【标题】什么是杨–拉普拉斯方程？

【段落】杨–拉普拉斯方程是流体力学中的一个公式，用于给出两种流体之间弯曲界面两侧的压强差，例如水滴表面或肥皂泡表面两侧的压强差。它表明，这一压强差取决于流体的表面张力以及界面的弯曲程度。该方程解释了液滴和气泡内部为何会积聚压强，以及较小的液滴和气泡为何比大的具有更高的内部压强。

【段落】该方程以托马斯·杨和皮埃尔–西蒙·拉普拉斯的名字命名，两人分别在1800年代初描述了这种关系。

【标题】杨–拉普拉斯方程公式

【段落】该方程的一般形式为：

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

【列表项】 $\Delta P$ 是界面两侧的压强差，单位为帕斯卡（Pa）
【列表项】 $\gamma$ （伽马）是流体的表面张力，单位为牛顿每米（N/m）
【列表项】 $R_1$ 和 $R_2$ 是表面的两个主曲率半径，单位为米（m）

【段落】表面沿不同方向的弯曲程度可能不同。 $R_1$ 和 $R_2$ 描述相互垂直的两个方向上的曲率。对于球体（例如液滴或气泡）， $R_1$ 等于 $R_2$ ，因此公式可简化为：

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

【标题】符号约定

【段落】弯曲界面的凹面一侧，即表面向外凸出的一侧，压强总是较高。对于液滴或气泡，这意味着内部压强高于外部压强。当曲率中心位于压强较高的一侧时，曲率半径取正值。如果表面沿某一方向反向弯曲，该方向的曲率半径取负值。鞍形界面（例如两个相互接触的颗粒之间的液体颈部）具有一个正曲率半径和一个负曲率半径，两个项会部分抵消。

【段落】此计算器仅使用正曲率半径。

特殊情况

【列表项】平面：随着曲率半径趋于无穷大，公式中的相应项趋近于零。完全平坦的界面没有压强差。
【列表项】圆柱面：长圆柱面（例如从喷嘴喷出的液体射流）只沿一个方向弯曲。一个曲率半径是圆柱半径，另一个沿其长度方向为无穷大，因此公式变为 $\Delta P = \gamma / R$ 。在半径相同的情况下，这一压强差是球面的二分之一。
【列表项】极小尺度：在约10至20纳米以下，线张力等额外效应会变得显著，简单方程的准确性会下降。

【标题】如何使用杨–拉普拉斯方程计算压强差

【列表项】查找所关心温度下流体的表面张力，单位为 N/m。温度升高时，表面张力会降低。
【列表项】测量或估算第一个主曲率半径 $R_1$ ，单位为米。
【列表项】测量或估算第二个主曲率半径 $R_2$ ，单位为米。对于球体，使用与 $R_1$ 相同的值。对于圆柱面，用一个很大的数代替无穷大。
【列表项】将表面张力乘以 $1/R_1$ 与 $1/R_2$ 之和。结果就是以帕斯卡为单位的压强差。

【段落】所有数值都应使用国际单位制。例如，将毫米与米混用会使结果相差一千倍。

计算示例

【段落】设有一个半径为1毫米（0.001 m）、表面张力为0.072 N/米的球形水滴；这是室温附近水的典型数值。

【段落】由于液滴是球形， $R_1 = R_2 = R$ ，因此：

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

【段落】液滴内部压强比周围空气压强高144 Pa。与约为101,325 Pa的正常大气压相比，这一数值很小，但液滴缩小时该效应会迅速增强。半径为原来十分之一、即0.1 mm的液滴，其压强差增加到十倍，即1,440 Pa。半径为0.01 mm的液滴，其压强差达到14,400 Pa，超过大气压的14%。

