Kegelschnitt-Rechner - Kreis, Ellipse, Parabel

Was ist ein Kegelschnitt-Rechner?

Ein Kegelschnitt-Rechner bestimmt aus wenigen Messwerten die Exzentrizität und die Normalform der Gleichung eines Kreises, einer Ellipse, einer Parabel oder einer Hyperbel. Diese vier Kurven entstehen, wenn eine ebene Fläche einen Kegel unter verschiedenen Winkeln schneidet.

Die vier Kegelschnitte

Schneidet man einen Kegel gerade quer durch, entsteht ein Kreis. Kippt man die Schnittebene, entsteht eine Ellipse. Schneidet man parallel zur Mantellinie des Kegels, entsteht eine Parabel. Schneidet man durch beide Hälften eines Doppelkegels, entsteht eine Hyperbel.

Jede Kurve hat eine Exzentrizität, eine Zahl, die zeigt, wie stark sie von einem perfekten Kreis abweicht. Allein die Exzentrizität bestimmt die Art des Kegelschnitts:

• Kreis: $e = 0$
• Ellipse: $0 < e < 1$
• Parabel: $e = 1$
• Hyperbel: $e > 1$

Verwendung dieses Rechners

1. Wählen Sie eine Art von Kegelschnitt: Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel.
2. Geben Sie die erforderlichen Messwerte ein.
   • Kreis: Radius ($r$)
   • Ellipse: große Halbachse ($a$) und kleine Halbachse ($b$)
   • Parabel: Brennweite ($f$)
   • Hyperbel: reelle Halbachse ($a$) und imaginäre Halbachse ($b$)
3. Die Exzentrizität und die Normalform der Gleichung erscheinen automatisch, sobald für den gewählten Kegelschnitt gültige, positive Werte eingegeben sind; es gibt keine Schaltfläche „Berechnen“, die Sie anklicken müssen.

Alle Eingaben müssen positive Zahlen sein. Bei einer Ellipse muss die große Halbachse mindestens so lang sein wie die kleine Halbachse, da die große Halbachse als die längere definiert ist. Für eine Hyperbel gilt keine solche Regel: Ihre reelle und ihre imaginäre Halbachse können beliebige positive Längen haben, auch gleiche.

Kreisformel

Für einen Kreis mit dem Radius $r$ um den Ursprung:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Exzentrizität: $e = 0$.

Ein Kreis ist ein Spezialfall der Ellipse, bei dem beide Achsen gleich lang sind und beide Brennpunkte im Mittelpunkt liegen.

Ellipsenformel

Für eine Ellipse um den Ursprung mit der großen Halbachse $a$ und der kleinen Halbachse $b$, wobei $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Das folgt aus $e = c/a$, wobei $c$ der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt ist und für eine Ellipse $c^2 = a^2 - b^2$ gilt.

Beispiel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Gleichung: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Bei $a = b$ wird die Ellipse zu einem Kreis, und es gilt $e = 0$.

Parabelformel

Für eine nach rechts geöffnete Parabel mit der Brennweite $f$ (dem Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt):

$$y^2 = 4fx$$

Exzentrizität: immer $e = 1$.

Beispiel: $f = 2$. Gleichung: $y^2 = 8x$.

Hyperbelformel

Für eine Hyperbel um den Ursprung mit der reellen Halbachse $a$ und der imaginären Halbachse $b$, wobei $a$ und $b$ beliebige positive Zahlen sind:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Auch bei einer Hyperbel gilt $e = c/a$, aber mit $c^2 = a^2 + b^2$, sodass $e$ immer größer als 1 ist.

Anders als bei einer Ellipse muss bei einer Hyperbel $a$ nicht größer als $b$ sein. Die beiden Halbachsen sind voneinander unabhängige Längen, sodass $b$ kleiner als, gleich oder größer als $a$ sein kann. Bei $a = b$ heißt die Kurve gleichseitige Hyperbel, mit der Exzentrizität $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Beispiel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Gleichung: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Anwendungen von Kegelschnitten im Alltag

Planeten und Kometen folgen Bahnen in Form von Kegelschnitten. Das erste keplersche Gesetz besagt, dass die Bahn eines Planeten eine Ellipse mit der Sonne in einem Brennpunkt ist. Einige Kometen folgen parabel- oder hyperbelförmigen Bahnen und kehren nie zurück.

