Young-Laplace-yhtälön ratkaisin | Rajapintapaine

Mikä on Youngin–Laplacen yhtälö?

Youngin–Laplacen yhtälö on virtausmekaniikan kaava, joka antaa kahden nesteen välisen kaarevan rajapinnan yli vallitsevan paine-eron, kuten vesipisaran pinnalla tai saippuakuplassa. Se osoittaa, että paine-ero riippuu nesteen pintajännityksestä ja siitä, kuinka jyrkästi rajapinta kaartuu. Yhtälö selittää, miksi pisaroiden ja kuplien sisälle muodostuu painetta ja miksi pienemmissä niistä sisäinen paine on suurempi kuin suuremmissa.

Yhtälö on nimetty Thomas Youngin ja Pierre-Simon Laplacen mukaan. Kumpikin kuvasi tätä yhteyttä 1800-luvun alussa.

Youngin–Laplacen yhtälön kaava

Yhtälön yleinen muoto on:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ on rajapinnan yli vallitseva paine-ero paskaleina (Pa)
• $\gamma$ (gamma) on nesteen pintajännitys newtoneina metriä kohti (N/m)
• $R_1$ ja $R_2$ ovat pinnan kaksi pääkaarevuussädettä metreinä (m)

Pinta kaartuu eri tavoin eri suuntiin. $R_1$ ja $R_2$ kuvaavat kaarevuutta kahdessa toisiaan vastaan kohtisuorassa suunnassa. Pallolla, kuten pisaralla tai kuplalla, $R_1$ on yhtä suuri kuin $R_2$, joten kaava yksinkertaistuu muotoon:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Merkkisopimus

Paine on aina suurempi kaarevan rajapinnan koveralla puolella, eli sillä puolella, josta pinta pullistuu poispäin. Pisaran tai kuplan tapauksessa tämä tarkoittaa, että sisäpaine on suurempi kuin ulkoinen paine. Säde katsotaan positiiviseksi, kun sen kaarevuuskeskus sijaitsee tällä korkeamman paineen puolella. Jos pinta kaartuu jossakin suunnassa toiseen suuntaan, kyseinen säde katsotaan negatiiviseksi. Satulanmuotoisella rajapinnalla, kuten kahden toisiaan koskettavan rakeen välisellä nestesillalla, on yksi positiivinen ja yksi negatiivinen säde, joten termit kumoavat toisensa osittain.

Tämä laskuri käyttää vain positiivisia säteitä.

Erityistapaukset

• Tasainen pinta: kun säde kasvaa kohti ääretöntä, sen kaavaan kuuluva termi pienenee kohti nollaa. Täysin tasaisella rajapinnalla ei ole lainkaan paine-eroa.
• Sylinteri: pitkä lieriömäinen pinta, kuten suuttimesta tuleva nestesuihku, kaartuu vain yhteen suuntaan. Toinen säde on sylinterin säde ja toinen on sen pituussuunnassa ääretön, joten kaava supistuu muotoon $\Delta P = \gamma / R$. Tämä on puolet saman säteen omaavan pallon paine-erosta.
• Hyvin pienet mittakaavat: alle suunnilleen 10–20 nanometrin mittakaavassa viivajännityksen kaltaiset lisävaikutukset tulevat merkittäviksi, eikä pelkkä yhtälö enää anna tarkkaa tulosta.

Paine-eron laskeminen Youngin–Laplacen yhtälöllä

1. Selvitä nesteen pintajännitys N/m-yksiköissä siinä lämpötilassa, jota tarkastelet. Pintajännitys pienenee lämpötilan noustessa.
2. Mittaa tai arvioi ensimmäinen pääkaarevuussäde $R_1$ metreinä.
3. Mittaa tai arvioi toinen pääkaarevuussäde $R_2$ metreinä. Pallolle käytä samaa arvoa kuin $R_1$:lle. Sylinterille käytä hyvin suurta lukua kuvaamaan ääretöntä.
4. Kerro pintajännitys luvun $1/R_1$ ja luvun $1/R_2$ summalla. Tulokseksi saadaan paine-ero paskaleina.

Käytä kaikki arvot SI-yksiköissä. Esimerkiksi millimetrien ja metrien sekoittaminen vääristää tulosta tuhatkertaisesti.

Ratkaistu esimerkki

Tarkastellaan pallomaista vesipisaraa, jonka säde on 1 millimetriä (0,001 m) ja pintajännitys 0,072 N/m, mikä on veden tyypillinen arvo lähellä huoneenlämpötilaa.

Koska pisara on pallo, $R_1 = R_2 = R$, joten:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Pisaran sisäinen paine on 144 Pa ympäröivän ilman painetta suurempi. Tämä on vähän verrattuna normaaliin ilmanpaineeseen, joka on noin 101 325 Pa, mutta vaikutus kasvaa nopeasti pisaran pienentyessä. Pisaran, jonka säde on kymmenesosa tästä eli 0,1 mm, paine-ero on kymmenkertainen: 1 440 Pa. Pisaran, jonka säde on 0,01 mm, paine-ero on 14 400 Pa, eli yli 14 % ilmanpaineesta.

