Z-skoor kalkulaator - Standardskoor ja tõenäosuse tööriist

Mis on z-skoor?

Z-skoor, mida nimetatakse ka standardskooriks, mõõdab, mitme standardhälbe kaugusel on andmepunkt andmestiku keskmisest. Z-skoor 0 tähendab, et väärtus võrdub keskmisega. Positiivne z-skoor tähendab, et väärtus on keskmisest suurem, ja negatiivne z-skoor tähendab, et see on keskmisest väiksem.

Z-skoori valem

Andmepunkti z-skoor arvutatakse selle valemiga:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kus:

• $z$ on z-skoor
• $x$ on andmepunkt
• $\mu$ on andmestiku keskmine
• $\sigma$ on andmestiku standardhälve

Standardhälve ei saa olla null, sest nulliga jagamisel puudub määratletud tulemus. Samuti ei saa see olla negatiivne, kuna standardhälve on definitsiooni järgi alati null või positiivne.

Kuidas arvutada z-skoori

1. Leidke andmestiku keskmine, liites kokku kõik väärtused ja jagades väärtuste arvuga $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Leidke standardhälve. Arvutage kõigepealt dispersioon, keskmisest ruudustatud erinevuste keskmine, ja seejärel võtke sellest ruutjuur.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

See on üldkogumi standardhälve, mis jagatakse $n$-ga. Kui arvud pärinevad valimist, mis on võetud suuremast rühmast, jagage selle asemel $n - 1$-ga.

3. Lahutage andmepunktist keskmine ja jagage tulemus standardhälbega.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Lahendatud näide

Õpilane saab testis 85 punkti. Klassi keskmine on 75 ja klassi tulemuste standardhälve on 10.

• Andmepunkt: $x = 85$
• Keskmine: $\mu = 75$
• Standardhälve: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Õpilase z-skoor on 1,0. Tema tulemus on klassi keskmisest ühe standardhälbe võrra suurem.

Z-skoor ja kumulatiivne tõenäosus

Z-skoori saab teisendada kumulatiivseks tõenäosuseks, mis näitab tõenäosust, et normaaljaotusest juhuslikult valitud väärtus jääb sellele punktile või sellest allapoole. See on standardse normaaljaotuse kõvera alune pindala vasakul pool punkti $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Õpilase z-skoori 1,0 korral on kumulatiivne tõenäosus umbes 0,8413 ehk 84,13%. See tähendab, et õpilase tulemus oli parem kui ligikaudu 84%-l klassist, eeldusel et tulemused järgivad normaaljaotust. Kalkulaator kuvab z-skoori nelja komakoha täpsusega ja kumulatiivse tõenäosuse protsendina kahe komakoha täpsusega.

Mõned võrdlusväärtused:

Z-skoori tõlgendamine

Enamik väärtusi normaaljaotuses jääb keskmisest kuni 2 standardhälbe kaugusele. Üle +3 või alla -3 jäävad z-skoorid on haruldased ja neid käsitletakse sageli erinditena — väärtustena, mis erinevad järsult ülejäänud andmetest.

Z-skoorid võimaldavad ka võrrelda erinevatel skaaladel mõõdetud väärtusi. Testitulemust ja pikkusemõõtu ei saa otse võrrelda, kuid nende z-skoore saab, sest mõlemad kirjeldavad kaugust keskmisest samades standardhälbe ühikutes.

Z-skoor vs. t-skoor

Z-skoor eeldab, et üldkogumi standardhälve on teada, ja toimib kõige paremini suurte valimitega. T-skoori kasutatakse selle asemel siis, kui üldkogumi standardhälve pole teada ja valim on väike, tavaliselt alla 30 vaatluse. Mõlemad kirjeldavad kaugust keskmisest, kuid t-skoor pärineb t-jaotusest, millel on paksemad sabad, et arvestada väikese valimi lisaebamäärasusega.

Z-skooride levinud kasutusalad

• Standardiseeritud testimine. Õpilase toorskoori võrdlemine tulemuste üldise jaotusega.
• Erindite tuvastamine. Andmestiku keskmisest kaugel asuvate andmepunktide märkimine.
• Kvaliteedikontroll. Kontrollimine, kas toodetud ese jääb lubatud vahemikku.
• Hüpoteeside testimine. Z-testid kasutavad z-skoore, et hinnata, kas valimi keskmine erineb sisuliselt teadaolevast üldkogumi keskmisest.

Ajalugu

Z-skoor põhineb normaaljaotusel, mille kirjeldas Abraham de Moivre 1733. aastal ja mida arendasid edasi Carl Friedrich Gauss ja Pierre-Simon Laplace 19. sajandi alguses. Väärtuste standardiseerimine standardhälbe ühikutesse muutus tavapäraseks praktikaks psühholoogilises testimises ja kvaliteedikontrollis 20. sajandil.

Korduma kippuvad küsimused

Mis on z-skoor statistikas? Z-skoor on standardhälvete arv, mille võrra andmepunkt asub oma andmestiku keskmisest. See leitakse valemiga z = (x − μ) / σ.

Kuidas tõlgendada z-skoori tulemust? Z-skoor 0 tähendab, et väärtus võrdub keskmisega. Positiivne väärtus on keskmisest suurem ja negatiivne väärtus on keskmisest väiksem. Väärtused üle +3 või alla -3 on ebatavalised.

Kas z-skoor võib olla negatiivne? Jah. Negatiivne z-skoor tähendab lihtsalt, et andmepunkt jääb allapoole keskmist. Z-skoor -2 tähendab, et väärtus on keskmisest 2 standardhälbe võrra väiksem.

Mis vahe on z-skooril ja t-skooril? Z-skoori kasutatakse suurte valimite puhul, kui üldkogumi standardhälve on teada. T-skoori kasutatakse väikeste valimite puhul, tavaliselt alla 30, kui see pole teada.

Mida tähendab kumulatiivne tõenäosus z-skoori puhul? See on tõenäosus, et normaaljaotusest juhuslikult valitud väärtus on väiksem või võrdne antud z-skooriga. See võrdub normaaljaotuse kõvera aluse pindalaga vasakul pool seda punkti.

Mis juhtub, kui standardhälve on null? Z-skoor jääb määratlemata, sest valem nõuaks jagamist nulliga. Standardhälve null tähendab, et kõik andmestiku väärtused on identsed.

Viited

1. Standard score, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normal distribution and z-scores, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review