Калкулатор на уравнение на Юнг-Лаплас | Налягане на интерфейс

Какво представлява уравнението на Йънг–Лаплас?

Уравнението на Йънг–Лаплас е формула от механиката на флуидите, която дава разликата в налягането през извита граница между два флуида, например повърхността на водна капка или сапунен мехур. То показва, че тази разлика в налягането зависи от повърхностното напрежение на флуида и от това колко силно е извита границата. Уравнението обяснява защо в капките и мехурчетата се натрупва налягане и защо по-малките имат по-високо вътрешно налягане от по-големите.

То е наименувано на Томас Йънг и Пиер-Симон Лаплас, които независимо един от друг описват тази зависимост в началото на 1800-те години.

Формула на уравнението на Йънг–Лаплас

Общият вид на уравнението е:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ е разликата в налягането през границата, измерена в паскали (Pa)
• $\gamma$ (гама) е повърхностното напрежение на флуида, измерено в нютони на метър (N/m)
• $R_1$ и $R_2$ са двата главни радиуса на кривината на повърхността, измерени в метри (m)

Повърхността се извива по различен начин в различните посоки. $R_1$ и $R_2$ описват кривината по две взаимно перпендикулярни посоки. При сфера, например капка или мехурче, $R_1$ е равно на $R_2$, така че формулата се опростява до:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Знакова конвенция

Налягането винаги е по-високо от вдлъбнатата страна на извита граница — страната, от която повърхността се издува. При капка или мехурче това означава, че налягането отвътре е по-високо от налягането отвън. Радиусът се приема за положителен, когато центърът му на кривина се намира от страната с по-високо налягане. Ако повърхността се извива в обратната посока по една от посоките, този радиус се приема за отрицателен. Граница със седловидна форма, например шийката от течност между две допиращи се зърна, има един положителен и един отрицателен радиус и двата члена частично се компенсират.

Този калкулатор използва само положителни радиуси.

Специални случаи

• Плоска повърхност: когато радиусът нараства към безкрайност, съответният му член във формулата се стреми към нула. При напълно плоска граница разлика в налягането няма.
• Цилиндър: дълга цилиндрична повърхност, например течна струя, излизаща от дюза, се извива само в една посока. Единият радиус е радиусът на цилиндъра, а другият е безкраен по дължината му, така че формулата се свежда до $\Delta P = \gamma / R$. Това е половината от разликата в налягането при сфера със същия радиус.
• Много малки мащаби: под приблизително 10 до 20 нанометра допълнителни ефекти, като линейното напрежение, стават значими и простото уравнение губи точност.

Как се изчислява разликата в налягането с уравнението на Йънг–Лаплас

1. Намерете повърхностното напрежение на флуида в N/m при температурата, която ви интересува. Повърхностното напрежение намалява с повишаването на температурата.
2. Измерете или оценете първия главен радиус на кривината, $R_1$, в метри.
3. Измерете или оценете втория главен радиус на кривината, $R_2$, в метри. При сфера използвайте същата стойност като за $R_1$. При цилиндър използвайте много голямо число вместо безкрайност.
4. Умножете повърхностното напрежение по сумата на $1/R_1$ и $1/R_2$. Резултатът е разликата в налягането, измерена в паскали.

Използвайте SI единици за всяка стойност. Смесването например на милиметри с метри променя резултата с коефициент хиляда.

Решен пример

Нека разгледаме сферична водна капка с радиус 1 милиметър (0,001 m) и повърхностно напрежение 0,072 N/m — типична стойност за водата при стайна температура.

Тъй като капката е сфера, $R_1 = R_2 = R$, така че:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Налягането вътре в капката е с 144 Pa по-високо от налягането на околния въздух. Това е малко в сравнение с нормалното атмосферно налягане, приблизително 101 325 Pa, но ефектът нараства бързо с намаляването на размера на капката. Капка с радиус една десета от този размер, 0,1 mm, има десет пъти по-голяма разлика в налягането: 1 440 Pa. При капка с радиус 0,01 mm разликата достига 14 400 Pa, или над 14% от атмосферното налягане.

