Calculadora de Test Z - Eina Gratuïta de Significació Estadística

Què és una prova z?

Una prova z és una prova estadística que comprova si la mitjana d’una mostra difereix significativament de la mitjana coneguda de la població, quan la desviació estàndard de la població ja és coneguda. Produeix un únic nombre, la puntuació z, que mostra quantes desviacions estàndard separen la mitjana de la mostra de la mitjana de la població. Els investigadors, els inspectors de qualitat i els analistes la fan servir per determinar si una diferència observada és probablement real o només el resultat de l’atzar.

Fórmula de la prova Z

La prova z calcula una puntuació z amb aquesta fórmula:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ és la mitjana de la mostra
• $\mu$ és la mitjana de la població
• $\sigma$ és la desviació estàndard de la població
• $n$ és la mida de la mostra

La part inferior de la fórmula, $\sigma / \sqrt{n}$, s’anomena error estàndard. Mesura fins a quin punt s’espera que variïn les mitjanes de les mostres només a causa del mostreig aleatori.

Com calcular una prova z pas a pas

1. Trobeu la mitjana de la mostra ($\bar{x}$) a partir de les dades recollides.
2. Identifiqueu la mitjana coneguda de la població ($\mu$).
3. Identifiqueu la desviació estàndard coneguda de la població ($\sigma$).
4. Compteu la mida de la mostra ($n$).
5. Resteu $\mu$ de $\bar{x}$.
6. Dividiu $\sigma$ per l’arrel quadrada de $n$ per obtenir l’error estàndard.
7. Dividiu el resultat del pas 5 pel resultat del pas 6. La resposta és la puntuació z.

Exemple resolt

Una fàbrica afirma que els seus cargols fan una mitjana de 10 cm de llarg, amb una desviació estàndard poblacional de 0,2 cm. Un inspector mesura 100 cargols i troba una mitjana mostral de 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Error estàndard: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Puntuació z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

La puntuació z és 2,5. La mitjana de la mostra se situa 2,5 errors estàndard per sobre de la mitjana de la població.

Com interpretar una puntuació z

Una puntuació z propera a 0 significa que la mitjana de la mostra és propera a la mitjana de la població. Una puntuació z positiva o negativa gran significa que la mitjana de la mostra és lluny de la mitjana de la població, cosa que apunta a una diferència real i no a l’atzar.

Valors crítics habituals per a una prova bilateral:

• α = 0,10 (nivell de confiança del 90 %): z = ±1,645
• α = 0,05 (nivell de confiança del 95 %): z = ±1,96
• α = 0,01 (nivell de confiança del 99 %): z = ±2,58

Si la puntuació z calculada supera el valor crític corresponent al nivell de significació escollit, el resultat es considera estadísticament significatiu i es rebutja la hipòtesi nul·la (que no hi ha cap diferència).

En l’exemple resolt, z = 2,5 supera ±1,96, de manera que la diferència és estadísticament significativa al nivell 0,05. El valor p bilateral per a z = 2,5 és aproximadament 1,24 %, cosa que significa que hi ha aproximadament una possibilitat entre 1 i 80 d’observar una diferència tan gran si la longitud mitjana real dels cargols fos realment de 10 cm.

Quan cal fer servir una prova z

Una prova z és adequada quan:

• La desviació estàndard de la població és coneguda.
• La mida de la mostra és raonablement gran, normalment superior a 30.
• Les dades provenen d’un mostreig aleatori.
• La població segueix una distribució normal o la mostra és prou gran perquè s’hi pugui aplicar el teorema del límit central.

Si es desconeix la desviació estàndard de la població o la mostra és petita, es fa servir una prova t. La prova t estima la variabilitat a partir de la mateixa mostra i té en compte la incertesa addicional que això provoca.

