Калкулатор на уравнение на Юнг-Лаплас | Налягане на интерфейс

Какво представлява уравнението на Йънг–Лаплас?

Уравнението на Йънг–Лаплас е формула от механиката на флуидите, която дава разликата в налягането през извита граница между два флуида, например повърхността на водна капка или сапунен мехур. То показва, че тази разлика в налягането зависи от повърхностното напрежение на флуида и от това колко силно е извита границата. Уравнението обяснява защо в капките и мехурчетата се натрупва налягане и защо по-малките имат по-високо вътрешно налягане от по-големите.

Наименувано е на Томас Йънг и Пиер-Симон Лаплас, които всеки поотделно описват зависимостта през 1805 г..

Формула на уравнението на Йънг–Лаплас

Общият вид на уравнението е:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ е разликата в налягането през границата, измерена в паскали (Pa)
• $\gamma$ (гама) е повърхностното напрежение на флуида, измерено в нютони на метър (N/m)
• $R_1$ и $R_2$ са двата главни радиуса на кривината на повърхността, измерени в метри (m)

Повърхността се извива по различен начин в различните посоки. $R_1$ и $R_2$ описват кривината по две взаимно перпендикулярни посоки. При сфера, например капка или мехурче, $R_1$ е равно на $R_2$, така че формулата се опростява до:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Знакова конвенция

Налягането винаги е по-високо от вдлъбнатата страна на извита граница, т.е. от страната, от която повърхността се издува навън. При капка или мехур това означава, че налягането отвътре е по-високо от налягането отвън. Когато повърхността се извива в обратна посока по едно направление, както при седловидна форма, този радиус се счита за отрицателен в общата формула. Този калкулатор приема само положителни радиуси, затова обхваща повърхности, които се извиват в една и съща посока и по двете направления.

Специални случаи

• Плоска повърхност: когато радиусът нараства към безкрайност, съответният му член във формулата се стреми към нула. При напълно плоска граница разлика в налягането няма.
• Цилиндър: във вътрешността на тясна тръба, например капиляр, единият радиус е радиусът на тръбата, а другият е на практика безкраен по дължината ѝ. Формулата се свежда до $\Delta P = \gamma / R$.
• Много малки мащаби: при мащаб от няколко нанометра значение придобиват допълнителни ефекти, като линейното напрежение, и простото уравнение губи точност.

Как се изчислява разликата в налягането с уравнението на Йънг–Лаплас

1. Намерете повърхностното напрежение на флуида в N/m при температурата, която ви интересува. Повърхностното напрежение намалява с повишаването на температурата.
2. Измерете или оценете първия главен радиус на кривината, $R_1$, в метри.
3. Измерете или оценете втория главен радиус на кривината, $R_2$, в метри. За сфера използвайте същата стойност като за $R_1$. За цилиндър използвайте много голямо число, което замества безкрайността (калкулаторът не приема самата безкрайност).
4. Умножете повърхностното напрежение по сумата на $1/R_1$ и $1/R_2$. Резултатът е разликата в налягането, измерена в паскали.

Използвайте SI единици за всяка стойност. Смесването например на милиметри с метри променя резултата с коефициент хиляда.

Пример с решение

Вземете сферична водна капка с радиус 1 милиметър (0,001 m) и повърхностно напрежение 0,072 Н/m. Това е стойността по подразбиране в калкулатора и съответства на водата при 25 °C, 71,98 mN/m.

Тъй като капката е сфера, $R_1 = R_2 = R$, така че:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Налягането във вътрешността на капката е с 144 Pa над налягането на околния въздух. Това е малко в сравнение със стандартното атмосферно налягане от 101 325 Pa, но ефектът нараства бързо, когато капката се смалява. Капка с десет пъти по-малък радиус, 0,1 mm, има десет пъти по-голяма разлика в налягането: 1 440 Pa. Капка с радиус 0,01 mm достига 14 400 Pa, повече от 14% от атмосферното налягане.

Приложения на уравнението

• Капки и мехурчета: по-високото налягане в малките капки предизвиква зреенето на Оствалд — процес, при който малките капки в емулсията се свиват, а по-големите нарастват, тъй като съдържанието им дифундира от област с високо към област с ниско налягане.
• Капилярност (капилярен ефект): извитата повърхност в тясна тръба изтегля течността нагоре. Затова водата се изкачва по хартиени кърпи и в тесни стъклени тръби.
• Дишане: малките въздушни мехурчета в белите дробове, наречени алвеоли, се държат като малки мехури. Покритие, наречено белодробен сърфактант, понижава повърхностното напрежение, така че малките алвеоли да не колабират под налягането, което предвижда уравнението. Недоносените бебета, на които липсва достатъчно сърфактант, могат да развият респираторен дистрес синдром, защото без него белите дробове колабират.
• Мастилено-струен печат: дюзите на принтерите образуват много малки капки, при които налягането, породено от кривината, е достатъчно голямо, за да определя как мастилото напуска дюзата.
• Материалознание: уредите, които измерват как течностите омокрят повърхност и как се държат тънките покрития, използват уравнението, за да свържат формата на капката с нейната повърхностна енергия.

