Υπολογιστής πρώτων μεταξύ τους αριθμών

Οι πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί είναι δύο ή περισσότεροι ακέραιοι αριθμοί, ο μοναδικός κοινός θετικός διαιρέτης των οποίων είναι το 1. Αυτός ο υπολογιστής ελέγχει αν οι αριθμοί που εισάγετε είναι πρώτοι μεταξύ τους, βρίσκοντας τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους (ΜΚΔ). Αν ο ΜΚΔ είναι 1, οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Οι πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί ονομάζονται επίσης σχετικά πρώτοι ή αμοιβαία πρώτοι αριθμοί.

Τι σημαίνει πρώτοι μεταξύ τους;

Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους όταν κανένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 1 δεν διαιρεί και τους δύο. Οι ίδιοι οι αριθμοί δεν χρειάζεται να είναι πρώτοι. Για παράδειγμα, το 8 και το 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους: οι διαιρέτες του 8 είναι 1, 2, 4 και 8, ενώ οι διαιρέτες του 15 είναι 1, 3, 5 και 15. Ο μόνος κοινός διαιρέτης είναι το 1, άρα είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Αντίθετα, το 12 και το 18 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Και οι δύο διαιρούνται με το 2, το 3 και το 6, άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το 6.

Πώς να ελέγξετε αν αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους

1. Βρείτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) όλων των αριθμών. Ο ΜΚΔ είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που διαιρεί κάθε αριθμό χωρίς υπόλοιπο.
2. Συγκρίνετε τον ΜΚΔ με το 1. Αν ο ΜΚΔ ισούται με 1, οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους. Αν ο ΜΚΔ είναι μεγαλύτερος από 1, δεν είναι.

Ο ΜΚΔ μιας ομάδας αριθμών βρίσκεται εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη σε δύο αριθμούς κάθε φορά: ο ΜΚΔ τριών αριθμών a, b και c είναι ΜΚΔ(ΜΚΔ(a, b), c).

Τύπος πρώτων μεταξύ τους αριθμών

Οι αριθμοί a₁, a₂, …, aₙ είναι πρώτοι μεταξύ τους όταν:

ΜΚΔ(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Παράδειγμα

Ελέγξτε αν το 6, το 10 και το 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους.

• ΜΚΔ(6, 10) = 2
• ΜΚΔ(2, 15) = 1

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης και των τριών αριθμών είναι 1, άρα το 6, το 10 και το 15 είναι πρώτοι μεταξύ τους ως σύνολο.

Σημειώστε ότι αυτοί οι τρεις αριθμοί δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά ζεύγη. Το 6 και το 10 έχουν κοινό παράγοντα το 2, το 6 και το 15 έχουν κοινό παράγοντα το 3, και το 10 και το 15 έχουν κοινό παράγοντα το 5. Η ιδιότητα του πρώτου μεταξύ τους ως σύνολο (ο ΜΚΔ όλων των αριθμών μαζί είναι 1) είναι ασθενέστερη συνθήκη από την ιδιότητα του πρώτου μεταξύ τους ανά ζεύγη (κάθε ζεύγος έχει ΜΚΔ 1). Αυτός ο υπολογιστής εμφανίζει και τις δύο.

Πρώτοι μεταξύ τους ανά ζεύγη έναντι πρώτων μεταξύ τους ως σύνολο

Μια ομάδα αριθμών είναι πρώτη μεταξύ τους ως σύνολο όταν ο ΜΚΔ ολόκληρης της ομάδας είναι 1. Είναι πρώτη μεταξύ τους ανά ζεύγη όταν κάθε πιθανό ζεύγος μέσα στην ομάδα έχει ΜΚΔ 1. Οι αριθμοί που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά ζεύγη είναι πάντα πρώτοι μεταξύ τους ως σύνολο, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, όπως δείχνει το παραπάνω παράδειγμα.

Συχνές ερωτήσεις

Είναι το 1 πρώτο μεταξύ του με κάθε αριθμό;

Ναι. Ο αριθμός 1 δεν μοιράζεται κανέναν παράγοντα μεγαλύτερο του 1 με κανέναν ακέραιο αριθμό, άρα το 1 είναι πρώτο μεταξύ του με κάθε ακέραιο αριθμό, συμπεριλαμβανομένου του εαυτού του.

Πρέπει οι πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί να είναι πρώτοι αριθμοί;

Όχι. Οι πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί μπορεί να είναι σύνθετοι. Το 8 και το 15 είναι και τα δύο σύνθετοι αριθμοί, αλλά είναι πρώτοι μεταξύ τους επειδή δεν μοιράζονται κανέναν κοινό παράγοντα εκτός από το 1.

Είναι πάντα πρώτοι μεταξύ τους δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί;

Ναι. Δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί δεν έχουν κοινό παράγοντα εκτός από το 1, άρα οποιοιδήποτε δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Μπορούν αρνητικοί αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους;

Η ιδιότητα του πρώτου μεταξύ τους ορίζεται συνήθως για θετικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτός ο υπολογιστής δέχεται θετικούς ακέραιους αριθμούς από 1 και πάνω.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ΜΚΔ και πρώτων μεταξύ τους αριθμών;

Ο ΜΚΔ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί όλες τις τιμές εισόδου. Το «πρώτοι μεταξύ τους» είναι η ειδική περίπτωση όπου αυτός ο ΜΚΔ ισούται με 1.