Приложения на уравнението

• Капки и мехурчета: по-високото налягане в малките капки предизвиква зреенето на Оствалд — процес, при който малките капки в емулсията се свиват, а по-големите нарастват, тъй като съдържанието им дифундира от област с високо към област с ниско налягане.
• Капилярно действие: извитата повърхност в тясна тръба изтегля течността нагоре. Затова водата се изкачва по хартиени кърпи и в тесни стъклени тръби.
• Дишане: малките въздушни мехурчета в белите дробове, наречени алвеоли, се държат като малки мехурчета. Покритие, наречено белодробен сърфактант, намалява повърхностното напрежение, така че малките алвеоли да не колабират под налягането, предсказано от уравнението. Преждевременно родените бебета, които не разполагат с достатъчно сърфактант, могат по тази причина да развият проблеми с дишането.
• Струйно печатане: дюзите на принтерите образуват капки с размер от десетки микрометри, при които налягането, породено от кривината, е достатъчно голямо, за да определя начина, по който мастилото напуска дюзата.
• Материалознание: уредите, които измерват как течностите омокрят повърхност и как се държат тънките покрития, използват уравнението, за да свържат формата на капката с нейната повърхностна енергия.

История

Хората наблюдавали как течности се изкачват по тесни тръби много преди някой да обясни причината. В началото на 1700-те години Франсис Хоксби показал експериментално, че по-тесните тръби предизвикват по-голямо капилярно издигане, а през 1718 г. Джеймс Джурин описал издигането като обратно пропорционално на диаметъра на тръбата.

Томас Йънг обяснил лежащата в основата физика в статия от 1805 г., като въвел повърхностното напрежение като свойство на флуида и го свързал с налягането през извити повърхности, макар че изложението му било предимно описателно. През 1806 г. Пиер-Симон Лаплас извел математическия вид с помощта на математически анализ и независимо достигнал до същата зависимост. Съвместната им работа станала известна като уравнението на Йънг–Лаплас. По-късни учени, сред които Карл Фридрих Гаус и Жозеф Плато, проверили и разширили теорията през 1800-те години.

Често задавани въпроси

Какво изчислява уравнението на Йънг–Лаплас? То изчислява разликата в налягането през извита граница между два флуида въз основа на повърхностното напрежение на флуида и кривината на границата.

Защо налягането е по-високо в по-малка капка? Повърхностното напрежение действа по ръба на капката и тази сила нараства пропорционално на радиуса. Площта, върху която налягането трябва да действа, нараства с квадрата на радиуса. Балансирането на двете величини дава $\Delta P = 2\gamma/R$, така че разликата в налягането е обратно пропорционална на радиуса: ако радиусът се намали наполовина, разликата в налягането се удвоява.

Как температурата влияе на уравнението? Температурата променя стойността на повърхностното напрежение, а повърхностното напрежение намалява с повишаването на температурата. При водата повърхностното напрежение спада от около 0,073 N/m при 20 °C до приблизително 0,063 N/m при 80 °C — намаление от около 0,17 mN/m за всеки градус по Целзий. Повърхностното напрежение при стайна температура е по-високо от това на горещата вода, така че използването на стойност за стайна температура при гореща система надценява разликата в налягането.

Работи ли уравнението за форми, различни от сфери? Да. Общият вид с два отделни радиуса $R_1$ и $R_2$ обхваща всяка извита повърхност, включително елипсоиди и граници със седловидна форма. Само опростената версия $2\gamma/R$ е ограничена до сфери.

По какво уравнението на Йънг–Лаплас се различава от уравнението на Йънг? Уравнението на Йънг–Лаплас дава разликата в налягането, породена от извита граница. Уравнението на Йънг, отделна зависимост, също формулирана от Томас Йънг, дава контактния ъгъл, който капката образува там, където се среща с твърда повърхност, въз основа на повърхностните енергии на трите участващи материала. Те описват различни явления и понякога се използват заедно при анализа на капка, намираща се върху повърхност.

Колко малка може да бъде една капка, преди уравнението да престане да работи? Уравнението остава точно до приблизително 1 микрометър. Под около 10 до 20 нанометра допълнителни сили, които уравнението не отчита, включително линейното напрежение и силите между повърхности на молекулярно ниво, стават достатъчно големи, за да имат значение, и са необходими по-подробни модели.

Източници

1. Йънг, Т. (1805). „Есе върху кохезията на флуидите.“ Философски трудове на Кралското дружество в Лондон, 95, 65–87.
2. Лаплас, П. С. (1806). Traité de Mécanique Céleste, приложение към книга 10.
3. дьо Жен, П. Ж., Брошар-Виар, Ф. и Кере, Д. (2004). Капилярност и явления на омокряне: Капки, мехурчета, перли, вълни. Springer.
4. Адамсън, А. У. и Гаст, А. П. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6-о изд.). Wiley-Interscience.