圆形计算器：计算半径、直径、面积和周长

圆计算器

圆计算器可根据圆的半径、直径、周长和面积中的任意一个值，求出其余三个值。输入一个已知测量值，计算器会使用标准几何公式计算另外三个值。

圆是平面上到一个中心点的距离固定的所有点的集合。这个固定的距离就是半径。圆的其他基本度量（直径、周长和面积）都可以仅由半径推出。

如何使用计算器

1. 选择已知参数：半径、直径、周长或面积。
2. 输入其数值。该值必须大于或等于零；负的长度和面积在物理上没有意义。
3. 计算器显示半径、直径、周长和面积，每个值均四舍五入到小数点后两位。

允许输入零，此时四个测量值都返回零，因为半径为零的圆就是一个点。输入非数值内容时会产生验证错误，而不是返回结果。

圆的公式

设 r 表示半径，d 表示直径。常数 π（圆周率）约为 3.14159；它是圆周长与直径之比。

由半径求直径：

$d = 2r$

周长：

$C = 2\pi r = \pi d$

面积：

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

由周长求半径：

$r = \frac{C}{2\pi}$

由面积求半径：

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

已知任意一个值后，先求出半径，再应用上面的直径、周长和面积公式，即可得到其余三个值。

如何根据每个初始值计算圆的各项测量值

从半径 (r) 开始：

• 直径：d = 2r
• 周长：C = 2πr
• 面积：A = πr²

从直径 (d) 开始：

• 半径：r = d / 2
• 周长：C = πd
• 面积：A = πd² / 4

从周长 (C) 开始：

• 半径：r = C / (2π)
• 直径：d = C / π
• 面积：A = πr²

从面积 (A) 开始：

• 半径：r = √(A / π)
• 直径：d = 2r
• 周长：C = 2πr

示例

一个圆的半径为 5 个单位。

• 直径：d = 2 × 5 = 10 个单位
• 周长：C = 2π × 5 ≈ 31.42 个单位
• 面积：A = π × 5² ≈ 78.54 平方单位

同一个圆也可以用约 31.42 个单位的周长来描述。除以 2π 就得回 5 个单位的半径，直径和面积也随之得出，与前面相同。四个值中的任何一个都能确定其余三个。

几何学中的圆公式

数 π 是无理数，意思是它的小数位永不终止，也不循环。古代数学家曾对它作近似：巴比伦人和埃及人使用粗略的分数，叙拉古的阿基米德（公元前 287–212 年）用内接和外切多边形把它限定在 223/71 与 22/7 之间。威廉·琼斯于 1706 年首次以现代含义使用符号 π，莱昂哈德·欧拉于 1737 年采用它之后，它成为通用符号。现代计算器使用的 π 的小数位数，远多于任何物理测量所需要的。

圆的公式应用于许多领域，例如工程领域，用来确定管道、齿轮和车轮的尺寸；建筑领域，用来确定圆形结构所需的材料；以及天文学领域，那里的轨道常被近似为圆或椭圆。

常见问题

如何计算圆的周长？ 将半径乘以 2π，或将直径乘以 π：C = 2πr = πd。半径为 5 个单位的圆，其周长约为 31.42 个单位。

圆的面积公式是什么？ 面积等于 π 乘以半径的平方：A = πr²。半径为 5 个单位的圆，其面积约为 78.54 平方单位。

如何由周长求半径？ 用周长除以 2π（约 6.2832）。周长为 31.42 个单位时，半径为 5 个单位。

如何由面积求半径？ 用面积除以 π，再开平方：r = √(A / π)。面积为 78.54 平方单位时，半径为 5 个单位。

直径与半径之间有什么关系？ 直径始终是半径的两倍（d = 2r），半径始终是直径的一半（r = d / 2）。

圆的测量值可以使用任意单位吗？ 可以。半径、直径和周长使用相同的长度单位（例如厘米或英寸），面积则用该单位的平方表示。计算器不会进行单位换算；结果使用输入时采用的单位。

参考文献

1. MacTutor 数学史档案，圣安德鲁斯大学。A history of Pi。π 的历史 — 阿基米德的界 223/71 < π < 22/7；早期埃及和美索不达米亚的数值；威廉·琼斯于 1706 年使用 π，欧拉于 1737 年采用它。