Prova z i prova t

Totes dues proves mesuren fins a quin punt una mitjana mostral s’allunya d’un valor esperat, en unitats d’error estàndard. La prova z suposa que la desviació estàndard de la població és coneguda. La prova t estima aquest valor a partir de la mostra i fa servir una distribució més àmplia, que depèn de la mida de la mostra, per tenir en compte la incertesa addicional. A la pràctica, la prova t es fa servir molt més sovint, perquè la desviació estàndard real de la població poques vegades és coneguda.

Usos de la prova z en situacions reals

• Control de qualitat: comprovar si un lot de peces fabricades compleix l’especificació objectiu.
• Recerca mèdica: comparar el resultat mitjà d’un grup de tractament amb un valor poblacional conegut.
• Educació: comparar les puntuacions d’una classe en una prova amb una mitjana nacional.
• Finances: comprovar si els rendiments d’un fons difereixen d’una mitjana de referència.

Història

La distribució normal en què es basa la prova z va ser descrita per Abraham de Moivre el 1733, com a aproximació de la distribució binomial. Carl Friedrich Gauss i Pierre-Simon Laplace van desenvolupar posteriorment la teoria a principis de la dècada de 1800. Els mètodes formals de contrast d’hipòtesis, inclòs l’ús de puntuacions z i valors crítics per determinar la significació estadística, van ser desenvolupats a principis del segle 20 per estadístics com Ronald Fisher, Jerzy Neyman i Egon Pearson.

Què mostra aquesta calculadora

La calculadora demana quatre nombres: la mitjana de la mostra, la mitjana de la població, la desviació estàndard de la població i la mida de la mostra. Mostra la puntuació z arrodonida a quatre decimals. Sota el resultat, dibuixa la corba normal estàndard i marca la puntuació z amb una línia vertical, de manera que es pugui veure la posició del resultat dins de la distribució. La corba és la densitat normal estàndard, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

S’apliquen dos límits a les entrades. La mida de la mostra ha de ser superior a 0. La desviació estàndard de la població ha de ser com a mínim 0,0001; una dispersió menor fa que la puntuació z assoleixi un valor enorme que no té cap significat útil. La calculadora no mostra cap valor p; per tant, feu servir els valors crítics anteriors o una taula de la distribució normal estàndard per decidir si el resultat és significatiu.

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre una prova z i una prova t?

Una prova z requereix que la desviació estàndard de la població sigui coneguda i funciona millor amb mostres grans. Una prova t es fa servir quan es desconeix la desviació estàndard de la població i cal estimar-la a partir de la mostra; funciona tant amb mostres petites com grans.

Quina mida de mostra necessita una prova z?

Una mida de mostra superior a 30 és la regla pràctica habitual. Per sota d’aquest valor, els resultats d’una prova z es tornen poc fiables i normalment és millor triar una prova t.

Què significa una puntuació z de 2,5?

Una puntuació z de 2,5 significa que la mitjana de la mostra se situa 2,5 errors estàndard per sobre de la mitjana de la població. Això supera el valor crític bilateral de ±1,96 per a un nivell de confiança del 95 %, de manera que la diferència és estadísticament significativa en aquest nivell. El valor p bilateral per a z = 2,5 és aproximadament 1,24 %.

Què és un valor p en una prova z?

El valor p és la probabilitat d’obtenir un resultat tan extrem com a mínim com l’observat, si realment no hi hagués cap diferència respecte de la mitjana de la població. Un valor p més petit constitueix una evidència més contundent contra la hipòtesi nul·la. Un valor p inferior a 0,05 es considera habitualment estadísticament significatiu.

Quina és la hipòtesi nul·la en una prova z?

La hipòtesi nul·la afirma que no hi ha cap diferència entre la mitjana de la mostra i la mitjana de la població. La prova z mesura fins a quin punt la mostra aporta evidència contra aquesta afirmació.

Es pot fer servir una prova z amb mostres petites?

No és recomanable. Amb una mostra petita o quan es desconeix la desviació estàndard de la població, una prova t dona resultats més precisos perquè té en compte la incertesa addicional associada a l’estimació de la variabilitat a partir de dades limitades.