Калкулатор за обем на конус - Изчисляване на обем на конус и усечен конус

Какво представлява калкулаторът за обем на конус?

Калкулаторът за обем на конус изчислява обема на конус или на пресечен конус по неговите радиус и височина. Конусът е плътна фигура с една плоска кръгла основа, която плавно се стеснява до една точка, наречена връх. Пресеченият конус е това, което остава от конуса, след като горната му част бъде отрязана с разрез, успореден на основата, така че вместо една остават две кръгли основи.

Формула за обем на конус

Обемът на цял конус зависи от радиуса на основата му и от височината му. Той е една трета от лицето на основата, умножено по височината.

V = (1/3) × π × r² × h

• r е радиусът на кръглата основа.
• h е височината, измерена по права линия от основата до върха.
• π (пи) е приблизително 3,14159.

Пример

Конус с радиус на основата 3 единици и височина 4 единици има следния обем:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 кубични единици

Как се изчислява обемът на конус с калкулатора

Калкулаторът приема три входни стойности:

1. Радиус — радиусът на основата.
2. Височина — височината на конуса от основата до върха.
3. Височина на пресичането (по избор) — височината на частта от пресечения конус, която се запазва, ако върхът на конуса е отрязан.

Ако оставите височината на пресичането празна или въведете 0, се получава обемът на цял, неотрязан конус. Ако въведете положителна височина на пресичането, по-малка от пълната височина, се получава обемът на пресечения конус, който остава след отрязването.

Формула за обем на пресечен конус

Обемът на пресечен конус зависи от радиусите на двете му кръгли основи и от височината му. Стандартната формула за пресечен конус е:

V = (1/3) × π × h × (R² + r² + R × r)

• R е радиусът на по-голямата долна основа.
• r е радиусът на по-малката горна основа.
• h е височината на пресечения конус, измерена между двете основи.

Калкулаторът не изисква директно радиуса на горната основа. Вместо това той приема радиуса на основата, височината, която конусът би имал, ако не беше отрязан, и височината на пресичането (височината на запазената част). След това изчислява радиуса на горната основа чрез подобни триъгълници:

радиус на горната основа = радиус на основата × (1 − височина на пресичането ÷ пълна височина)

Пример

Нека радиусът на основата е 3 единици, пълната височина на (неотрязания) конус е 12 единици, а височината на пресичането е 4 единици.

Радиус на горната основа = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 единици

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 кубични единици

Ако височината на пресичането е равна на пълната височина или по-голяма от нея, не остава връх за отстраняване, затова калкулаторът връща обема на цял конус.

История на формулата за обем на конус

Древногръцките математици първи свързват обема на конуса с този на цилиндъра. На Демокрит, действал в края на 5. век пр. Хр., се приписва твърдението, че обемът на конуса е равен на една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина. Той не го доказва. Евдокс от Книд, работил през следващия век, дава първото строго доказателство с техника, наречена метод на изчерпването — ранен предшественик на интегралното смятане. Формулата V = (1/3)πr²h остава същата оттогава.

Приложения на изчисленията за обем на конус

Обемите на конуси и пресечени конуси се използват винаги когато фигурата се стеснява от широка основа до точка или до по-малка горна част. Инженерите използват формулите за оразмеряване на конични резервоари, бункери и фунии. Архитектите ги използват за оценка на материалите за конични покриви. Геолозите ги използват за оценка на обема на вулканични конуси и подобни релефни форми.

Често задавани въпроси

Как се изчислява обемът на конус?

Умножете π по квадрата на радиуса, умножете получения резултат по височината и след това разделете на 3: V = (1/3)πr²h. Конус с радиус 5 cm и височина 10 cm има обем приблизително 261,80 кубични сантиметра.

Каква е формулата за обем на пресечен конус?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), където R и r са радиусите на двете кръгли основи, а h е собствената височина на пресечения конус, измерена между тези основи.

Как калкулаторът намира радиуса на горната основа на пресечен конус?

Използват се подобни триъгълници. Радиусът на горната основа е равен на радиуса на основата, умножен по (1 − височина на пресичането ÷ пълна височина на конуса). Това предполага, че пресеченият конус произлиза от конус с прави стени.

Какво се случва, ако височината на пресичането е по-голяма или равна на височината?

Калкулаторът разглежда фигурата като цял, неотрязан конус и връща V = (1/3)πr²h, като използва въведения радиус и височина.

Какво се случва, ако радиусът или височината са нула или отрицателни?

Калкулаторът изисква както радиусът, така и височината да са по-големи от нула. Ако някоя от тях е нула, отрицателна или оставена празна, се показва съобщение за грешка вместо обем.

Как се намира обемът на конус по диаметъра вместо по радиуса?

Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса, след което приложете обичайната формула V = (1/3)πr²h.

Източници

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: Cone — обем на конус V = (1/3)πr²h, една трета от лицето на основата, умножено по височината.
2. Weisstein, Eric W. Conical Frustum. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: Conical Frustum — обем на пресечен конус V = (1/3)πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²).
3. O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. Democritus of Abdera. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. MacTutor: Democritus — Демокрит пръв формулира правилото за една трета при конуса; по-късно Евдокс го доказва.