Калкулатор за конични сечения - Кръг, Елипса, Парабола

Какво представлява калкулаторът за конични сечения?

Калкулаторът за конични сечения намира ексцентрицитета и каноничното уравнение на окръжност, елипса, парабола или хипербола по няколко измервания. Тези четири криви се получават, когато равнина пресича конус под различни ъгли.

Четирите конични сечения

Напречното пресичане на конус дава окръжност. Накланянето на равнината дава елипса. Пресичането успоредно на страната на конуса дава парабола. Пресичането през двете половини на двоен конус дава хипербола.

Всяка крива има ексцентрицитет — число, което показва доколко се различава от идеална окръжност.

• Окръжност: $e = 0$
• Елипса: $0 < e < 1$
• Парабола: $e = 1$
• Хипербола: $e > 1$

Как се използва този калкулатор

1. Изберете вид конично сечение: окръжност, елипса, парабола или хипербола.
2. Въведете необходимите измервания.
   • Окръжност: радиус ($r$)
   • Елипса: голяма полуос ($a$) и малка полуос ($b$)
   • Парабола: фокусно разстояние ($f$)
   • Хипербола: напречна полуос ($a$) и спрегната полуос ($b$)
3. Ексцентрицитетът и каноничното уравнение се появяват автоматично веднага щом бъдат въведени валидни положителни стойности за избрания вид конично сечение; няма бутон „Изчисли“, който да натиснете.
4. Под резултатите се начертава графика на кривата.

Калкулаторът изписва уравнението с вече заместените въведени числа, така че елипса с $a = 5$ и $b = 3$ се показва като $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Това е същото уравнение като $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Ексцентрицитетът се показва с четири знака след десетичната запетая.

Всички въведени стойности трябва да са положителни числа. При елипса голямата полуос трябва да е поне толкова дълга, колкото малката полуос, тъй като по определение голямата полуос е по-дългата. При хиперболата няма такова правило: напречната и спрегнатата полуос могат да имат произволни положителни дължини, включително еднакви.

Формула за окръжност

За окръжност с радиус $r$, чиито център е в началото на координатната система:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Ексцентрицитет: $e = 0$.

Окръжността е частен случай на елипса, при който двете полуоси са равни и двата фокуса се намират в центъра.

Формула за елипса

За елипса с център в началото на координатната система, голяма полуос $a$ и малка полуос $b$, където $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Уравнение: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Когато $a = b$, елипсата се превръща в окръжност и $e = 0$.

Формула за парабола

За парабола, отворена надясно, с фокусно разстояние $f$ (разстоянието от върха до фокуса):

$$y^2 = 4fx$$

Ексцентрицитет: $e = 1$, винаги.

Пример: $f = 2$. Уравнение: $y^2 = 8x$.

Формула за хипербола

За хипербола с център в началото на координатната система, напречна полуос $a$ и спрегната полуос $b$, където $a$ и $b$ са произволни положителни числа:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Напречната полуос $a$ е половината от разстоянието между двата върха — точките, в които кривата завива. Спрегнатата полуос $b$ е половината от дължината на спрегнатата ос — отсечката, прекарана през центъра перпендикулярно на нея. Тя определя колко бързо се разтварят клоновете.

За разлика от елипсата, при хиперболата не се изисква $a$ да е по-голямо от $b$. Двете дължини са независими, така че $b$ може да е по-малко, равно или по-голямо от $a$. Когато $a = b$, кривата се нарича правоъгълна хипербола с ексцентрицитет $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Пример: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Уравнение: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Практически приложения на коничните сечения

Планетите и кометите следват орбити, чиято форма е като на конични сечения. Първият закон на Кеплер гласи, че орбитата на планета е елипса, в единия фокус на която се намира Слънцето. Някои комети следват параболични или хиперболични траектории и никога не се връщат.

Параболите събират успоредните лъчи в една точка, затова инженерите използват параболични форми в сателитни антени, огледала на телескопи и автомобилни фарове. Хиперболични криви се срещат в стените на охладителни кули, където формата осигурява здравина с по-малко материал. Елипси се срещат в арки, тавани на зали с шепотни галерии и конструкции на зъбни предавки.

Кратка история на коничните сечения

Гръцкият математик Менехъм изучавал коничните сечения около 350 г. пр.н.е., докато се опитвал да реши задачата за удвояване на куба. Аполоний от Перга написал подробен трактат, озаглавен Коники, около 200 г. пр.н.е. Той дал имената на елипсата, параболата и хиперболата и описал свойствата им. Векове по-късно Йоханес Кеплер използвал елипсата, за да опише движението на планетите, а Исак Нютон използвал коничните сечения, за да обясни гравитацията.

Често задавани въпроси

Кои са четирите вида конични сечения?

Окръжност, елипса, парабола и хипербола. Всяко от тях се получава, когато равнина пресича конус под различен ъгъл, и всяко има различен диапазон на ексцентрицитета.

Как се изчислява ексцентрицитетът?

Ексцентрицитетът е фиксиран за окръжност ($e = 0$) и парабола ($e = 1$). За елипса $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, като се използват голямата полуос $a$ и малката полуос $b$. За хипербола $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, като се използват напречната полуос $a$ и спрегнатата полуос $b$.

Трябва ли напречната полуос на хипербола да е по-дълга от спрегнатата ѝ полуос?

Не. За разлика от голямата и малката полуос на елипса, напречната полуос ($a$) и спрегнатата полуос ($b$) на хипербола са независими измервания. И двете трябва да са положителни, но всяка от тях може да е по-голямата.

Може ли елипса да се превърне в окръжност?

Да. Когато голямата полуос е равна на малката полуос, елипсата е окръжност и ексцентрицитетът ѝ е 0.

Защо сателитните антени имат параболична форма?

Параболата отразява лъчите, които се движат успоредно на оста ѝ, към една фокусна точка. Сателитните антени и огледалата на телескопите използват това свойство, за да концентрират сигнали или светлина в една точка.

Какво представлява правоъгълната хипербола?

Правоъгълна хипербола е хипербола, при която напречната полуос е равна на спрегнатата полуос ($a = b$). Асимптотите ѝ са перпендикулярни, а ексцентрицитетът ѝ е $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Източници

1. Конично сечение — Wikipedia
2. Ексцентрицитет на коничните сечения — Khan Academy
3. Конични сечения — OpenStax