Calculadora de seguretat de càrrega de bigues

Una calculadora de seguretat de càrrega de bigues comprova si una biga pot suportar una càrrega determinada sense superar el límit de tensió admissible del seu material. Calcula la tensió de flexió que la càrrega produeix dins la biga, compara aquesta tensió amb la tensió admissible del material i mostra un factor de seguretat juntament amb un veredicte de seguretat o inseguretat.

Què significa la «seguretat d’una biga»

Una biga és un element estructural que s’estén entre dos suports i transmet-hi les càrregues lateralment, com ara una biga de forjat, una llinda sobre una porta o el suport d’un prestatge. Quan una càrrega empeny una biga cap avall, la biga es flexiona. La flexió estira les fibres d’un costat i comprimeix les de l’altre. La tensió que això genera depèn del pes de la càrrega, de la distància entre els suports i de la forma de la secció transversal de la biga.

Una biga falla, o es considera insegura, quan la tensió que hi ha al seu interior supera el que el material pot suportar. Els enginyers no dissenyen fins a arribar just a aquest límit. Deixen un marge anomenat factor de seguretat, de manera que la biga continuï suportant la càrrega encara que la càrrega real, la resistència del material o la qualitat de la construcció variïn lleugerament respecte del projecte.

Aquesta calculadora tracta un cas habitual: una biga recolzada sobre dos suports amb una sola càrrega que empeny cap avall al centre. Això s’anomena biga simplement recolzada amb una càrrega puntual central. No cobreix les bigues en voladís (fixades només per un extrem), les càrregues distribuïdes al llarg de tota la llum, les càrregues múltiples ni el pes de la mateixa biga.

Fórmula de seguretat de càrrega de la biga

Tensió de flexió

La tensió que una càrrega produeix dins una biga és:

$\sigma = \frac{M}{S}$

• σ (sigma) és la tensió de flexió, en megapascals (MPa)
• M és el moment flector màxim, en newtons metre (N·m)
• S és el mòdul resistent de la secció transversal de la biga, en metres cúbics (m³)

Per a una biga recolzada sobre dos suports amb una sola càrrega al centre, el moment flector màxim és:

$M = \frac{P \times L}{4}$

• P és la càrrega aplicada, en newtons (N)
• L és la llum entre els suports, en metres (m)

Mòdul resistent de la secció segons la forma

El mòdul resistent de la secció S depèn de la forma de la secció transversal de la biga. És igual al moment d’inèrcia (I), una mesura de com es distribueix el material respecte del centre, dividit per la distància entre el centre i la vora exterior (c).

Rectangle (massís, com una biga de fusta):

$I = \frac{b \times h^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

b és l’amplada i h és l’alçada.

Cercle (una barra o un tub):

$I = \frac{\pi \times d^4}{64}, \qquad S = \frac{I}{d/2}$

d és el diàmetre.

Perfil en I (un perfil d’acer amb ales superior i inferior i una ànima prima entre elles):

$I = \frac{b \times h^3}{12} - \frac{(b - t_w) \times h_w^3}{12}, \qquad S = \frac{I}{h/2}$

Aquí b és l’amplada de l’ala, h és l’alçada total, $t_w$ és el gruix de l’ànima i $h_w$ és l’alçada de l’ànima (l’alçada total menys dues vegades el gruix de l’ala). Això tracta el perfil en I com un rectangle massís amb una ranura rectangular retallada al centre.

Factor de seguretat

$\text{Factor de seguretat} = \frac{\text{Tensió admissible}}{\text{Tensió real}}$

Un factor de seguretat de 1,0 significa que la biga està carregada exactament fins al seu límit. Un valor inferior a 1,0 significa que la biga és insegura: la càrrega produeix més tensió de la que el material pot suportar. Un valor superior a 1,0 significa que la biga té marge. La calculadora considera que una biga és segura quan el factor de seguretat arriba a 1,0.

Tensió admissible segons el material

La calculadora utilitza una tensió de flexió admissible fixa per a cada material. No és el mateix que el punt en què el material comença a trencar-se; és un valor de projecte que ja incorpora un marge, similar als valors utilitzats per normes estructurals com el manual d’acer de l’AISC.

Són valors simplificats i d’ús general. La tensió admissible real varia segons el grau de l’acer, l’espècie i la classificació de la fusta i l’aliatge i el tremp de l’alumini. En un projecte de construcció real, cal comprovar el grau específic del material d’acord amb la normativa d’edificació aplicable abans de finalitzar el disseny.

Com calcular la seguretat de càrrega d’una biga: exemple resolt

Un propietari vol comprovar si una biga de forjat existent pot suportar una banyera d’hidromassatge.

Dades:

• Forma: rectangular, amplada 0,05 m, alçada 0,2 m (aproximadament un tauló de 2 per 8)
• Material: fusta
• Llum entre els suports: 3,5 m
• Càrrega al centre: 2000 N (aproximadament el pes de la banyera, l’aigua i una persona)

Pas 1: Moment d’inèrcia. $I = \frac{0.05 \times 0.2^3}{12} = 3.33 \times 10^{-5}\ \text{m}^4$

Pas 2: Mòdul resistent de la secció. $S = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{0.2 / 2} = 3.33 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$

Pas 3: Moment flector. $M = \frac{2000 \times 3.5}{4} = 1750\ \text{N·m}$

Pas 4: Tensió de flexió. $\sigma = \frac{1750}{3.33 \times 10^{-4}} \approx 5.25\ \text{MPa}$

Pas 5: Factor de seguretat. La tensió admissible de la fusta és 10 MPa, per tant: $\text{Factor de seguretat} = \frac{10}{5.25} \approx 1.90$

Un factor de seguretat de 1,90 és superior a 1,0, de manera que la biga de forjat és segura per a aquesta càrrega, amb un marge raonable.

