Calculadora de Arcos - Calcular Radio, Luz y Altura

¿Qué es una calculadora de arcos?

Una calculadora de arcos determina las dimensiones de un arco circular —su radio, luz y flecha— a partir de dos de esos valores. También calcula la longitud del arco y el área del arco. Arquitectos, constructores y aficionados la utilizan para planificar entradas, ventanas, puentes y elementos de jardín con forma curva.

Dimensiones principales de un arco

Un arco circular es una parte recortada del borde de un círculo. Cinco medidas describen su forma:

• Radio: la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier punto de la curva del arco.
• Luz: la distancia horizontal en línea recta entre los dos extremos inferiores del arco, también llamada anchura.
• Flecha: la distancia vertical desde la línea de arranque (la línea horizontal que une los dos extremos) hasta el punto más alto del arco.
• Longitud del arco: la distancia a lo largo de la línea curva del arco, desde un extremo hasta el otro.
• Área del arco: el área de la región curva encerrada entre el arco y la línea de arranque.

Fórmulas de las dimensiones del arco

Estas fórmulas se aplican a un arco circular, es decir, construido con un segmento de una sola circunferencia. La mayoría de los arcos de puertas, ventanas y puentes tienen una flecha que no supera el radio. La calculadora también admite arcos de herradura más altos, en los que la flecha es mayor que el radio pero no más del doble del radio. En un arco de herradura la curva abarca más de media circunferencia, de modo que los extremos se vuelven hacia dentro.

Fórmula de la flecha (a partir del radio y la luz)

$\text{Flecha} = \text{Radio} - \sqrt{\text{Radio}^2 - \left(\frac{\text{Luz}}{2}\right)^2}$

Es válida cuando el radio y la luz son positivos y la luz ≤ 2 × radio. Esta fórmula da el menor de los dos arcos que se ajustan a un radio y una luz dados, por lo que la flecha que devuelve nunca es mayor que el radio. La calculadora la resuelve en una forma reordenada equivalente, (Luz/2)² ÷ (Radio + √(Radio² − (Luz/2)²)), que sigue siendo precisa para arcos muy rebajados.

Fórmula del radio (a partir de la luz y la flecha)

$\text{Radio} = \frac{\text{Luz}^2}{8 \times \text{Flecha}} + \frac{\text{Flecha}}{2}$

Válida cuando la luz y la flecha son positivas.

Fórmula de la luz (a partir del radio y la flecha)

$\text{Luz} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radio} \times \text{Flecha} - \text{Flecha}^2}$

Es válida cuando el radio y la flecha son positivos y la flecha ≤ 2 × radio. Una flecha mayor que el radio da un arco de herradura. Una flecha exactamente igual al doble del radio cierra la circunferencia, y la luz pasa a ser 0.

Fórmula de la longitud del arco

$\text{Longitud del arco} = \text{Radio} \times \theta$

Aquí θ (theta) es el ángulo central, en radianes, que la curva del arco abarca en el centro de la circunferencia. La calculadora lo halla con la arcotangente de dos argumentos, atan2, que sirve para cualquier forma de arco, incluidos los arcos de herradura en los que θ es mayor que π:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{Luz}}{2},\ \text{Radio} - \text{Flecha}\right)$

Cuando la flecha no supera el radio, se obtiene el mismo ángulo que con la forma más simple:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Luz}}{2 \times \text{Radio}}\right)$

Fórmula del área del arco

$\text{Área del arco} = \frac{1}{2} \times \text{Radio}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

Es el área del sector circular menos el triángulo formado entre sus dos radios. Desarrollada, equivale a:

$\text{Área del arco} = \frac{1}{2} \times \text{Radio}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Luz} \times (\text{Radio} - \text{Flecha})$

En un arco de herradura, Radio − Flecha es negativo, así que el término del triángulo se suma en lugar de restarse.

Cómo utilizar la calculadora de arcos

La calculadora ofrece tres modos, uno para cada dimensión que pueda faltar.

Calcular la flecha, cuando se conocen el radio y la luz: introduzca el radio y la luz. La herramienta devuelve la flecha, la longitud del arco y el área del arco.

Calcular el radio, cuando se conocen la luz y la flecha: introduzca la luz y la flecha. La herramienta devuelve el radio, la longitud del arco y el área del arco.

Calcular la luz, cuando se conocen el radio y la flecha: introduzca el radio y la flecha. La herramienta devuelve la luz, la longitud del arco y el área del arco.

La calculadora rechaza las entradas que no pueden formar un arco real. La luz no puede superar el doble del radio, la flecha no puede superar el doble del radio y todas las dimensiones deben ser números positivos. Muestra un mensaje de error cuando un valor incumple una de estas reglas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: arco de una entrada

Un arco de entrada tiene una luz de 36 pulgadas (91,4 cm) y una flecha de 12 pulgadas (30,5 cm).

