Kegelschnitt-Rechner - Kreis, Ellipse, Parabel

Was ist ein Rechner für Kegelschnitte?

Ein Rechner für Kegelschnitte ermittelt aus wenigen Messwerten die Exzentrizität und die Standardgleichung eines Kreises, einer Ellipse, einer Parabel oder einer Hyperbel. Diese vier Kurven entstehen, wenn eine ebene Fläche einen Kegel unter verschiedenen Winkeln schneidet.

Die vier Kegelschnitte

Ein gerader Schnitt durch einen Kegel ergibt einen Kreis. Wird die Ebene geneigt, entsteht eine Ellipse. Ein Schnitt parallel zur Seitenlinie des Kegels ergibt eine Parabel. Ein Schnitt durch beide Hälften eines Doppelkegels erzeugt eine Hyperbel.

Jede Kurve hat eine Exzentrizität, eine Zahl, die angibt, wie stark sie von einem perfekten Kreis abweicht.

• Kreis: $e = 0$
• Ellipse: $0 < e < 1$
• Parabel: $e = 1$
• Hyperbel: $e > 1$

So wird der Rechner verwendet

1. Einen Kegelschnitt auswählen: Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel.
2. Die erforderlichen Messwerte eingeben.
   • Kreis: Radius ($r$)
   • Ellipse: große Halbachse ($a$) und kleine Halbachse ($b$)
   • Parabel: Brennweite ($f$)
   • Hyperbel: transversale Halbachse ($a$) und konjugierte Halbachse ($b$)
3. Die Exzentrizität und die Standardgleichung werden automatisch angezeigt, sobald für den ausgewählten Kegelschnitt gültige, positive Werte eingegeben wurden. Es gibt keine Schaltfläche „Berechnen“, die angeklickt werden muss.
4. Unter den Ergebnissen wird ein Diagramm der Kurve gezeichnet.

Der Rechner gibt die Gleichung mit den bereits eingesetzten Eingabewerten aus. Eine Ellipse mit $a = 5$ und $b = 3$ wird daher als $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$ angezeigt. Das ist dieselbe Gleichung wie $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Die Exzentrizität wird mit vier Dezimalstellen angezeigt.

Alle Eingaben müssen positive Zahlen sein. Bei einer Ellipse muss die große Halbachse mindestens so lang wie die kleine Halbachse sein, da die große Halbachse als die längere definiert ist. Für eine Hyperbel gilt diese Regel nicht: Ihre transversale und konjugierte Halbachse können beliebige positive Längen haben, auch gleich lange sein.

Kreisformel

Für einen Kreis mit Radius $r$, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Exzentrizität: $e = 0$.

Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse, bei dem beide Achsen gleich lang sind und beide Brennpunkte im Mittelpunkt liegen.

Ellipsenformel

Für eine im Ursprung zentrierte Ellipse mit großer Halbachse $a$ und kleiner Halbachse $b$, wobei $a \geq b > 0$ gilt:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Beispiel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Gleichung: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Wenn $a = b$ gilt, wird die Ellipse zu einem Kreis und $e = 0$.

Parabelformel

Für eine nach rechts geöffnete Parabel mit der Brennweite $f$, also dem Abstand zwischen Scheitelpunkt und Brennpunkt:

$$y^2 = 4fx$$

Exzentrizität: $e = 1$, immer.

Beispiel: $f = 2$. Gleichung: $y^2 = 8x$.

Hyperbelformel

Für eine im Ursprung zentrierte Hyperbel mit transversaler Halbachse $a$ und konjugierter Halbachse $b$, wobei $a$ und $b$ beliebige positive Zahlen sind:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Die transversale Halbachse $a$ ist die Hälfte des Abstands zwischen den beiden Scheitelpunkten, also den Punkten, an denen sich die Kurve wendet. Die konjugierte Halbachse $b$ ist die Hälfte der Länge der konjugierten Achse, eines durch den Mittelpunkt verlaufenden Abschnitts, der senkrecht zur transversalen Achse steht. Sie bestimmt, wie schnell sich die Äste öffnen.

