临界值计算器 | Z检验、t检验、卡方检验

临界值是概率分布上的截断点，在假设检验中标示“拒绝域”的边界。如果检验统计量落在临界值之外，结果就被判定为具有统计显著性，并拒绝原假设。此计算器可求出三种最常见检验的临界值：Z 检验、t 检验和卡方检验。

什么是临界值？

在统计学中，研究人员通常从原假设开始，即作出某种异常情况没有发生的简单假设（例如，某种新药没有效果）。研究人员根据样本数据计算检验统计量，并将其与临界值进行比较，以判断数据是否提供了足够的证据来反对原假设。

临界值取决于三件事：所选择的检验、显著性水平（写作 α，即希腊字母 alpha），以及检验是单尾还是双尾。显著性水平是错误拒绝真实原假设的概率，通常设为 0.05（5%）或 0.01（1%）。

单尾检验检查某一个方向上的效应，例如“大于”。它有一个临界值。双尾检验检查任一方向上的效应，因此有两个临界值，分别位于分布的两侧。

如何计算临界值

1. 选择检验：Z 检验（大样本或总体方差已知）、t 检验（小样本且方差未知）或卡方检验（分类数据或拟合优度检验）。
2. 选择尾部类型：单尾或双尾。
3. 选择显著性水平 α，即介于 0 和 1 之间的数。常见选择为 0.10、0.05 和 0.01。
4. 对于 t 检验或卡方检验，输入自由度（df）。对于 t 检验，df 等于样本量减去 1。对于卡方拟合优度检验，df 等于类别数减去 1。
5. 查找（或计算）在分布曲线下截去所选尾部面积的数值。这就是临界值。

临界值的计算公式

每个公式都使用累积分布函数的逆函数：使曲线下从起点到 x 的面积等于目标概率 p 的 x 值。

Z 检验公式

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{（单尾）}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{（双尾）}$

Φ⁻¹ 是标准正态累积分布函数的逆函数。

t 检验公式

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{（单尾）}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{（双尾）}$

t⁻¹(p, df) 是自由度为 df 的 t 分布累积分布函数的逆函数。

卡方检验公式

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{（单尾）}$ $\chi^2_{\text{下限}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{上限}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{（双尾）}$

卡方分布只取正值，因此两个临界值都为正，且下临界值小于上临界值。

示例：Z 检验临界值

某质量控制团队希望获得 α = 0.05 时的单尾 Z 检验临界值。

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

任何大于 1.6449 的检验统计量都落在拒绝域内。

示例：t 检验临界值

某研究人员开展了一项有 20 名参与者的实验，因此 df = 19。他们希望获得 α = 0.01 时的双尾临界值。

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

拒绝域为 t < -2.8609 和 t > 2.8609。

示例：卡方临界值

某分析人员比较 5 个类别中的观测计数和期望计数，因此 df = 4。他们希望获得 α = 0.05 时的双尾临界值。

$\chi^2_{\text{下限}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{上限}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

卡方统计量低于 0.4844 或高于 11.1433 时，将落在拒绝域内。

常见临界值

随着自由度增加，t 分布的临界值会逐渐趋近于相应的 Z 检验临界值，因为 t 分布会趋近于正态分布。

常见问题

临界值有什么用？ 它确定了判断检验统计量是否极端到足以拒绝原假设的界限。如果统计量越过临界值，则在所选 α 水平下，结果具有统计显著性。

单尾临界值和双尾临界值有什么区别？ 单尾检验寻找一个方向上的效应，只有一个临界值。双尾检验寻找任一方向上的效应，有两个临界值；对于 Z 检验和 t 检验，这两个临界值以中心为对称分布。α 相同时，双尾临界值的绝对值大于单尾临界值，因为相同的总概率被分配到两个尾部，而不是一个尾部。

什么时候应使用 Z 检验而不是 t 检验？ 当总体方差已知或样本较大时，使用 Z 检验，通常是有 30 个或更多观测值。对于总体方差未知的小样本，使用 t 检验。随着样本量增加，t 检验临界值会趋近于 Z 检验临界值。

临界值可以为负数吗？ 可以。Z 检验和 t 检验的分布关于零对称，因此双尾检验有一个负的临界值和一个正的临界值。卡方临界值始终为正，因为卡方分布只对零或更大的值有定义。

自由度如何影响临界值？ 自由度衡量数据中包含多少独立信息，通常等于样本量减去已经估计的参数数量。自由度较低时，分布更宽、尾部更厚，临界值也更大。自由度较高时，t 分布和卡方分布会更接近正态分布。

哪个临界值对应于 95% 的置信水平？ 置信水平为 95% 时，α = 0.05。对于双尾 Z 检验，临界值为 ±1.9600。对于单尾 Z 检验，临界值为 1.6449。

历史

Karl Pearson 于 1900 年提出卡方检验。William Sealy Gosset 以“Student”为笔名发表论文，于 1908 年发展出 t 分布，用于处理 Guinness 啤酒厂的小样本数据。Ronald Fisher 在其著作 Statistical Methods for Research Workers 中，于 1920 年代将显著性检验和临界值系统化。在计算机出现之前，研究人员通过查阅印刷的统计表来获取临界值；如今，计算器和软件可以直接根据分布公式计算这些值。

参考文献

1. Pearson, K.（1900）。“On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine，第 5 辑，50（302），157–175。
2. Student [Gosset, W. S.]（1908）。“The probable error of a mean.” Biometrika，6（1），1–25。
3. Fisher, R. A.（1925）。Statistical Methods for Research Workers。爱丁堡：Oliver & Boyd。
4. NIST/SEMATECH《统计方法电子手册》，“临界值”。