Calculadora de Puntuació Z - Eina de Puntuació Estàndard i Probabilitat

Què és una puntuació z?

Una puntuació z, també anomenada puntuació estandarditzada, mesura quantes desviacions estàndard separen un punt de dades de la mitjana d’un conjunt de dades. Una puntuació z de 0 significa que el valor és igual a la mitjana. Una puntuació z positiva significa que el valor és superior a la mitjana, i una puntuació z negativa significa que és inferior.

Fórmula de la puntuació z

La puntuació z d’un punt de dades es calcula amb aquesta fórmula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

On:

• $z$ és la puntuació z
• $x$ és el punt de dades
• $\mu$ és la mitjana del conjunt de dades
• $\sigma$ és la desviació estàndard del conjunt de dades

La desviació estàndard no pot ser zero, perquè la divisió per zero no té cap resultat definit. Tampoc no pot ser negativa, ja que, per definició, una desviació estàndard sempre és zero o positiva.

Com es calcula una puntuació z

1. Trobeu la mitjana del conjunt de dades sumant tots els valors i dividint-los pel nombre de valors, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Trobeu la desviació estàndard. Primer, calculeu la variància, que és la mitjana de les diferències al quadrat respecte de la mitjana, i després extraieu-ne l’arrel quadrada.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Aquesta és la desviació estàndard poblacional, que divideix per $n$. Quan els nombres són una mostra extreta d’un grup més gran, dividiu per $n - 1$.

3. Resteu la mitjana del punt de dades i dividiu el resultat per la desviació estàndard.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemple resolt

Un estudiant obté 85 en una prova. La mitjana de la classe és 75, i la desviació estàndard de les puntuacions de la classe és 10.

• Punt de dades: $x = 85$
• Mitjana: $\mu = 75$
• Desviació estàndard: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

La puntuació z de l’estudiant és 1,0. La seva puntuació es troba una desviació estàndard per sobre de la mitjana de la classe.

Puntuació z i probabilitat acumulada

Una puntuació z es pot convertir en una probabilitat acumulada, és a dir, la probabilitat que un valor escollit aleatòriament d’una distribució normal sigui igual o inferior a aquest punt. És l’àrea sota la corba normal estàndard a l’esquerra de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Per a la puntuació z de l’estudiant, 1,0, la probabilitat acumulada és aproximadament 0,8413, o 84,13 %. Això significa que l’estudiant ha obtingut una puntuació superior a la d’aproximadament 84 % de la classe, suposant que les puntuacions segueixen una distribució normal. La calculadora mostra la puntuació z amb quatre decimals i la probabilitat acumulada com a percentatge amb dos decimals.

Alguns punts de referència:

Interpretació d’una puntuació z

La majoria dels valors d’una distribució normal es troben dins de 2 desviacions estàndard de la mitjana. Les puntuacions z superiors a +3 o inferiors a -3 són rares i sovint es consideren valors atípics, és a dir, valors que difereixen molt de la resta de les dades.

Les puntuacions z també permeten comparar valors mesurats en escales diferents. Una puntuació d’una prova i una mesura d’alçada no es poden comparar directament, però sí que se’n poden comparar les puntuacions z, perquè totes dues descriuen la distància respecte d’una mitjana en les mateixes unitats de desviació estàndard.

Puntuació z i puntuació t

Una puntuació z pressuposa que es coneix la desviació estàndard poblacional i funciona millor amb mostres grans. En canvi, s’utilitza una puntuació t quan es desconeix la desviació estàndard poblacional i la mostra és petita, habitualment de menys de 30 observacions. Totes dues descriuen la distància respecte d’una mitjana, però una puntuació t prové de la distribució t, que té cues més pesants per tenir en compte la incertesa addicional d’una mostra petita.

Usos habituals de les puntuacions z

• Proves estandarditzades. Comparar la puntuació bruta d’un estudiant amb la distribució general de les puntuacions.
• Detecció de valors atípics. Assenyalar els punts de dades allunyats de la mitjana en un conjunt de dades.
• Control de qualitat. Comprovar si un article fabricat es troba dins d’un interval acceptable.
• Contrast d’hipòtesis. Els contrastos z utilitzen puntuacions z per determinar si la mitjana d’una mostra difereix de manera significativa d’una mitjana poblacional coneguda.

Història

La puntuació z es basa en la distribució normal, descrita per Abraham de Moivre l’any 1733 i desenvolupada posteriorment per Carl Friedrich Gauss i Pierre-Simon Laplace a principis del segle 19è. L’estandardització dels valors en unitats de desviació estàndard es va convertir en una pràctica habitual en les proves psicològiques i el control de qualitat durant el segle 20è.

Preguntes freqüents

Què és una puntuació z en estadística? Una puntuació z és el nombre de desviacions estàndard que separen un punt de dades de la mitjana del seu conjunt de dades. Es calcula amb la fórmula z = (x − μ) / σ.

Com s’interpreta el resultat d’una puntuació z? Una puntuació z de 0 significa que el valor és igual a la mitjana. Un valor positiu és superior a la mitjana, i un valor negatiu és inferior. Els valors superiors a +3 o inferiors a -3 són inusuals.

Pot ser negativa una puntuació z? Sí. Una puntuació z negativa simplement significa que el punt de dades és inferior a la mitjana. Una puntuació z de -2 significa que el valor es troba 2 desviacions estàndard per sota de la mitjana.

Quina diferència hi ha entre una puntuació z i una puntuació t? Una puntuació z s’utilitza amb mostres grans quan es coneix la desviació estàndard poblacional. Una puntuació t s’utilitza amb mostres petites, generalment de menys de 30 observacions, quan aquesta desviació es desconeix.

Què significa la probabilitat acumulada d’una puntuació z? És la probabilitat que un valor seleccionat aleatòriament d’una distribució normal sigui inferior o igual a la puntuació z donada. És igual a l’àrea sota la corba normal a l’esquerra d’aquest punt.

Què passa si la desviació estàndard és zero? La puntuació z no està definida, perquè la fórmula requeriria dividir per zero. Una desviació estàndard de zero significa que tots els valors del conjunt de dades són idèntics.

Referències

1. Puntuació estandarditzada, Viquipèdia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Distribució normal i puntuacions z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review