Anders als bei einer Ellipse muss $a$ bei einer Hyperbel nicht größer als $b$ sein. Die beiden Längen sind unabhängig voneinander. Daher kann $b$ kleiner, gleich oder größer als $a$ sein. Wenn $a = b$ gilt, wird die Kurve gleichseitige Hyperbel genannt. Ihre Exzentrizität beträgt $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Beispiel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Gleichung: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Anwendungen von Kegelschnitten im Alltag

Planeten und Kometen bewegen sich auf Umlaufbahnen, die die Form von Kegelschnitten haben. Das erste Keplersche Gesetz besagt, dass die Umlaufbahn eines Planeten eine Ellipse ist, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Einige Kometen folgen parabolischen oder hyperbolischen Bahnen und kehren nie zurück.

Parabeln bündeln parallel verlaufende Strahlen in einem einzigen Punkt. Daher verwenden Ingenieure parabolische Formen bei Satellitenschüsseln, Teleskopspiegeln und Autoscheinwerfern. Hyperbolische Kurven kommen bei den Wänden von Kühltürmen zum Einsatz, weil die Form Stabilität bietet und dabei weniger Material benötigt. Ellipsen finden sich bei Bögen, Decken von Flüstergalerien und bei der Konstruktion von Zahnrädern.

Eine kurze Geschichte der Kegelschnitte

Der griechische Mathematiker Menaichmos untersuchte um 350 v. Chr. Kegelschnitte, als er das Problem der Würfelverdopplung zu lösen versuchte. Apollonios von Perge verfasste um 200 v. Chr. eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Kegelschnitte. Er gab der Ellipse, der Parabel und der Hyperbel ihre Namen und beschrieb ihre Eigenschaften. Jahrhunderte später verwendete Johannes Kepler die Ellipse zur Beschreibung der Planetenbewegung, und Isaac Newton nutzte Kegelschnitte zur Erklärung der Schwerkraft.

Häufig gestellte Fragen

Welche vier Arten von Kegelschnitten gibt es?

Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Jeder entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel unter einem anderen Winkel schneidet, und jeder hat einen eigenen Bereich für die Exzentrizität.

Wie wird die Exzentrizität berechnet?

Bei einem Kreis ($e = 0$) und einer Parabel ($e = 1$) ist die Exzentrizität festgelegt. Für eine Ellipse gilt $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, wobei die große Halbachse $a$ und die kleine Halbachse $b$ verwendet werden. Für eine Hyperbel gilt $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, wobei die transversale Halbachse $a$ und die konjugierte Halbachse $b$ verwendet werden.

Muss die transversale Halbachse einer Hyperbel länger als ihre konjugierte Halbachse sein?

Nein. Anders als die große und kleine Halbachse einer Ellipse sind die transversale Halbachse ($a$) und die konjugierte Halbachse ($b$) einer Hyperbel unabhängig voneinander. Beide müssen positiv sein, aber jede der beiden kann die längere sein.

Kann eine Ellipse zu einem Kreis werden?

Ja. Wenn die große Halbachse genauso lang wie die kleine Halbachse ist, handelt es sich bei der Ellipse um einen Kreis, dessen Exzentrizität 0 beträgt.

Warum haben Satellitenschüsseln eine parabolische Form?

Eine Parabel reflektiert Strahlen, die parallel zu ihrer Achse verlaufen, in einen einzigen Brennpunkt. Satellitenschüsseln und Teleskopspiegel nutzen diese Eigenschaft, um Signale oder Licht an einer Stelle zu bündeln.

Was ist eine gleichseitige Hyperbel?

Eine gleichseitige Hyperbel ist eine Hyperbel, bei der die transversale Halbachse genauso lang wie die konjugierte Halbachse ist ($a = b$). Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander, und ihre Exzentrizität beträgt $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Quellen

1. Kegelschnitt – Wikipedia
2. Exzentrizität von Kegelschnitten – Khan Academy
3. Kegelschnitte – OpenStax