【标题】方程的应用

【列表项】液滴和气泡：小液滴内部较高的压强会推动奥斯特瓦尔德熟化，即乳液中的小液滴缩小、大液滴长大的过程，因为液滴中的物质会从高压处扩散到低压处。
【列表项】毛细作用：狭窄管道内的弯曲液面会把液体向上拉。这就是水能沿纸巾和狭窄玻璃管上升的原因。
【列表项】呼吸：肺中的微小气囊称为肺泡，其行为类似小气泡。一种称为肺表面活性物质的涂层会降低表面张力，使小肺泡不会在方程所预测的压强下塌陷。缺乏足量表面活性物质的早产儿可能因此出现呼吸问题。
【列表项】喷墨打印：打印机喷嘴会形成直径几十微米的液滴，此时曲率产生的压强足以影响墨水离开喷嘴的方式。
【列表项】材料科学：用于测量液体对表面的润湿性以及薄涂层行为的仪器，会利用该方程将液滴形状与其表面能联系起来。

历史

【段落】早在人们解释液体为何会上升之前，就已经观察到液体沿狭窄管道上升的现象。在1700年代初，弗朗西斯·豪克斯比通过实验表明，管道越窄，毛细上升越明显；1718年，詹姆斯·朱林描述了上升高度与管径成反比的关系。

【段落】托马斯·杨在1805年的一篇论文中解释了其基本物理原理，将表面张力引入为流体的一种性质，并把它与弯曲表面两侧的压强联系起来，不过他的论述主要是描述性的。1806年，皮埃尔–西蒙·拉普拉斯运用微积分推导出数学形式，独立地得到相同关系。他们的共同工作后来形成了杨–拉普拉斯方程。此后，包括卡尔·弗里德里希·高斯和约瑟夫·普拉托在内的科学家在1800年代对该理论进行了检验和扩展。

常见问题

【段落】**杨–拉普拉斯方程计算什么？**它根据流体的表面张力和界面的曲率，计算两种流体之间弯曲界面两侧的压强差。

【段落】**为什么较小液滴内部的压强更高？**表面张力沿液滴边缘产生拉力，该拉力随半径同步增大。压强作用的面积则随半径的平方增大。平衡这两种作用可得 $\Delta P = 2\gamma/R$ ，因此压强差与半径成反比：半径减半，压强差加倍。

【段落】**温度如何影响方程？**温度会改变表面张力的数值，而且温度升高时表面张力会降低。对于水，表面张力会从0.073 N/米（20 °C）左右降至0.063 N/米（80 °C）左右，每升高一摄氏度约降低0.17 mN/m。室温下的表面张力高于热水，因此将室温数值用于高温系统会高估压强差。

【段落】**该方程适用于球体以外的形状吗？**适用。包含两个独立曲率半径 $R_1$ 和 $R_2$ 的一般形式适用于任何弯曲表面，包括椭球面和鞍形界面。只有简化式 $2\gamma/R$ 仅适用于球体。

【段落】**杨–拉普拉斯方程与杨氏方程有何不同？**杨–拉普拉斯方程给出弯曲界面造成的压强差。杨氏方程是托马斯·杨提出的另一种独立关系，根据三种相关材料的表面能，给出液滴接触固体表面处形成的接触角。两者描述的是不同现象，但有时会结合使用，以分析停留在表面上的液滴。

【段落】**液滴在多小之前该方程仍然有效？**该方程的准确性可保持到约1微米。低于约10至20纳米时，方程忽略的额外作用力（包括线张力和表面之间分子尺度的作用力）会大到足以产生影响，因此需要使用更详细的模型。

参考文献

【列表项】Young, T.（1805）。《流体内聚力论》。伦敦皇家学会哲学汇刊，95，65–87。
【列表项】Laplace, P.S.（1806）。《天体力学论》，第10卷补编。
【列表项】de Gennes, P.G.、Brochard-Wyart, F. 和 Quéré, D.（2004）。《毛细现象与润湿现象：液滴、气泡、珍珠、波》。施普林格。
【列表项】Adamson, A.W. 和 Gast, A.P.（1997）。《表面物理化学》（第6版）。Wiley-Interscience。

杨-拉普拉斯方程求解器 | 界面压力