История

Хората са наблюдавали течности да се изкачват по тесни тръби много преди някой да обясни защо. Опитите на Франсис Хоксби и Джеймс Джурин в Лондонското кралско дружество измерват как течността се издига в тесни тръби и между плочи. Законът на Джурин, който свързва височината на издигане с ширината на тръбата, носи неговото име.

През 1805 г. Томас Йънг публикува есе за сцеплението на флуидите, а Лаплас публикува допълнение към своя трактат по небесна механика. Подходът на Йънг е предимно описателен, докато Лаплас извежда математическия вид. Съвместната им работа се превръща в уравнението на Йънг–Лаплас. По-късно Карл Фридрих Гаус усъвършенства теорията, а Жозеф Плато я разширява чрез опити със сапунени ципи.

Често задавани въпроси

Какво изчислява уравнението на Йънг–Лаплас? То изчислява разликата в налягането през извита граница между два флуида въз основа на повърхностното напрежение на флуида и кривината на границата.

Защо налягането е по-високо във вътрешността на по-малка капка? Повърхностното напрежение дърпа повърхността навътре със същата вътрешна сила независимо от размера, но това дърпане действа върху по-малка площ при по-малката капка и концентрира ефекта си в по-високо налягане. Налягането е обратно пропорционално на радиуса: при наполовина по-малък радиус разликата в налягането се удвоява.

Как температурата влияе на уравнението? Температурата променя стойността на повърхностното напрежение, а повърхностното напрежение намалява с нарастването на температурата. При водата повърхностното напрежение спада от 0,0727 Н/m при 20 °C до 0,0627 Н/m при 80 °C, т.е. намалява с около 0,17 mN/m на всеки градус Целзий. Ако за гореща система се използва стойност на повърхностното напрежение при стайна температура, действителната разлика в налягането ще бъде занижена.

Важи ли уравнението за форми, различни от сфери? Да. Общият вид с два отделни радиуса $R_1$ и $R_2$ обхваща всяка извита повърхност, включително елипсоиди и седловидни граници. Само опростеният вариант $2\gamma/R$ е ограничен до сфери. Този калкулатор приема само положителни радиуси, затова не обработва седловидни форми.

По какво уравнението на Йънг–Лаплас се различава от уравнението на Йънг? Уравнението на Йънг–Лаплас дава разликата в налягането, породена от извита граница. Уравнението на Йънг, отделна зависимост, също формулирана от Томас Йънг, дава контактния ъгъл, който капката образува там, където се среща с твърда повърхност, въз основа на повърхностните енергии на трите участващи материала. Те описват различни явления и понякога се използват заедно при анализа на капка, намираща се върху повърхност.

Колко малка може да бъде една капка, преди уравнението да спре да работи? Уравнението работи добре за ежедневни капки и мехури. При мащаб от няколко нанометра допълнителни сили, които уравнението пренебрегва, включително линейното напрежение и силите между повърхностите на молекулно ниво, стават достатъчно големи, за да имат значение, и са нужни по-подробни модели.

Източници

1. Physics Today (Американски институт по физика). Two hundred years of capillarity research. Two hundred years of capillarity research — есето на Йънг и допълнението на Лаплас през 1805 г.; опитите на Хоксби и Джурин; Йънг е качествен, Лаплас е математически.
2. Международна асоциация за свойствата на водата и водната пара. Revised Release on Surface Tension of Ordinary Water Substance (2014). Издание на IAPWS за повърхностното напрежение — повърхностно напрежение на водата 72,74 mN/m при 20 °C, 71,98 при 25 °C, 62,68 при 80 °C.
3. Национален институт по стандартизация и технологии на САЩ. NIST Guide to the SI, Appendix B.8. NIST SP 811 Appendix B.8 — стандартна атмосфера = 1,013 25 × 10⁵ Pa.
4. Национален институт по сърце, бял дроб и кръв на САЩ. Respiratory Distress Syndrome. NHLBI: респираторен дистрес синдром — РДС се причинява от липса на сърфактант; без него белите дробове колабират.