Dos exemples més

Perfil d’acer en I. Alçada 0,2 m, amplada de l’ala 0,1 m, gruix de l’ala 0,01 m, gruix de l’ànima 0,006 m, llum 5 m i càrrega central 50.000 N. El moment d’inèrcia resulta ser aproximadament 2,10 × 10⁻⁵ m⁴, cosa que dona una tensió de flexió d’aproximadament 298 MPa enfront de la tensió admissible de l’acer, 165 MPa. El factor de seguretat és aproximadament 0,55, que és insegur: la biga és massa petita per a aquesta llum i càrrega. Caldria una secció més alta, una llum més curta o una càrrega més lleugera.

Barra d’alumini. Diàmetre 0,08 m, llum 4 m i càrrega central 800 N. El mòdul resistent de la secció és aproximadament 5,03 × 10⁻⁵ m³, cosa que dona una tensió de flexió d’aproximadament 15,9 MPa enfront de la tensió admissible de l’alumini, 100 MPa. El factor de seguretat és aproximadament 6,28, clarament segur.

Què no cobreix la calculadora

• Bigues en voladís. Una biga fixada per un extrem amb una càrrega a l’extrem lliure experimenta un moment flector diferent i més gran ($M = P \times L$, no $P \times L / 4$) que el cas de biga simplement recolzada que modela aquesta calculadora.
• Càrregues distribuïdes. Les càrregues distribuïdes uniformement al llarg de la llum, com ara el pes d’un forjat, no són iguals que una sola càrrega puntual al centre.
• Pes propi. La calculadora només considera la càrrega aplicada. No afegeix el pes de la mateixa biga.
• Fletxa. Una biga pot superar la comprovació de tensió i, tot i així, enfonsar-se més del que és acceptable en un forjat o sostre. La comprovació de la fletxa requereix un càlcul independent.
• Càrregues dinàmiques i repetides. Les ràfegues de vent, les vibracions i les càrregues d’impacte impliquen forces que van més enllà d’una comprovació estàtica simple.

En una estructura real, especialment quan una fallada podria ferir algú, cal que un enginyer estructural habilitat revisi el disseny.

Preguntes més freqüents

Què és una calculadora de seguretat de càrrega de bigues? És una eina que compara la tensió que una càrrega produeix en una biga amb la tensió admissible del material de la biga i, a continuació, mostra un factor de seguretat i un resultat de seguretat o inseguretat.

Quin factor de seguretat és suficient? No hi ha una única resposta; depèn de la normativa d’edificació aplicable i del grau de certesa sobre la càrrega. Un factor de 1,0 és el mínim estricte i no deixa marge. Molts dissenys habituals utilitzen factors més alts, sovint entre 1,5 i 3, però la normativa que regeix el projecte concret estableix el requisit real.

Aquesta calculadora pot comprovar una biga en voladís? No. Només modela una biga recolzada pels dos extrems amb una sola càrrega al centre. Una biga en voladís, fixada per un extrem i amb una càrrega a l’altre, té un moment flector diferent i generalment més gran per a la mateixa càrrega i longitud.

Per què la tensió admissible de l’acer és inferior al seu límit elàstic? El límit elàstic és la tensió a partir de la qual l’acer comença a deformar-se permanentment. Les normes estructurals fixen la tensió admissible de projecte per sota del límit elàstic, habitualment al voltant de dos terços d’aquest valor, perquè la biga no treballi just al punt de deformació permanent sota la seva càrrega de servei.

Un resultat segur significa que la biga no es deformarà? No. Aquesta calculadora només comprova la tensió de flexió. Una biga pot ser segura pel que fa a la tensió i, tot i així, deformar-se o enfonsar-se més del que és confortable o permès per a l’aplicació. La fletxa es comprova amb un càlcul independent.

Per què l’alçada de la biga és tan important? L’alçada entra en la fórmula del moment d’inèrcia com $h^3$, però el mòdul resistent de la secció que determina la capacitat de càrrega d’aquesta calculadora és $S = bh^2/6$ per a un rectangle, de manera que l’alçada hi entra com $h^2$. Doblar l’alçada d’una biga rectangular quadruplica el seu mòdul resistent i, per tant, quadruplica la càrrega admissible que mostra aquesta calculadora, molt més que doblar-ne l’amplada, cosa que només duplica S. Per això les bigues més altes són molt més eficients per resistir la flexió que les més amples. L’increment de vuit vegades del moment d’inèrcia és important per a la rigidesa i la fletxa, que aquesta calculadora no calcula.

Referències

1. Gere, J. M., i Goodno, B. J. (2012). Mechanics of Materials (8a ed.). Cengage Learning.
2. American Institute of Steel Construction. (2017). Steel Construction Manual (15a ed.). AISC.
3. American Wood Council. (2018). National Design Specification for Wood Construction. AWC.