Калкулатор за прав кръгов конус - Обем, Повърхностна площ и Формули

Какво представлява правият кръгов конус?

Правият кръгов конус е плътно геометрично тяло с плоска кръгла основа и една извита страна, която се стеснява до една точка, наречена връх. Той е „прав“, защото върхът се намира точно над центъра на основата. Отвесната линия от върха до основата се среща с нея под прав ъгъл. Този калкулатор намира обема на конуса, лицето на основата, околната повърхнина и пълната повърхнина по дадени радиус и височина.

Обичайни примери за тази форма са конусите за движение, фунийките за сладолед, фуниите и покривите на някои кули.

Измервания на конуса

Правият кръгов конус се описва с две измервания:

• Радиус (r): разстоянието от центъра на кръглата основа до нейния ръб.
• Височина (h): правото вертикално разстояние от основата до върха.

Трета дължина, образуващата (l), е разстоянието по външната страна на конуса от върха до ръба на основата. Тя не се измерва пряко. Вместо това се изчислява от радиуса и височината, тъй като тези три дължини са страните на правоъгълен триъгълник. Калкулаторът използва образуващата, за да изчисли околната повърхнина, но не я показва като отделен резултат.

Калкулаторът не задава мерна единица. Въведете радиуса и височината в една и съща мерна единица. Всяко лице тогава се получава в квадратни единици, а обемът — в кубични единици от същата мерна единица. Нито една от двете стойности не може да бъде отрицателна, тъй като дължината не може да е отрицателна; вместо резултат калкулаторът показва съобщение. Резултатите се дават с четири знака след десетичната запетая.

Формули за конус

Формула за образуващата

Радиусът, височината и образуващата са страните на правоъгълен триъгълник, така че образуващата се получава от теоремата на Питагор:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Формула за лицето на основата

Основата е кръг, затова лицето ѝ се изчислява със стандартната формула за лице на кръг:

$$A_b = \pi r^2$$

Формула за околната повърхнина

Околната повърхнина обхваща само извитата страна, а не основата. Ако извитата страна се разгъне в равнина, тя ще образува сектор от кръг с лице:

$$A_l = \pi r l$$

Формула за пълната повърхнина

Пълната повърхнина е сборът от основата и извитата страна:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

При конус, който е отворен откъм основата, например при хартиена фуния, за изчисляване на необходимия материал е нужно само околната повърхнина.

Формула за обем на конус

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Обемът на конуса е точно една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина. Архимед доказва тази зависимост с метод, създаден преди появата на математическия анализ. По-късно тя е потвърдена с интегралното смятане, което разглежда конуса като безкрайна редица от кръгли дискове с намаляващ радиус от основата към върха.

Как се изчислява обемът на конус: решен пример

Нека имаме конус с радиус r = 5 единици и височина h = 12 единици.

1. Намерете образуващата.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ единици}$$

2. Намерете лицето на основата.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ единици}^2$$

3. Намерете околната повърхнина.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ единици}^2$$

4. Намерете пълната повърхнина.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ единици}^2$$

5. Намерете обема.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ единици}^3$$

Диаграма

Пунктираната вертикална линия е височината от основата до върха. Пунктираната хоризонтална линия е радиусът от центъра на основата до нейния ръб.

Къде се срещат конуси в реалния живот

Изчисленията на обема и повърхнината на конус се използват в няколко практически области:

• Производство на изделия от ламарина: околната повърхнина показва количеството плосък материал, необходим за изработването на коничен бункер, фуния или преход за въздуховод, преди да се добави запас за шевове и отпадък.
• Капацитет за съхранение: формулата за обем дава вместимостта на конични резервоари и коничните дъна на силози.
• Строителство: шпилове, върхове на кули и други конични елементи на покриви използват околната повърхнина за оценка на необходимия покривен материал.
• Предмети от ежедневието: хартиените чаши, фунийките за сладолед и конусите за движение са приблизително прави кръгови конуси.

Този калкулатор приема идеален конус с кръгла основа и връх, разположен над центъра на основата. Конус, отрязан в горната си част, наречен пресечен конус, изисква друг набор от формули, защото има два радиуса вместо един.

История

Древногръцките математици изучават конусите още около 300 г. пр.н.е. В Начала на Евклид конусът е определен като плътно тяло, получено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от катетите му. По-късно Аполоний от Перга изучава кривите, получени при пресичане на конус под различни ъгли, които днес се наричат конични сечения: окръжността, елипсата, параболата и хиперболата. Формулата за обема V = (1/3)πr²h е доказана от Архимед чрез метода на изчерпването — геометричен метод, предвещал интегралното смятане с около 2 000 години.

Често задавани въпроси

Какво прави един конус „прав кръгов“?

„Прав“ означава, че върхът се намира точно над центъра на основата, така че оста е перпендикулярна на основата. При наклонен конус върхът е изместен встрани. „Кръгов“ означава, че основата е кръг, а не елипса или друга форма.

Каква е формулата за обема на конус?

V = (1/3)πr²h, където r е радиусът на основата, а h е перпендикулярната височина. За обема не е нужна образуващата.

Каква е формулата за повърхнината на конус?

Пълната повърхнина е A = πr² + πrl, където r е радиусът, а l е образуващата. Първият член е лицето на основата, а вторият е околната повърхнина. Първият член се пропуска, ако конусът няма основа, например при отворена фуния.

Какво представлява образуващата и по какво се различава от височината?

Височината е правото вертикално разстояние от основата до върха, измерено през вътрешността на конуса. Образуващата е разстоянието по външната повърхност от върха до ръба на основата. Те са свързани чрез l = √(r² + h²), като образуващата винаги е по-дългата от двете, когато радиусът е по-голям от нула.

Как се намира обемът на конус по неговия диаметър?

Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса, след което използвайте V = (1/3)πr²h. Например конус с диаметър 10 cm и височина 15 cm има радиус 5 cm, така че V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 см³.

Работи ли този калкулатор за пресечени конуси?

Не. Пресеченият конус е конус с отрязана горна част, така че има два радиуса вместо един и изисква собствени формули за обема и повърхнината.