Parabeln bündeln parallele Strahlen in einem einzigen Punkt, weshalb Ingenieure parabolische Formen in Satellitenschüsseln, Teleskopspiegeln und Autoscheinwerfern einsetzen. Hyperbolische Kurven findet man in den Wänden von Kühltürmen, wo die Form Festigkeit bei geringerem Materialeinsatz bietet. Ellipsen zeigen sich in Bögen, in Flüstergewölben und in der Konstruktion von Zahnrädern.

Eine kurze Geschichte der Kegelschnitte

Der griechische Mathematiker Menaichmos (etwa 380 bis 320 v. Chr.) untersuchte Kegelschnitte beim Versuch, das Problem der Würfelverdopplung zu lösen. Apollonios von Perge (etwa 262 bis 190 v. Chr.) schrieb eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Konika. Sie führte die Namen Ellipse, Parabel und Hyperbel ein und beschrieb ihre Eigenschaften. Jahrhunderte später nutzte Johannes Kepler die Ellipse zur Beschreibung der Planetenbewegung, und Isaac Newton erklärte mit Kegelschnitten die Gravitation.

Häufig gestellte Fragen

Welche vier Arten von Kegelschnitten gibt es?

Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Jede entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel unter einem anderen Winkel schneidet, und jede hat einen anderen Wertebereich der Exzentrizität.

Wie berechnet man die Exzentrizität?

Die Exzentrizität ist für einen Kreis ($e = 0$) und eine Parabel ($e = 1$) fest. Für eine Ellipse gilt $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$ mit der großen Halbachse $a$ und der kleinen Halbachse $b$. Für eine Hyperbel gilt $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$ mit der reellen Halbachse $a$ und der imaginären Halbachse $b$.

Muss die reelle Achse einer Hyperbel länger sein als ihre imaginäre Achse?

Nein. Anders als die große und die kleine Halbachse einer Ellipse sind die reelle Halbachse ($a$) und die imaginäre Halbachse ($b$) einer Hyperbel voneinander unabhängige Maße. Beide müssen positiv sein, aber jede von beiden kann die größere sein.

Kann eine Ellipse zu einem Kreis werden?

Ja. Wenn die große Halbachse gleich der kleinen Halbachse ist, ist die Ellipse ein Kreis, und ihre Exzentrizität beträgt 0.

Warum haben Satellitenschüsseln eine parabolische Form?

Eine Parabel reflektiert Strahlen, die parallel zu ihrer Achse verlaufen, in einen einzigen Brennpunkt. Satellitenschüsseln und Teleskopspiegel nutzen diese Eigenschaft, um Signale oder Licht an einer Stelle zu bündeln.

Was ist eine gleichseitige Hyperbel?

Eine gleichseitige Hyperbel ist eine, bei der die reelle Halbachse gleich der imaginären Halbachse ist ($a = b$). Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander, und ihre Exzentrizität beträgt $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referenzen

1. OpenStax. Calculus Volume 2, 7.5 Conic Sections. Kegelschnitte — Wertebereiche der Exzentrizität für jeden Kegelschnitt, $e = c/a$, $c^2 = a^2 - b^2$ (Ellipse) und $c^2 = a^2 + b^2$ (Hyperbel) sowie die Reflexionseigenschaft einer Parabolschüssel.
2. NASA Science. Orbits and Kepler's Laws. Bahnen und die keplerschen Gesetze — Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen mit der Sonne in einem Brennpunkt.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Menaechmus. Biografie von Menaichmos — Lebensdaten und Kegelschnitte, die zur Lösung des Problems der Würfelverdopplung untersucht wurden.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Biografie von Apollonios — Lebensdaten und das Werk Konika (Conics), das die Begriffe Parabel, Ellipse und Hyperbel einführte.