Höhe des Kegels Rechner - Kegelhoehe Online Berechnen

Ein Kegelhöhenrechner bestimmt die senkrechte Höhe eines geraden Kreiskegels aus zwei Messwerten: dem Radius seiner Grundfläche und seiner Mantellinie. Er nutzt den Satz des Pythagoras, da die Höhe, der Radius und die Mantellinie im Inneren des Kegels ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Was ist die Höhe eines Kegels?

Die Höhe eines Kegels ist der geradlinige Abstand von der Spitze (dem spitzen Ende) zum Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche, gemessen im rechten Winkel zur Grundfläche. Sie wird manchmal „senkrechte Höhe“ oder „lotrechte Höhe“ genannt, um sie von der Mantellinie zu unterscheiden.

Die Mantellinie ist etwas anderes. Sie ist der Abstand von der Spitze zu einem Punkt auf dem Rand der Grundfläche, gemessen entlang der Außenfläche des Kegels. Weil die Mantellinie schräg und nicht senkrecht nach unten verläuft, ist sie immer länger als die senkrechte Höhe.

Formel für die Höhe eines Kegels

Bei einem geraden Kreiskegel bilden der Radius (r), die Höhe (h) und die Mantellinie (l) ein rechtwinkliges Dreieck. Die Mantellinie ist die Hypotenuse, daher gilt l = √(r² + h²). Die Höhe lässt sich also mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

h = √(l² − r²)

Dabei gilt:

• h ist die Höhe des Kegels
• l ist die Länge der Mantellinie
• r ist der Radius der Grundfläche

Der Rechner rundet die Höhe auf zwei Dezimalstellen. Die Formel funktioniert nur, wenn die Mantellinie größer als der Radius ist. Andernfalls kann mit diesen Maßen kein reeller Kegel existieren, denn die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks muss länger sein als jede der beiden anderen Seiten.

So berechnen Sie die Höhe eines Kegels

1. Messen Sie den Radius der Grundfläche des Kegels oder notieren Sie ihn.
2. Messen Sie die Mantellinie oder notieren Sie sie, also den Abstand entlang der Außenseite des Kegels von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche.
3. Quadrieren Sie beide Zahlen, ziehen Sie das Quadrat des Radius vom Quadrat der Mantellinie ab und ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Ergebnis.
4. Achten Sie darauf, dass beide Messwerte dieselbe Einheit verwenden, etwa Zentimeter oder Zoll. Das Ergebnis hat dann dieselbe Einheit.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. Ein Kegel hat einen Radius von 3 Einheiten und eine Mantellinie von 5 Einheiten.

h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 Einheiten

Beispiel 2. Ein Kegel hat einen Radius von 5 Einheiten und eine Mantellinie von 13 Einheiten.

h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 Einheiten

Beispiel 3. Ein Kegel hat einen Radius von 8 Einheiten und eine Mantellinie von 10 Einheiten.

h = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 Einheiten

Wenn es keine gültige Höhe gibt

Ist die Mantellinie gleich dem Radius oder kleiner, kann der Rechner keine Höhe ausgeben. Ein Kegel kann keine Mantellinie haben, die seinem Radius entspricht, denn dafür wäre eine Höhe von null oder eine imaginäre Zahl nötig. Ein Radius von 5 und eine Mantellinie von 5 beschreiben zum Beispiel eine flache Scheibe und keinen Kegel, deshalb kennzeichnet der Rechner diese Eingabe als ungültig, statt ein Ergebnis anzuzeigen.

Wo die Höhe eines Kegels verwendet wird

Die Höhe eines Kegels wird zusammen mit dem Radius verwendet, um sein Volumen (V = ⅓πr²h) und seine Oberfläche zu berechnen. Architekten nutzen sie beim Entwurf kegelförmiger Dächer. Hersteller berechnen damit, wie viel Material ein kegelförmiges Bauteil benötigt. Sie kommt auch im Geometrieunterricht vor, da der Kegel neben Zylinder und Kugel zu den grundlegenden dreidimensionalen Körpern gehört, die dort behandelt werden.

Häufig gestellte Fragen

Wie findet man die Höhe eines Kegels aus Radius und Mantellinie? Quadrieren Sie die Mantellinie, quadrieren Sie den Radius, ziehen Sie das zweite Ergebnis vom ersten ab und ziehen Sie dann die Quadratwurzel: h = √(l² − r²).

Wie lautet die Formel für die Höhe eines Kegels? h = √(l² − r²), wobei h die Höhe, l die Mantellinie und r der Radius der Grundfläche ist. Sie ergibt sich direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Kann die Höhe eines Kegels größer sein als seine Mantellinie? Nein. Die Mantellinie ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks aus Höhe und Radius, und die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

Was passiert, wenn der Radius der Mantellinie entspricht? Dann gibt es keinen gültigen Kegel. Ein Radius, der gleich der Mantellinie oder größer ist, ergäbe eine Höhe von null oder weniger, was bei einem echten Kegel nicht möglich ist.

Wie unterscheidet sich die Mantellinie von der Höhe? Die Höhe wird senkrecht von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche gemessen. Die Mantellinie wird entlang der Außenfläche von der Spitze zum Rand der Grundfläche gemessen. Die Mantellinie ist immer die längere der beiden.

Welche Einheit hat das Ergebnis? Das Ergebnis hat dieselbe Einheit wie der eingegebene Radius und die eingegebene Mantellinie. Sind beide in Zentimetern angegeben, wird die Höhe in Zentimetern ausgegeben.

Referenzen

1. Weisstein, Eric W. Cone. MathWorld, Wolfram Research. MathWorld: Kegel — bei einem geraden Kreiskegel gilt für die Mantellinie s = √(r² + h²); Volumen V = ⅓πr²h.