Kriitiline väärtuse kalkulaator | Z-test, t-test, Chi-ruut test

Kriitiline väärtus on tõenäosusjaotuse lõikepunkt, mis tähistab hüpoteesi testis "tagasilükkamispiirkonna" serva. Kui testistatistik jääb kriitilisest väärtusest kaugemale, loetakse tulemus statistiliselt oluliseks ja nullhüpotees lükatakse tagasi. See kalkulaator leiab kriitilised väärtused kolme kõige levinuma testi jaoks: Z-testi, t-testi ja hii-ruut-testi.

Mis on kriitiline väärtus?

Statistikas alustavad teadlased sageli nullhüpoteesist, lihtsast eeldusest, et midagi ebatavalist ei toimu (näiteks et uuel ravimil pole toimet). Valimi andmetest arvutatakse testistatistik ja seda võrreldakse kriitilise väärtusega, et otsustada, kas andmed annavad piisavalt tõendeid nullhüpoteesi vastu.

Kriitiline väärtus sõltub kolmest asjast: testi valikust, olulisuse nivoost (tähistatakse α-ga, kreeka tähega alfa) ning sellest, kas test on ühepoolne või kahepoolne. Olulisuse nivoo on tõenäosus lükata ekslikult tagasi tõene nullhüpotees, tavaliselt seatakse see väärtusele 0,05 (5%) või 0,01 (1%).

Ühepoolne test kontrollib mõju ühes suunas, näiteks "suurem kui". Sellel on üks kriitiline väärtus. Kahepoolne test kontrollib mõju mõlemas suunas ja sellel on kaks kriitilist väärtust, üks jaotuse mõlemal poolel.

Kuidas arvutada kriitilist väärtust

1. Vali test: Z-test (suured valimid või teadaolev populatsiooni dispersioon), t-test (väikesed valimid, tundmatu dispersioon) või hii-ruut-test (kategoorilised andmed või sobivuse test).
2. Vali sabatüüp: ühepoolne või kahepoolne.
3. Vali olulisuse nivoo α, arv vahemikus 0 kuni 1. Levinud valikud on 0,10, 0,05 ja 0,01.
4. t-testi või hii-ruut-testi puhul sisesta vabadusastmete arv (df). t-testi puhul võrdub df valimi suurusega, millest on lahutatud 1. Hii-ruut sobivuse testi puhul võrdub df kategooriate arvuga, millest on lahutatud 1.
5. Leia (või arvuta) väärtus, mis eraldab valitud saba pindala jaotuskõvera alt. See ongi kriitiline väärtus.

Kriitilise väärtuse valemid

Iga valem kasutab kumulatiivse jaotusfunktsiooni pöördfunktsiooni: väärtust x, mille korral pindala kõvera all kuni x-ini võrdub sihtmärgi tõenäosusega p.

Z-testi valem

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(one-tailed)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(two-tailed)}$

Φ⁻¹ on standardse normaaljaotuse kumulatiivse jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon.

t-testi valem

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(one-tailed)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(two-tailed)}$

t⁻¹(p, df) on t-jaotuse kumulatiivse jaotusfunktsiooni pöördfunktsioon df vabadusastmega.

Hii-ruut-testi valem

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(one-tailed)}$ $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(two-tailed)}$

Hii-ruut-jaotus võtab ainult positiivseid väärtusi, seega on mõlemad kriitilised väärtused positiivsed ja alumine väärtus on väiksem kui ülemine.

Näide: Z-testi kriitiline väärtus

Kvaliteedikontrolli meeskond soovib ühepoolset Z-testi kriitilist väärtust tasemel α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Iga testistatistik, mis ületab 1,6449, jääb tagasilükkamispiirkonda.

Näide: t-testi kriitiline väärtus

Teadlane viib läbi katse 20 osalejaga, seega df = 19. Ta soovib kahepoolset kriitilist väärtust tasemel α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Tagasilükkamispiirkonnad on t < -2,8609 ja t > 2,8609.

