Arithmetische Sequenz Generator & Rechner - Kostenloses Tool

Was ist eine arithmetische Folge?

Eine arithmetische Folge ist eine Liste von Zahlen, bei der jeder Term entsteht, indem zum vorherigen Term ein fester Betrag addiert wird. Dieser feste Betrag wird gemeinsame Differenz genannt. In der Folge 2, 5, 8, 11, 14 ist jeder Term um 3 größer als der vorherige, daher beträgt die gemeinsame Differenz 3. Arithmetische Folgen werden auch arithmetische Progressionen genannt.

Ein Generator für arithmetische Folgen erstellt diese Art von Liste aus drei Werten:

• Erster Term (a₁): die Ausgangszahl.
• Gemeinsame Differenz (d): der feste Betrag, der zu jedem Term addiert wird, um den nächsten zu erhalten. Ein positiver Wert lässt die Folge steigen. Ein negativer Wert lässt sie fallen.
• Anzahl der Terme (n): wie viele Zahlen in der Folge vorkommen.

Ausgeschrieben sieht eine arithmetische Folge so aus: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d und so weiter bis a₁ + (n − 1)d.

Formel der arithmetischen Folge

Die Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Folge lautet:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ ist der Wert des Terms an der Position n.
• a₁ ist der erste Term.
• n ist die Position des Terms, gezählt ab 1.
• d ist die gemeinsame Differenz.

(n − 1) steht in der Formel, weil zum ersten Term die gemeinsame Differenz noch nicht addiert wurde. Zum zweiten Term wurde sie einmal addiert, zum dritten zweimal und so weiter. Beim n-ten Term wurde die gemeinsame Differenz (n − 1) Mal addiert.

Summenformel einer arithmetischen Folge

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ist:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ ist die Summe der ersten n Terme, und aₙ ist der letzte in dieser Summe enthaltene Term. Diese Formel funktioniert, weil die Summe des ersten und letzten Terms, des zweiten und vorletzten Terms und so weiter immer gleich ist. Multipliziert man diese Summe eines Paares mit der Hälfte der Anzahl der Terme, erhält man die Gesamtsumme.

Eine gleichwertige Form, für die der letzte Term nicht im Voraus bekannt sein muss, lautet:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Diese Formel wird dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß zugeschrieben. Er soll als Kind die Paarbildungsmethode verwendet haben, um die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Sekunden zu addieren: 50 Paare mit der jeweiligen Summe 101, insgesamt also 5.050.

Durchgerechnetes Beispiel

Nehmen wir als ersten Term 5, als gemeinsame Differenz 3 und 6 Terme.

Die Folge lautet 5, 8, 11, 14, 17, 20. Ihre Summe ist (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

So wird der Rechner für arithmetische Folgen verwendet

1. Gib den ersten Term (a₁) ein. Er kann positiv, negativ oder null sein und Dezimalstellen enthalten.
2. Gib die gemeinsame Differenz (d) ein. Auch sie kann positiv, negativ oder null sein oder eine Dezimalzahl sein.
3. Gib die Anzahl der Terme (n) ein. Sie muss eine ganze Zahl von 1 bis 10.000 sein. Eine Dezimalzahl wird auf die nächste ganze Zahl gerundet.
4. Die Folge, ihre Termanzahl und ihre Summe werden angezeigt, sobald alle drei Felder ausgefüllt sind. Es gibt keine separate Schaltfläche, die betätigt werden muss.
5. Wähle Folge kopieren, um die vollständige Liste der Terme zu kopieren.
6. Wähle Löschen, um alle drei Felder zu leeren und von vorn zu beginnen.

Eingaberegeln

Der erste Term und die gemeinsame Differenz akzeptieren jede reelle Zahl, einschließlich Dezimalzahlen und negativer Zahlen. Die Anzahl der Terme zählt ganze Elemente, daher kann eine Folge keinen halben Term enthalten. Das Feld rundet eine Dezimaleingabe auf die nächste ganze Zahl: Die Eingabe 10,5 ergibt 11 Terme. Die Anzahl muss anschließend zwischen 1 und 10.000 liegen. Bei null, einer negativen Anzahl oder einer Anzahl über 10.000 wird statt einer Folge eine Fehlermeldung angezeigt. Die Begrenzung auf 10.000 besteht, weil das Erstellen und Anzeigen einer längeren Liste einen Webbrowser verlangsamen kann.

