Toisen asteen yhtälön ratkaisin - Laske juuret muodossa ax² + bx + c = 0

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Toisen asteen yhtälö on muotoa $ax^2 + bx + c = 0$ oleva yhtälö, jossa $a$, $b$ ja $c$ ovat lukuja ja $a$ ei ole nolla. Tällä sivulla oleva toisen asteen yhtälön ratkaisija löytää $x$:n arvon tai arvot, joilla yhtälö toteutuu, käyttäjän syöttämien kertoimien $a$, $b$ ja $c$ avulla.

Jos $a$ olisi nolla, termi $x^2$ häviäisi ja yhtälöstä tulisi ensimmäisen asteen yhtälö toisen asteen yhtälön sijaan. Siksi laskin vaatii ehdon $a \neq 0$ ja näyttää virheilmoituksen, jos $a = 0$.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Jokainen muotoa $ax^2 + bx + c = 0$ oleva toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Merkki $\pm$ tarkoittaa kahta erillistä laskutoimitusta: toisessa käytetään plusmerkkiä ja toisessa miinusmerkkiä. Siksi toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi eri ratkaisua.

Neliöjuuren alla olevaa lauseketta $b^2 - 4ac$ kutsutaan diskriminantiksi. Se merkitään yleensä symbolilla $\Delta$ (kreikkalainen delta-kirjain). Pelkän diskriminantin perusteella voidaan selvittää, kuinka monta reaaliratkaisua yhtälöllä on, ennen muun laskutoimituksen tekemistä.

Juuriin liittyvän laskeminen

1. Kirjoita yhtälö standardimuotoon $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Tunnista kertoimet $a$, $b$ ja $c$.
3. Laske diskriminantti: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Jos $\Delta$ on positiivinen, laske molemmat juuret kaavalla $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Jos $\Delta$ on nolla, laske yksi juuri kaavalla $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Jos $\Delta$ on negatiivinen, yhtälöllä ei ole reaalijuuria, koska negatiivisella luvulla ei ole reaalista neliöjuurta.

Tämän sivun laskin suorittaa nämä vaiheet automaattisesti. Se hyväksyy kertoimet väliltä $-10^{10}$–$10^{10}$ ja pyöristää tulokset valittuun desimaalien määrään, joka voi olla 0–10.

Mitä diskriminantti tarkoittaa

Tämä laskin ilmoittaa ”ei reaalijuuria”, kun $\Delta$ on negatiivinen. Se ei laske kompleksijuuria eli lukuja, joissa esiintyy $i = \sqrt{-1}$.

Laskuesimerkki

Ratkaise $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Tässä $a = 1$, $b = 5$ ja $c = 6$.

Laske ensin diskriminantti:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Koska $\Delta$ on positiivinen, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Tämä voidaan tarkistaa tekijöihin jakamalla: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, joka on nolla, kun $x = -2$ tai $x = -3$.

Toinen esimerkki havainnollistaa negatiivista diskriminanttia. Yhtälössä $x^2 + x + 1 = 0$ ovat $a = 1$, $b = 1$ ja $c = 1$, joten $\Delta = 1 - 4 = -3$. Koska $\Delta$ on negatiivinen, yhtälöllä ei ole reaalijuuria.

Paraabeli, huippu ja symmetria-akseli

Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaaja on paraabeliksi kutsuttu käyrä. Jos $a$ on positiivinen, paraabeli aukeaa ylöspäin ja sillä on alin kohta. Jos $a$ on negatiivinen, se aukeaa alaspäin ja sillä on ylin kohta. Tätä alinta tai ylintä kohtaa kutsutaan huipuksi.

Huippu sijaitsee kohdassa:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Huipun kautta kulkevaa pystysuoraa suoraa $x = -\dfrac{b}{2a}$ kutsutaan symmetria-akseliksi, koska paraabelin kaksi puoliskoa ovat toistensa peilikuvia sen suhteen. Yhtälön reaalijuuret ovat kohtia, joissa paraabeli leikkaa x-akselin, joten ne sijaitsevat symmetria-akselin eri puolilla yhtä kaukana siitä.

Laskin piirtää tämän paraabelin tuloksen viereen. Se merkitsee kuvaajalle huipun ja mahdolliset reaalijuuret sekä laajentaa piirtoaluetta tarvittaessa niin, että kaikki juuret pysyvät näkyvissä.

Missä toisen asteen yhtälöitä käytetään

Toisen asteen yhtälöt kuvaavat monia todellisia tilanteita. Fysiikassa heitetyn esineen korkeus ajan funktiona noudattaa yhtälöä $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, ja sen ratkaiseminen muuttujan $t$ suhteen antaa ajan, jolloin esine osuu maahan. Tekniikassa paraabelin muotoja esiintyy satelliittiantenneissa ja siltakaapeleissa, koska ne kohdistavat tai jakavat voimaa. Tietokonegrafiikassa säteenseurantaa käyttävät ohjelmat ratkaisevat toisen asteen yhtälöitä löytääkseen kohdan, jossa suora leikkaa pallopinnan.

Lyhyt historia

Babylonialaiset matemaatikot ratkaisivat tiettyjä toisen asteen ongelmia jo noin vuonna 2000 eaa. käyttäen geometrisia menetelmiä algebran sijaan. Myös kreikkalaiset matemaatikot, kuten Eukleides, käsittelivät toisen asteen yhtälöitä geometrisesti. Noin vuonna 600 jaa. intialainen matemaatikko Brahmagupta esitti eksplisiittisen juurikaavan, joka sisälsi myös negatiiviset ratkaisut. Noin vuonna 800 jaa. persialainen matemaatikko al-Khwarizmi kuvasi järjestelmällisiä menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen kirjassa, jonka nimi synnytti sanan ”algebra”. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nykyaikaisesta symbolisesta muodosta tuli myöhemmin vakiintunut, kun algebrallinen merkintätapa kehittyi renessanssin aikana.

Usein kysyttyä

Mitä tapahtuu, jos syötän kertoimelle a arvon 0? Laskin näyttää virheilmoituksen, koska $a = 0$ muuttaa yhtälön ensimmäisen asteen yhtälöksi $bx + c = 0$, joka ratkaistaan eri tavalla.

Miksi yhtälöllä ei joskus ole reaalijuuria? Näin tapahtuu, kun diskriminantti $b^2 - 4ac$ on negatiivinen. Negatiivisella luvulla ei ole reaalista neliöjuurta, joten kaava ei voi tuottaa $x$:lle reaalista arvoa. Yhtälöllä on silti kaksi kompleksijuurta, mutta tämä laskin ei laske niitä.

Mitä eroa on juurella ja ratkaisulla? Ei mitään. Molemmat sanat tarkoittavat $x$:n arvoa, jolla yhtälö on nolla. ”Juuri” viittaa kohtaan, jossa kuvaaja kohtaa x-akselin, kun taas ”ratkaisu” viittaa algebraan.

Kuinka monta desimaalia voin valita? Väliltä 0–10. Kaksi tai kolme desimaalia riittää yleensä arkisiin tehtäviin.

Voinko syöttää erittäin suuria kertoimia? Kertoimien on oltava välillä $-10^{10}$–$10^{10}$. Tämän alueen ulkopuoliset arvot voivat aiheuttaa pyöristysvirheitä, ja ne hylätään.

Voiko tämä laskin löytää kompleksijuuret? Ei. Kun diskriminantti on negatiivinen, laskin ilmoittaa ”ei reaalijuuria” kompleksilukujen laskemisen sijaan.

Viitteet

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST:n matemaattisten funktioiden digitaalinen kirjasto, §1.11, Algebra: toisen asteen yhtälö