Calculadora del Test Exacte de Fisher - Eina Estadística Gratuïta

Què és la prova exacta de Fisher?

La prova exacta de Fisher és un mètode estadístic que comprova si dues variables categòriques estan relacionades, utilitzant dades disposades en una taula de 2×2. Calcula una probabilitat exacta, anomenada valor p, en lloc d’una aproximació. Això la fa útil quan la mostra és petita.

La prova compara els recomptes de dues files i dues columnes, com ara els pacients «tractats» i «no tractats» que es van recuperar o no. Una taula de 2×2 té quatre cel·les, normalment etiquetades A, B, C i D, a més dels totals de les files i les columnes.

Prova exacta de Fisher i prova de khi quadrat

La prova de khi quadrat també comprova si hi ha una relació entre dues variables categòriques, però es basa en una aproximació que només funciona bé quan els recomptes de les cel·les són prou grans. Una regla pràctica habitual és que, si qualsevol recompte esperat d’una cel·la de la taula és inferior a 5, l’aproximació de khi quadrat esdevé poc fiable i és preferible la prova exacta de Fisher. La prova exacta de Fisher funciona amb mostres de qualsevol mida, però és matemàticament exacta en lloc de ser aproximada, que és el seu principal avantatge per a les mostres petites.

Com es calcula la prova exacta de Fisher

La prova utilitza la distribució hipergeomètrica, que descriu la probabilitat d’extreure un nombre determinat d’elements d’un grup sense tornar-los a introduir. Donats els totals de les files i les columnes d’una taula, la distribució hipergeomètrica dona la probabilitat de qualsevol disposició concreta dels quatre recomptes de les cel·les.

La fórmula de la probabilitat

Per a una taula amb les cel·les A, B, C i D, totals de fila r₁ = A + B i r₂ = C + D, totals de columna c₁ = A + C i c₂ = B + D, i una mida total de la mostra n = A + B + C + D, la probabilitat d’aquesta taula exacta és:

$P = \frac{r_1!\, r_2!\, c_1!\, c_2!}{A!\, B!\, C!\, D!\, n!}$

Aquí, «!» vol dir factorial: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Valor p unilateral

Un valor p unilateral suma la probabilitat de la taula observada i la de totes les altres taules amb els mateixos totals de fila i columna que mostren una relació igual o més forta en la mateixa direcció. La «direcció» es decideix comparant la cel·la A amb el valor que tindria si les dues variables no estiguessin relacionades, anomenat valor esperat: E(A) = r₁c₁ / n.

• Si A és igual o superior a E(A), l’associació tendeix a ser positiva, i la suma inclou tots els valors possibles de la cel·la A des del valor observat fins al valor màxim possible.
• Si A és inferior a E(A), l’associació tendeix a ser negativa, i la suma va des del valor mínim possible de la cel·la A fins al valor observat.

Valor p bilateral

Un valor p bilateral suma les probabilitats de totes les taules possibles amb els mateixos totals de fila i columna la probabilitat de les quals és igual o inferior a la probabilitat de la taula observada. Això compta els resultats extrems en totes dues direccions, de manera que un valor p bilateral sol ser més gran que un valor p unilateral calculat a partir de la mateixa taula.

Exemple resolt

Un assaig petit administra un fàrmac nou a 10 pacients i un placebo a 10 pacients més. Els resultats són:

Aquí A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 i n = 20. El valor esperat d’A sota independència és E(A) = (10 × 11) / 20 = 5,5. Com que 8 és superior a 5,5, l’associació tendeix a ser positiva, de manera que la suma unilateral va des d’A = 8 fins al valor màxim possible d’A, que és 10.

El càlcul de les probabilitats hipergeomètriques per a A = 8, 9 i 10 dona un valor p unilateral d’aproximadament 0,0349. Si se sumen les probabilitats de totes les taules, en totes dues direccions, amb una probabilitat igual o inferior a la de la taula observada, s’obté un valor p bilateral d’aproximadament 0,0698.

Amb el llindar habitual de 0,05, el resultat unilateral es considera estadísticament significatiu, mentre que el resultat bilateral no. Això mostra per què és important triar el tipus de prova: una prova unilateral només és adequada quan la direcció de l’efecte —en aquest cas, que el fàrmac millora els resultats— s’havia predit abans d’examinar les dades.

Quan s’ha d’utilitzar la prova exacta de Fisher

La prova exacta de Fisher és habitual en:

• Assaigs clínics amb un nombre reduït de pacients.
• Controls de qualitat que comparen els recomptes de defectes entre dos lots de producció.
• Recerca genètica que compara els recomptes d’un tret entre dos grups petits.
• Qualsevol taula de 2×2 en què el recompte esperat d’una cel·la sigui inferior a 5.

Preguntes freqüents

Per a què s’utilitza la prova exacta de Fisher? Comprova si dues variables categòriques estan relacionades, utilitzant els recomptes d’una taula de 2×2. Sovint es tria en lloc de la prova de khi quadrat quan la mostra és petita.

Quan s’ha d’utilitzar la prova exacta de Fisher en lloc de la prova de khi quadrat? Quan qualsevol recompte esperat d’una cel·la de la taula sigui inferior a 5, o quan calgui una certesa addicional sobre la probabilitat exacta independentment de la mida de la mostra.

Quina diferència hi ha entre els resultats unilaterals i els bilaterals? Un valor p unilateral avalua una direcció prevista de l’efecte, decidida abans de veure les dades. Un valor p bilateral avalua si existeix qualsevol associació, en qualsevol de les dues direccions. El valor p bilateral de la mateixa taula sol ser més gran.

Aquesta calculadora dona una raó de possibilitats? No. Només dona el valor p exacte. La raó de possibilitats de la mateixa taula es pot trobar separadament dividint A × D per B × C.

Es pot utilitzar la prova exacta de Fisher amb taules més grans que 2×2? La versió descrita aquí és per a taules de 2×2. Per a taules més grans cal un mètode relacionat anomenat extensió de Freeman-Halton, disponible en la majoria dels programes estadístics.

Es pot utilitzar la prova exacta de Fisher amb dades aparellades, com ara mesuraments abans i després en les mateixes persones? No. Assumeix dos grups independents. Per a les dades categòriques aparellades cal utilitzar la prova de McNemar.

Referències

1. Fisher, R.A. (1922). «On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.» Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. i Halton, J.H. (1951). «Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.» Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3a ed.). Wiley.