Verwendung arithmetischer Folgen

Arithmetische Folgen beschreiben alles, was sich in regelmäßigen Schritten um einen festen Betrag verändert. Ein Sparplan, der mit 100 $ beginnt und jeden Monat 25 $ hinzufügt, folgt einer arithmetischen Folge: 100, 125, 150, 175 und so weiter. Auch ein Countdown-Timer, eine Reihe gleichmäßig verteilter Besprechungszeiten sowie die in Computerprogrammen verwendeten Zeilen- und Spaltenindizes folgen demselben Muster. Schülerinnen und Schüler verwenden arithmetische Folgen häufig, um Muster in der frühen Algebra zu untersuchen, da die konstante Differenz die Regel hinter der Liste leicht erkennbar und überprüfbar macht.

Ein verwandtes Muster ist die geometrische Folge. Dabei wird jeder Term mit einem festen Verhältnis multipliziert, statt einen festen Betrag zu addieren, zum Beispiel 2, 6, 18, 54. Geometrische Folgen modellieren ein im Laufe der Zeit schneller werdendes Wachstum, etwa bei Zinseszinsen, und nicht die gleichmäßige, geradlinige Veränderung einer arithmetischen Folge.

Geschichte

Arithmetische Folgen gehören zu den ältesten in der Mathematik untersuchten Mustern. Der Papyrus Rhind, ein ägyptisches Dokument aus der Zeit um 1650 v. Chr., enthält Aufgaben, bei denen arithmetische Progressionen zur Aufteilung von Gütern verwendet werden. Alte babylonische Texte zeigen ähnliche Muster bereits aus einer noch früheren Zeit. Griechische Mathematiker, darunter Euklid um 300 v. Chr., lieferten später formale Beweise über diese Folgen, die bis heute gelehrt werden.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine arithmetische Folge, einfach erklärt?

Es ist eine Liste von Zahlen, bei der jedes Mal derselbe Betrag addiert wird, um die nächste Zahl zu erhalten. In 2, 5, 8, 11 beträgt dieser Betrag 3.

Wie lässt sich der n-te Term finden, ohne alle vorherigen Terme aufzulisten?

Mit der Formel aₙ = a₁ + (n − 1) × d lässt sich jeder Term direkt bestimmen. Bei einer Folge, die mit 3 beginnt und eine gemeinsame Differenz von 7 hat, ist der 50. Term 3 + (49 × 7) = 346.

Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?

Bei einer arithmetischen Folge wird jedes Mal derselbe Wert addiert, zum Beispiel 2, 5, 8, 11. Bei einer geometrischen Folge wird jedes Mal mit demselben Wert multipliziert, zum Beispiel 2, 6, 18, 54.

Kann eine arithmetische Folge negative Zahlen enthalten?

Ja. Der erste Term, die gemeinsame Differenz oder beide können negativ sein. Die Folge -10, -6, -2, 2, 6 hat eine gemeinsame Differenz von 4. Ein Countdown wie 100, 90, 80, 70 hat eine gemeinsame Differenz von -10.

Wie wird die gemeinsame Differenz aus einer Zahlenliste ermittelt?

Subtrahiere einen beliebigen Term vom darauffolgenden: d = a₂ − a₁. In 7, 12, 17, 22 ergibt das 12 − 7 = 5, und 17 − 12 ergibt ebenfalls 5. Damit ist bestätigt, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt.

Wie viele Terme kann dieser Rechner höchstens erzeugen?

Bis zu 10.000 Terme. Die Begrenzung besteht, weil das Darstellen einer wesentlich längeren Liste einen Webbrowser verlangsamen kann.