弧度，表示拱形曲线在圆心处所对应的角度。当拱高不大于半径时，拱形至多为半圆，此时θ为：

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

当拱高大于半径时，拱形超过半圆，θ为圆周剩余部分所对应的角度：

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

计算器用一个步骤处理这两种情况：θ = 2 × atan2(跨度 ÷ 2，半径 − 拱高)，即使在半圆情况下也能保持精确。

拱形面积公式

$\text{拱形面积} = \frac{1}{2} \times \text{半径}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{跨度} \times (\text{半径} - \text{拱高})$

如何使用拱形计算器

计算器提供三种模式，分别对应可能缺少的三种尺寸。

计算拱高：已知半径和跨度时，输入半径和跨度。工具会返回拱高、弧长和拱形面积。

计算半径：已知跨度和拱高时，输入跨度和拱高。工具会返回半径、弧长和拱形面积。

计算跨度：已知半径和拱高时，输入半径和拱高。工具会返回跨度、弧长和拱形面积。

计算器会拒绝无法构成实际拱形的输入。跨度不能超过半径的两倍，拱高不能超过半径的两倍，并且每个尺寸都必须是正数。当某个值违反这些规则时，计算器会显示错误消息。

算例

示例 1：门拱

一个门拱的跨度为 36 英寸 (91.4 cm)，拱高为 12 英寸 (30.5 cm)。

半径 = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5 英寸 (49.5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352 弧度

弧长 = 19.5 × 2.352 = 45.86 英寸 (116 cm)

拱形面积 = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18 平方英寸 (2,010 cm²)

示例 2：花园拱

一个花园拱的半径为 4 英尺 (1.2 m)，跨度为 6 英尺 (1.8 m)。

拱高 = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35 英尺 (0.411 m)

θ = 2 × 反正弦(3 ÷ 4) = 2 × 反正弦(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696 弧度

弧长 = 4 × 1.696 = 6.78 英尺 (2.07 m)

拱形面积 = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63 平方英尺 (0.523 m²)

示例 3：桥拱

一个桥拱的跨度为 50 英尺 (15 m)，拱高为 15 英尺 (4.57 m)。

半径 = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33 英尺 (8.63 m)

θ = 2 × 反正弦(25 ÷ 28.33) = 2 × 反正弦(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162 弧度

弧长 = 28.33 × 2.162 = 61.25 英尺 (18.7 m)

拱形面积 = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34 平方英尺 (49.6 m²)

拱形计算的常见用途

建造者使用拱形尺寸来制作混凝土拱的模板、为砖砌或石砌拱放样模板，并规划拱顶的曲率。桥梁设计师使用跨度、拱高和半径，在荷载分布与净空之间取得平衡。修复工程依靠同样的公式，在修缮或重建历史拱时匹配其精确几何形状。园艺人员和自行建造者则将这些公式用于拱形棚架、入口和装饰性开口。

此计算器仅适用于圆拱，即由同一个圆的一段圆弧形成的拱。椭圆拱、抛物线拱、哥特式拱和悬链线拱遵循不同的曲线，需要使用不同的公式。

拱形简史

早在公元前 2500 年，美索不达米亚的建造者就使用了早期的拱形结构，尽管其中大多数采用叠涩砌法——逐层堆叠石块，使每层向外悬挑并覆盖下层——而不是真正的曲线拱。罗马人将半圆拱发展为标准建筑方法，并将其用于高架渠、桥梁以及斗兽场等建筑。欧洲中世纪的建造者发展出尖拱式哥特拱，使他们能够建造更高、更轻的结构。后来，建筑师又回归基于精确比例的半圆形结构；如今，钢材和钢筋混凝土等现代材料使拱能够跨越更大的距离。

常见问题

拱形中的拱高和高度有什么区别？

拱高是从起拱线到拱形曲线顶部的垂直距离。高度有时指开口的总高度，包括起拱线以下的直墙部分。

此计算器适用于所有类型的拱吗？

不适用。它仅适用于圆拱，即形状如圆的一段圆弧的拱。椭圆拱、抛物线拱、哥特式拱和悬链线拱遵循不同的曲线，需要单独的公式。

半圆拱中跨度与半径之间有什么关系？

在半圆拱中，半径等于跨度的一半，拱高等于半径。该拱正好构成一个圆的半圆。

为什么跨度不能大于半径的两倍？

等于半径两倍的跨度已经形成半圆，这是该半径下可能的最宽拱形。跨度再宽就根本无法容纳在该圆上。

为什么在计算跨度模式下，拱高不能大于半径的两倍？

拱高是从起拱线向上测量到同一个圆上拱形最高点的距离。半径的两倍是该圆的完整高度，因此更大的拱高会使拱顶完全落在圆外。拱高介于半径和半径两倍之间是可以的。此时拱形超过半圆，形成马蹄拱的形状。

计算器使用哪些单位？

任何统一的单位都可以使用——英寸、英尺、米或厘米。输入的每个值都必须使用相同单位，结果也会使用该单位，面积则使用该单位的平方。