Калкулатор на алигация — Съотношение на смесване и количества

Какво представлява калкулаторът за алегация?

Калкулаторът за алегация изчислява съотношението, необходимо за смесване на две съставки с различна стойност в смес, която достига зададена целева стойност. Методът, на който се основава, се нарича алегация. Той се прилага за всяка смес от две съставки, например при смесване на евтина суровина със скъпа или при разреждане на концентриран разтвор със слаб, стига и двете съставки да се измерват по една и съща скала.

Формулата за алегация

При алегацията се сравняват три числа по една и съща скала: стойност C на по-евтината съставка, стойност D на по-скъпата съставка и стойност M на целевата смес, като C е по-малко от M, а M е по-малко от D.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

където c е броят части от по-евтината съставка, а d — броят части от по-скъпата.

Делът на всяка съставка се определя от разликата от другата страна на целевата стойност. Колкото по-близо е целевата стойност до стойността на дадена съставка, толкова повече от тази съставка е необходимо в сместа, защото средната стойност трябва да се доближи до нея.

Ако е известно и общото количество Q, количеството на всяка съставка е:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

където $A_c$ е количеството на по-евтината съставка, $A_d$ — количеството на по-скъпата, а Q — общото количество.

Кръстът на алегацията

Формулата традиционно се изобразява като кръст. Стойностите на двете съставки се поставят вляво, целевата стойност — в средата, а всяка диагонална разлика се записва в срещуположния ъгъл.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

Стойността на по-скъпата съставка е горе вляво, тази на по-евтината — долу вляво, а целевата стойност — в средата. Разликата горе вдясно е броят части от по-скъпата съставка, а разликата долу вдясно е броят части от по-евтината.

Пример с решение

Смесете съставка за 10 щ.д. със съставка за 30 щ.д., за да получите смес на стойност 20 щ.д..

Частите са в съотношение по-евтина : по-скъпа = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

Двете съставки са необходими в равни части. При общо количество 100 единици това означава 50 единици от съставката за 10 щ.д. и 50 единици от съставката за 30 щ.д.. Средната стойност на тази смес е точно 20 щ.д..

Преместването на целевата стойност на 25 щ.д. променя съотношението: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, което се съкращава до 1 : 3. Целевата стойност вече е по-близо до стойността на по-скъпата съставка, затова в сместа е необходимо три пъти повече от по-скъпата съставка, отколкото от по-евтината.

Алтернативна и медиална алегация

Описаният по-горе метод се нарича алтернативна алегация: известни са стойностите на двете съставки и целевата стойност, а съотношението е неизвестно. Обратната задача се нарича медиална алегация: известни са количествата и стойностите на съставките, а стойността на получената смес е неизвестна. Медиалната алегация представлява претеглена средна стойност:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

където M е стойността на сместа, q — количеството на дадена съставка, а v — нейната стойност; индексите обозначават първата и втората съставка.

Двата метода служат за взаимна проверка. Ако количествата, получени чрез изчисление с алтернативна алегация, се заместят във формулата за претеглена средна стойност, резултатът трябва да е първоначалната целева стойност.

Приложения на алегацията

• Приготвяне на лекарства. Смесване на концентриран и слаб препарат, например разтвори със 70% и 20%, за достигане на предписана концентрация. Стойностите са проценти или концентрации, а не цени, но аритметиката е същата.
• Търговия на дребно и ценообразуване на стоки. Смесване на евтина и висококачествена суровина за достигане на целева продажна цена или себестойност на единица.
• Храни, напитки и химия. Разреждане или обогатяване на разтвор до целева концентрация, алкохолно съдържание или захарност.

Правилото изисква само едно измерено свойство по една и съща скала, така че едни и същи три числа обхващат всички тези случаи.

Как се използва калкулаторът за алегация

Въведете стойността на по-евтината съставка, стойността на по-скъпата и целевата стойност на сместа, като използвате една и съща мерна единица и за трите. Полетата не приемат стойности под нулата. Добавете общо количество, за да видите точното количество от всяка необходима съставка. Целевата стойност трябва да е строго между стойностите на двете съставки. Целева стойност извън този диапазон не може да бъде достигната чрез смесване на двете съставки, а целева стойност, равна на една от тях, изобщо не изисква смесване, затова и в двата случая калкулаторът показва съобщение за грешка вместо съотношение.

Често задавани въпроси

Какво се случва, ако целевата стойност не е между стойностите на двете съставки? Никоя смес от двете съставки не може да я достигне. Средната стойност на смес от продукт за 10 щ.д. и продукт за 30 щ.д. винаги е между 10 щ.д. и 30 щ.д., затова калкулаторът отхвърля целеви стойности извън този диапазон. Той отхвърля и целева стойност, равна на 10 щ.д. или 30 щ.д., защото тази стойност се постига само с едната съставка и няма съотношение за изчисляване.

Има ли значение мерната единица? Не. Съотношението зависи само от разликите между трите стойности, така че са подходящи цени, проценти и концентрации като mg/mL, стига и трите входни стойности да използват една и съща мерна единица.

Може ли алегацията да работи с три или повече съставки? Този калкулатор решава случая с две съставки. Задачите с три или повече съставки имат повече от един валиден отговор и обикновено се решават чрез комбиниране на съставките по две или чрез съставяне на линейни уравнения.

Алегацията същото ли е като претеглената средна стойност? Това са обратни операции. Претеглената средна стойност, наричана още медиална алегация, превръща известни количества в стойност на сместа. Алтернативната алегация превръща целева стойност в необходимите за достигането ѝ количества.

Защо методът се нарича алегация? Името произлиза от латинската дума alligare, означаваща „свързвам“ или „обвързвам“, което описва как методът свързва две стойности в едно целево съотношение.

Източници

• Алегация — Wikipedia
• Калкулатор за алегация — Omni Calculator