Radio = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 pulgadas (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianes

Longitud del arco = 19,5 × 2,352 = 45,86 pulgadas (116 cm)

Área del arco = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 pulgadas cuadradas (2010 cm²)

Ejemplo 2: arco de jardín

Un arco de jardín tiene un radio de 4 pies (1,2 m) y una luz de 6 pies (1,8 m).

Flecha = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 pies (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianes

Longitud del arco = 4 × 1,696 = 6,78 pies (2,07 m)

Área del arco = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 pies cuadrados (0,523 m²)

Ejemplo 3: arco de puente

Un arco de puente tiene una luz de 50 pies (15 m) y una flecha de 15 pies (4,57 m).

Radio = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 pies (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianes

Longitud del arco = 28,33 × 2,162 = 61,25 pies (18,7 m)

Área del arco = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 pies cuadrados (49,6 m²)

Ejemplo 4: arco de herradura

Un arco de herradura decorativo tiene un radio de 10 pulgadas (25 cm) y una flecha de 15 pulgadas. La flecha es mayor que el radio, así que la curva abarca más de media circunferencia.

Luz = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17,32 pulgadas (44 cm)

θ = 2 × atan2(8,66, 10 − 15) = 2 × atan2(8,66, −5) = 4,189 radianes (240°)

Longitud del arco = 10 × 4,189 = 41,89 pulgadas (106 cm)

Área del arco = 0,5 × 10² × (4,189 − sen 4,189) = 50 × (4,1888 + 0,8660) = 50 × 5,0548 = 252,74 pulgadas cuadradas (1630 cm²)

Usos habituales de los cálculos de arcos

Los constructores utilizan las dimensiones de los arcos para cortar encofrados para arcos de hormigón, preparar plantillas de ladrillo o piedra para arcos de fábrica y planificar la curvatura de techos abovedados. Los diseñadores de puentes usan la luz, la flecha y el radio para equilibrar la distribución de cargas con el gálibo. Los trabajos de restauración se basan en las mismas fórmulas para reproducir la geometría exacta de un arco histórico al repararlo o reconstruirlo. Jardineros y constructores aficionados las utilizan para pérgolas arqueadas, entradas y aberturas decorativas.

Esta calculadora solo contempla arcos circulares, formados por el arco de un solo círculo. Los arcos elípticos, parabólicos, góticos y catenarios siguen curvas diferentes y requieren fórmulas distintas.

Breve historia del arco

Los constructores de la antigua Mesopotamia utilizaban formas primitivas parecidas a los arcos ya en 2500 a. C., aunque la mayoría se construía mediante aproximación de hiladas —apilando piedras de modo que cada hilada sobresaliera sobre la inferior— en lugar de un arco curvo verdadero. Los romanos desarrollaron el arco de medio punto como método constructivo habitual y lo utilizaron en acueductos, puentes y edificios como el Coliseo. Los constructores medievales europeos desarrollaron el arco apuntado gótico, que les permitió construir estructuras más altas y ligeras. Más tarde, los arquitectos volvieron a las formas semicirculares basadas en proporciones precisas, y los materiales modernos, como el acero y el hormigón armado, permiten ahora que los arcos cubran distancias mucho mayores.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre la flecha y la altura de un arco?

La flecha es la distancia vertical desde la línea de arranque hasta la parte superior de la curva del arco. La altura a veces se refiere a la altura total de una abertura, incluida cualquier pared recta situada por debajo de la línea de arranque.

¿Funciona esta calculadora para todos los tipos de arcos?

No. Solo funciona para arcos circulares, con forma de segmento de círculo. Los arcos elípticos, parabólicos, góticos y catenarios siguen curvas diferentes y requieren fórmulas independientes.

¿Qué relación existe entre la luz y el radio en un arco semicircular?

En un arco semicircular, el radio equivale a la mitad de la luz y la flecha equivale al radio. El arco forma exactamente la mitad de un círculo.

¿Por qué la luz no puede ser mayor que el doble del radio?

Una luz igual al doble del radio ya produce una semicircunferencia, el arco más ancho posible para ese radio. Una luz mayor no cabría en el círculo.

¿Puede la flecha ser mayor que el radio?

Sí. Una flecha entre el radio y el doble del radio da un arco de herradura, que abarca más de media circunferencia. La flecha no puede superar el doble del radio, porque esa es la altura total de la circunferencia. En el modo de cálculo de la flecha, la herramienta siempre devuelve el arco más bajo, de modo que su flecha nunca es mayor que el radio.

¿Qué unidades utiliza la calculadora?

Se puede utilizar cualquier unidad coherente: pulgadas, pies, metros o centímetros. Introduzca todos los valores en la misma unidad y los resultados se expresarán en esa misma unidad, con el área en unidades cuadradas.