Калкулатор за прав кръгов конус - Обем, Повърхностна площ и Формули

Какво представлява правият кръгов конус?

Прав кръгов конус е тяло с плоска кръгла основа и една извита страна, която се стеснява до една точка, наречена връх. Той е „прав“, защото върхът е точно над центъра на основата. Линия от върха направо надолу до основата пресича основата под прав ъгъл. Този калкулатор намира обема, лицето на основата, околната (страничната) повърхнина и пълната повърхнина на конуса по неговия радиус и височина. По пътя изчислява образуващата, но не я показва.

Обичайни примери за тази форма са пътните конуси, фунийките за сладолед, фуниите и покривите на някои кули.

Измервания на конуса

Правият кръгов конус се описва с две измервания:

• Радиус (r): разстоянието от центъра на кръглата основа до нейния ръб.
• Височина (h): правото вертикално разстояние от основата до върха.

Трета дължина, образуващата (l), е разстоянието по външната страна на конуса от върха до ръба на основата. Тя не се измерва директно. Вместо това се изчислява от радиуса и височината, защото тези три дължини образуват правоъгълен триъгълник.

Формули за конус

Формула за образуващата

Радиусът, височината и образуващата са страните на правоъгълен триъгълник, така че образуващата се получава от теоремата на Питагор:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Формула за лицето на основата

Основата е кръг, затова лицето ѝ се изчислява със стандартната формула за лице на кръг:

$$A_b = \pi r^2$$

Формула за околната повърхнина

Околната повърхнина обхваща само извитата страна, а не основата. Ако извитата страна се разгъне в равнина, тя ще образува сектор от кръг с лице:

$$A_l = \pi r l$$

Формула за пълната повърхнина

Пълната повърхнина е сборът от основата и извитата страна:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

При конус, който е отворен откъм основата, например при хартиена фуния, за изчисляване на необходимия материал е нужна само околната повърхнина.

Формула за обем на конус

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Обемът на конуса е точно една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина. Евдокс доказва тази зависимост с метод, възникнал преди математическия анализ. По-късно тя е потвърдена с интегрално смятане, което разглежда конуса като безкраен куп от намаляващи кръгли дискове от основата до върха.

Как се изчислява обемът на конус: решен пример

Нека имаме конус с радиус r = 5 единици и височина h = 12 единици.

1. Намерете образуващата.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ единици}$$

2. Намерете лицето на основата.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ единици}^2$$

3. Намерете околната повърхнина.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ единици}^2$$

4. Намерете пълната повърхнина.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ единици}^2$$

5. Намерете обема.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ единици}^3$$

Калкулаторът показва всеки резултат с четири знака след десетичната запетая: 78,5398, 204,2035, 282,7433 и 314,1593.

Диаграма

Пунктираната вертикална линия е височината от основата до върха. Пунктираната хоризонтална линия е радиусът от центъра на основата до нейния ръб.

Къде се срещат конуси в реалния живот

Изчисленията на обема и повърхнината на конус се използват в няколко практически области:

• Производство на изделия от ламарина: околната повърхнина показва количеството плосък материал, необходим за изработването на коничен бункер, фуния или преход за въздуховод, преди да се добави запас за шевове и отпадък.
• Капацитет за съхранение: формулата за обем дава вместимостта на конични резервоари и коничните дъна на силози.
• Строителство: шпилове, върхове на кули и други конични елементи на покриви използват околната повърхнина за оценка на необходимия покривен материал.
• Предмети от ежедневието: хартиените чаши, фунийките за сладолед и пътните конуси са приблизително прави кръгови конуси.

Този калкулатор приема идеален конус с кръгла основа и връх, разположен над центъра на основата. Конус, отрязан в горната си част, наречен пресечен конус, изисква друг набор от формули, защото има два радиуса вместо един.

История

Древногръцките математици проучват подробно конусите. Елементи на Евклид, написани около 300 г. пр. Хр., определят конуса като тялото, получено при въртене на правоъгълен триъгълник около един от катетите му. Правилото за обема на конуса е формулирано за пръв път от Демокрит. Евдокс от Книд го доказва с метода на изчерпването, геометрична техника, предвестница на интегралното смятане, а Архимед приписва доказателството на него. По-късно Аполоний от Перга изучава кривите, получени при сечение на конус под различни ъгли, наричани днес конични сечения. В книгата му Коники са въведени термините парабола, елипса и хипербола.

Често задавани въпроси

Какво прави един конус „прав кръгов“?

„Прав“ означава, че върхът се намира точно над центъра на основата, така че оста е перпендикулярна на основата. При наклонен конус върхът е изместен встрани. „Кръгов“ означава, че основата е кръг, а не елипса или друга форма.

Каква е формулата за обема на конус?

V = (1/3)πr²h, където r е радиусът на основата, а h е перпендикулярната височина. За обема не е нужна образуващата.

Каква е формулата за повърхнината на конус?

Пълната повърхнина е A = πr² + πrl, където r е радиусът, а l е образуващата. Първият член е лицето на основата, а вторият е околната повърхнина. Първият член се пропуска, ако конусът няма основа, например при отворена фуния.

Какво представлява образуващата и по какво се различава от височината?

Височината е правото вертикално разстояние от основата до върха, измерено през вътрешността на конуса. Образуващата е разстоянието по външната повърхност от върха до ръба на основата. Те са свързани чрез l = √(r² + h²), като образуващата винаги е по-дългата от двете, когато радиусът е по-голям от нула.

Как се намира обемът на конус по неговия диаметър?

Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса, след което използвайте V = (1/3)πr²h. Например конус с диаметър 10 cm и височина 15 cm има радиус 5 cm, така че V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 см³.

Работи ли този калкулатор за пресечени конуси?

Не. Пресеченият конус е конус с отрязана горна част, така че има два радиуса вместо един и изисква собствени формули за обема и повърхнината.

Източници

1. D. E. Joyce, Clark University. Euclid's Elements, Book XII, Proposition 10. Елементи, XII.10 — "Any cone is a third part of the cylinder with the same base and equal height."
2. D. E. Joyce, Clark University. Euclid's Elements, Book XI, Definitions 18–20. Елементи XI, определение 18 — конусът е фигурата, описана при въртене на правоъгълен триъгълник около една от страните, образуващи прав ъгъл.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Eudoxus of Cnidus. Биография на Евдокс — Евдокс доказва с метода на изчерпването, че конусът е една трета от цилиндъра със същата основа и височина; Архимед приписва доказателството на него.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Биография на Аполоний — в книгата му Conics са въведени термините парабола, елипса и хипербола.