Näide: hii-ruut kriitilised väärtused

Analüütik võrdleb täheldatud ja oodatavaid sagedusi 5 kategoorias, seega df = 4. Ta soovib kahepoolseid kriitilisi väärtusi tasemel α = 0,05.

$\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Hii-ruut-statistik, mis on alla 0,4844 või üle 11,1433, jääks tagasilükkamispiirkonda.

Levinud kriitilised väärtused

Vabadusastmete kasvades kahanevad t-jaotuse kriitilised väärtused vastavate Z-testi väärtuste suunas, kuna t-jaotus läheneb normaaljaotusele.

Korduma kippuvad küsimused

Milleks kriitilist väärtust kasutatakse? See seab piiri, mille alusel otsustatakse, kas testistatistik on piisavalt äärmuslik, et nullhüpotees tagasi lükata. Kui statistik ületab kriitilise väärtuse, on tulemus valitud α tasemel statistiliselt oluline.

Mis vahe on ühepoolsel ja kahepoolsel kriitilisel väärtusel? Ühepoolne test otsib mõju ühes suunas ja sellel on üks kriitiline väärtus. Kahepoolne test otsib mõju mõlemas suunas ja sellel on kaks kriitilist väärtust, mis Z-testi ja t-testi puhul paiknevad keskpunkti suhtes sümmeetriliselt. Sama α korral on kahepoolne kriitiline väärtus absoluutväärtuselt suurem kui ühepoolne, kuna sama kogutõenäosus jaguneb ühe saba asemel kahe saba vahel.

Millal tuleks kasutada Z-testi t-testi asemel? Z-testi kasutatakse, kui populatsiooni dispersioon on teada või valim on suur, tavaliselt 30 või rohkem vaatlust. t-testi kasutatakse väiksemate valimite puhul, kui populatsiooni dispersioon on tundmatu. Valimi suuruse kasvades lähenevad t-testi kriitilised väärtused Z-testi kriitilistele väärtustele.

Kas kriitiline väärtus võib olla negatiivne? Jah. Z-testi ja t-testi jaotused on nulli suhtes sümmeetrilised, seega on kahepoolsel testil üks negatiivne ja üks positiivne kriitiline väärtus. Hii-ruudu kriitilised väärtused on alati positiivsed, kuna hii-ruut-jaotus on defineeritud ainult nullist suuremate või sellega võrdsete väärtuste jaoks.

Kuidas vabadusastmed mõjutavad kriitilist väärtust? Vabadusastmed mõõdavad, kui palju sõltumatut infot andmetes on, tavaliselt valimi suurus, millest on lahutatud juba hinnatud parameetrite arv. Väiksem vabadusastmete arv annab laiema, raskema sabaga jaotuse ja suuremad kriitilised väärtused. Suurem vabadusastmete arv toob t-jaotuse ja hii-ruut-jaotuse normaaljaotusele lähemale.

Milline kriitiline väärtus vastab 95% usaldusnivoole? 95% usaldusnivoo kasutab α = 0,05. Kahepoolse Z-testi puhul on kriitilised väärtused ±1,9600. Ühepoolse Z-testi puhul on kriitiline väärtus 1,6449.

Ajalugu

Karl Pearson tutvustas hii-ruut-testi 1900. aastal. William Sealy Gosset, kes avaldas oma töid pseudonüümi "Student" all, töötas 1908. aastal Guinnessi õlletehases välja t-jaotuse väikeste valimite käsitlemiseks. Ronald Fisher vormistas olulisuse testimise ja kriitilised väärtused 1920. aastatel oma raamatus Statistical Methods for Research Workers. Enne arvutite tulekut otsisid teadlased kriitilisi väärtusi trükitud tabelitest; kalkulaatorid ja tarkvara arvutavad need nüüd otse jaotuse valemitest.

Viited

1. Pearson, K. (1900). "On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "The probable error of a mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, "Critical Values."