Kegelvolumen-Rechner - Berechnen Sie das Volumen von Kegel und Kegelstumpf

Was ist ein Kegelvolumenrechner?

Ein Kegelvolumenrechner berechnet aus Radius und Höhe das Volumen eines Kegels oder eines Kegelstumpfs. Ein Kegel ist ein Körper mit einer ebenen, kreisförmigen Grundfläche, der sich gleichmäßig zu einem einzigen Punkt verjüngt, der als Spitze bezeichnet wird. Ein Kegelstumpf ist der Teil eines Kegels, der übrig bleibt, nachdem der obere Teil durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt abgetrennt wurde, sodass statt einer nun zwei kreisförmige Flächen vorhanden sind.

Formel für das Kegelvolumen

Das Volumen eines vollständigen Kegels hängt vom Radius seiner Grundfläche und von seiner Höhe ab.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V ist das Volumen des Kegels.
• r ist der Radius der kreisförmigen Grundfläche.
• h ist die Höhe, gemessen als gerade Strecke von der Grundfläche bis zur Spitze.
• π (Pi) beträgt ungefähr 3,14159.

Rechenbeispiel

Ein Kegel mit einem Grundflächenradius von 3 Einheiten und einer Höhe von 4 Einheiten hat folgendes Volumen:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 Kubikeinheiten

So berechnet der Rechner das Kegelvolumen

Der Rechner benötigt drei Eingaben:

1. Radius — der Radius der Grundfläche.
2. Höhe — die Höhe des Kegels von der Grundfläche bis zur Spitze.
3. Schnitthöhe ab der Grundfläche (optional) — wie weit oberhalb der Grundfläche der Kegel geschnitten wird, wenn die Spitze abgetrennt wird.

Bleibt die Schnitthöhe leer oder wird 0 eingegeben, wird das Volumen des vollständigen, ungeschnittenen Kegels ausgegeben. Wird eine Schnitthöhe eingegeben, die kleiner als die vollständige Höhe ist, wird das Volumen des Kegelstumpfs unterhalb des Schnitts berechnet. Die Abbildung unter den Eingabefeldern kennzeichnet dieselben drei Maße am Körper.

Der Rechner weist einen Radius oder eine Höhe zurück, wenn der Wert null, negativ, leer oder zu groß ist, um als normale Zahl verarbeitet zu werden. In diesen Fällen zeigt er statt eines Volumens einen Hinweis an, sodass niemals ein erfundener Wert ausgegeben wird.

Volumenformel für einen Kegelstumpf

Das Volumen eines Kegelstumpfs hängt von den Radien seiner beiden Kreisflächen und seiner eigenen Höhe ab.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R ist der Radius der größeren, unteren Fläche.
• r ist der Radius der kleineren, oberen Fläche.
• h ist die Höhe des Kegelstumpfs, gemessen zwischen den beiden Flächen.

Der Rechner fragt den oberen Radius nicht direkt ab. Stattdessen verwendet er den Grundflächenradius, die Höhe, die der Kegel ohne Schnitt hätte, und die Schnitthöhe. Anschließend berechnet er den oberen Radius mithilfe ähnlicher Dreiecke:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

Dabei ist c die Schnitthöhe über der Grundfläche und f die vollständige Höhe des ungeschnittenen Kegels.

Rechenbeispiel

Angenommen, der Grundflächenradius beträgt 3 Einheiten, die vollständige Höhe des ungeschnittenen Kegels 12 Einheiten und die Schnitthöhe 4 Einheiten.

Oberer Radius = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 Einheiten

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 Kubikeinheiten

Ist die Schnitthöhe gleich der vollständigen Höhe oder größer, liegt der Schnitt an der Spitze oder darüber, sodass nichts entfernt wird. Der Rechner gibt dann das Volumen des vollständigen Kegels aus, und die Abbildung zeigt den vollständigen Kegel.

Geschichte der Formel für das Kegelvolumen

Die Mathematiker des antiken Griechenlands stellten als Erste einen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und dem eines Zylinders her. Demokrit, der im späten 5. Jahrhundert v. Chr. wirkte, wird die Aussage zugeschrieben, dass das Volumen eines Kegels einem Drittel des Volumens eines Zylinders mit derselben Grundfläche und Höhe entspricht. Er bewies dies jedoch nicht. Eudoxos von Knidos, der im folgenden Jahrhundert arbeitete, lieferte den ersten strengen Beweis mithilfe einer als Exhaustionsmethode bezeichneten Technik, einem frühen Vorläufer der Integralrechnung. Die Formel V = (1/3)πr²h ist seither unverändert geblieben.

Anwendungen von Berechnungen des Kegelvolumens

Kegel- und Kegelstumpfvolumen treten überall dort auf, wo sich eine Form von einer breiten Grundfläche zu einer Spitze oder einer kleineren oberen Fläche verjüngt. Ingenieure verwenden die Formeln zur Dimensionierung konischer Behälter, Schüttguttrichter und Trichter. Architekten nutzen sie zur Schätzung der Materialmengen für Kegeldächer. Geologen schätzen damit das Volumen von Vulkankegeln und ähnlichen Geländeformen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Multipliziere π mit dem Quadrat des Radius, multipliziere das Ergebnis mit der Höhe und teile anschließend durch 3: V = (1/3)πr²h. Ein Kegel mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 10 cm hat ein Volumen von ungefähr 261,80 Kubikzentimetern.

Wie lautet die Formel für einen Kegelstumpf?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), wobei R und r die Radien der beiden Kreisflächen und h die Höhe des Kegelstumpfs sind, gemessen zwischen diesen Flächen.

Wie ermittelt der Rechner den oberen Radius eines Kegelstumpfs?

Er verwendet ähnliche Dreiecke. Der obere Radius entspricht dem Grundflächenradius multipliziert mit (1 − Schnitthöhe ÷ vollständige Kegelhöhe). Dies setzt voraus, dass der Kegelstumpf aus einem Kegel mit geraden Mantellinien hervorgeht.

Was geschieht, wenn die Schnitthöhe größer oder gleich der Höhe ist?

Der Rechner behandelt die Form als vollständigen, ungeschnittenen Kegel und gibt V = (1/3)πr²h mithilfe des eingegebenen Radius und der eingegebenen Höhe aus.

Was geschieht, wenn Radius oder Höhe null oder negativ ist?

Der Rechner verlangt, dass sowohl der Radius als auch die Höhe größer als null sind. Ist einer der Werte null, negativ, leer oder zu groß für die Verarbeitung als gewöhnliche Zahl, zeigt er statt eines Volumens einen Hinweis an.

Wie berechnet man das Kegelvolumen aus dem Durchmesser statt aus dem Radius?

Teile den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten, und wende anschließend wie gewohnt V = (1/3)πr²h an.

Referenzen

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — eine von Wolfram bereitgestellte Webressource. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—eine Webressource von Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html