Калкулатор за обем на конус - Изчисляване на обем на конус и усечен конус

Какво представлява калкулаторът за обем на конус?

Калкулаторът за обем на конус изчислява обема на конус или на пресечен конус (фрустум) по неговите радиус и височина. Конусът е плътна фигура с една плоска кръгла основа, която плавно се стеснява до една точка, наречена връх. Пресеченият конус е това, което остава от конуса, след като горната му част бъде отрязана с разрез, успореден на основата, така че вместо една остават две кръгли лица.

Формула за обем на конус

Обемът на целия конус зависи от радиуса на основата и неговата височина.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V е обемът на конуса.
• r е радиусът на кръглата основа.
• h е височината, измерена по права линия от основата до върха.
• π (пи) е приблизително 3,14159.

Пример с решение

Конус с радиус на основата 3 единици и височина 4 единици има следния обем:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 кубични единици

Как се изчислява обемът на конус с калкулатора

Калкулаторът приема три входни стойности:

1. Радиус — радиусът на основата.
2. Височина — височината на конуса от основата до върха.
3. Височина на отрязване от основата (по избор) — разстоянието над основата, на което конусът е отрязан, ако горната му част е премахната.

Ако височината на отрязване остане празна или бъде въведено 0, се получава обемът на целия, неотрязан конус. Въвеждането на височина на отрязване, по-малка от пълната височина, дава обема на пресечения конус под разреза. Диаграмата под входните полета показва същите три измервания върху фигурата.

Калкулаторът отхвърля радиус или височина, които са нула, отрицателни, празни или прекалено големи, за да бъдат обработени като обикновено число. В тези случаи той показва съобщение вместо обем и така никога не извежда измислена стойност.

Формула за обем на пресечен конус (фрустум)

Обемът на пресечения конус зависи от радиусите на двете му кръгли лица и от собствената му височина.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R е радиусът на по-голямото долно лице.
• r е радиусът на по-малкото горно лице.
• h е височината на пресечения конус, измерена между двете лица.

Калкулаторът не изисква радиуса на горното лице директно. Вместо това той приема радиуса на основата, височината, която конусът би имал, ако не беше отрязан, и височината на отрязване. След това изчислява радиуса на горното лице чрез подобни триъгълници:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

където c е височината на отрязването над основата, а f — пълната височина на неотрязания конус.

Пример с решение

Нека радиусът на основата е 3 единици, пълната височина на конуса без отрязване е 12 единици, а височината на отрязване е 4 единици.

Радиус на горното лице = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 единици

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 кубични единици

Ако височината на отрязване е равна на или по-голяма от пълната височина, разрезът е на или над върха и нищо не се премахва. Тогава калкулаторът връща обема на целия конус, а диаграмата изобразява целия конус.

История на формулата за обем на конус

Древногръцките математици първи свързват обема на конус с този на цилиндър. На Демокрит, живял в края на 5-и век пр.н.е., се приписва твърдението, че обемът на конус е равен на една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина. Той не го доказва. Евдокс от Книд, работил през следващия век, дава първото строго доказателство чрез техника, наречена метод на изчерпването, ранен предшественик на интегралното смятане. Формулата V = (1/3)πr²h остава същата и до днес.

Приложения на изчисленията за обем на конус

Обемите на конуси и пресечени конуси се използват винаги когато фигурата се стеснява от широка основа до точка или до по-малка горна част. Инженерите използват формулите за оразмеряване на конични резервоари, бункери и фунии. Архитектите ги използват за оценка на материалите за конични покриви. Геолозите ги използват за оценка на обема на вулканични конуси и подобни релефни форми.

Често задавани въпроси

Как се изчислява обемът на конус?

Умножете π по квадрата на радиуса, умножете получения резултат по височината и след това разделете на 3: V = (1/3)πr²h. Конус с радиус 5 cm и височина 10 cm има обем приблизително 261,80 кубични сантиметра.

Каква е формулата за обем на пресечен конус (фрустум)?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), където R и r са радиусите на двете кръгли лица, а h е собствената височина на пресечения конус, измерена между тези лица.

Как калкулаторът намира радиуса на горното лице на пресечен конус?

Той използва подобни триъгълници. Радиусът на горното лице е равен на радиуса на основата, умножен по (1 − височина на отрязване ÷ пълна височина на конуса). Това предполага, че пресеченият конус е получен от конус с прави страни.

Какво се случва, ако височината на отрязване е по-голяма или равна на височината?

Калкулаторът разглежда фигурата като цял, неотрязан конус и връща V = (1/3)πr²h, като използва въведения радиус и височина.

Какво се случва, ако радиусът или височината са нула или отрицателни?

Калкулаторът изисква и радиусът, и височината да са по-големи от нула. Ако някоя от стойностите е нула, отрицателна, празна или прекалено голяма, за да бъде обработена като обикновено число, той показва съобщение вместо обем.

Как се намира обемът на конус по диаметъра вместо по радиуса?

Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса, след което приложете обичайната формула V = (1/3)πr²h.

Източници

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Уеб ресурс на Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Уеб ресурс на Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html