Missä yhtälöä sovelletaan

• Pisarat ja kuplat: pienten pisaroiden suurempi paine kiihdyttää Ostwaldin kypsymistä. Siinä emulsion pienet pisarat kutistuvat suurempien kasvaessa, koska niiden sisältö diffundoituu korkeamman paineen alueelta matalamman paineen alueelle.
• Kapillaari-ilmiö: kapean putken sisällä oleva kaareva pinta nostaa nestettä ylöspäin. Siksi vesi nousee paperipyyhkeissä ja kapeissa lasiputkissa.
• Hengitys: keuhkojen pienet ilmapussit eli alveolit käyttäytyvät kuin pienet kuplat. Keuhkopinta-aktiiviseksi aineeksi kutsuttu pinnoite pienentää pintajännitystä, jotta pienet alveolit eivät romahda yhtälön ennustaman paineen vaikutuksesta. Riittämättömästä pinta-aktiivisesta aineesta kärsiville keskosille voi tästä syystä kehittyä hengitysvaikeuksia.
• Mustesuihkutulostus: tulostimien suuttimet muodostavat halkaisijaltaan kymmenien mikrometrien kokoisia pisaroita, joiden kaarevuudesta aiheutuva paine on riittävän suuri vaikuttamaan siihen, miten muste poistuu suuttimesta.
• Materiaalitiede: nesteiden pinnan kostumista ja ohuiden pinnoitteiden käyttäytymistä mittaavat laitteet käyttävät yhtälöä yhdistääkseen pisaran muodon sen pintaenergiaan.

Historia

Nesteiden havaittiin nousevan kapeissa putkissa kauan ennen kuin ilmiölle löydettiin selitys. 1700-luvun alussa Francis Hauksbee osoitti kokeellisesti, että kapeammat putket aiheuttavat suuremman kapillaarinousun, ja vuonna 1718 James Jurin kuvasi nousun olevan kääntäen verrannollinen putken halkaisijaan.

Thomas Young selitti taustalla olevan fysiikan 1805 julkaistussa tutkielmassa. Hän esitteli pintajännityksen nesteen ominaisuutena ja yhdisti sen kaarevien pintojen yli vallitsevaan paineeseen, vaikka hänen käsittelynsä oli pääosin kuvailevaa. Vuonna 1806 Pierre-Simon Laplace johti matemaattisen muodon differentiaali- ja integraalilaskennan avulla ja päätyi itsenäisesti samaan yhteyteen. Heidän yhteinen työnsä tuli tunnetuksi Youngin–Laplacen yhtälönä. Myöhemmät tutkijat, kuten Carl Friedrich Gauss ja Joseph Plateau, testasivat teoriaa ja laajensivat sitä 1800-luvulla.

Usein kysyttyä

Mitä Youngin–Laplacen yhtälö laskee? Se laskee kahden nesteen välisen kaarevan rajapinnan yli vallitsevan paine-eron nesteen pintajännityksen ja rajapinnan kaarevuuden perusteella.

Miksi paine on suurempi pienemmän pisaran sisällä? Pintajännitys vetää pisaran reunaa pitkin, ja tämä vetovoima kasvaa säteen mukana. Pinta-ala, johon paine kohdistaa työntövoiman, kasvaa säteen neliössä. Näiden tasapainottaminen antaa tulokseksi $\Delta P = 2\gamma/R$, joten paine-ero on kääntäen verrannollinen säteeseen: kun säde puolitetaan, paine-ero kaksinkertaistuu.

Miten lämpötila vaikuttaa yhtälöön? Lämpötila muuttaa pintajännityksen arvoa, ja pintajännitys pienenee lämpötilan noustessa. Vedellä pintajännitys pienenee noin arvosta 0,073 N/m lämpötilassa 20 °C arvoon noin 0,063 N/m lämpötilassa 80 °C, eli noin 0,17 mN/m jokaista celsiusastetta kohti. Huoneenlämpöisen veden pintajännitys on suurempi kuin kuuman veden, joten huoneenlämpöisen arvon käyttäminen kuumassa järjestelmässä yliarvioi paine-eron.

Toimiiko yhtälö muillakin kuin pallomaisilla muodoilla? Kyllä. Yleinen muoto, jossa on kaksi erillistä sädettä $R_1$ ja $R_2$, kattaa kaikki kaarevat pinnat, mukaan lukien ellipsoidit ja satulanmuotoiset rajapinnat. Vain yksinkertaistettu muoto $2\gamma/R$ koskee palloja.

Miten Youngin–Laplacen yhtälö eroaa Youngin yhtälöstä? Youngin–Laplacen yhtälö antaa kaarevan rajapinnan aiheuttaman paine-eron. Youngin yhtälö, joka on niin ikään Thomas Youngin esittämä erillinen yhteys, antaa pisaran ja kiinteän pinnan kosketuskulman kolmen mukana olevan materiaalin pintaenergioiden perusteella. Ne kuvaavat eri asioita, ja niitä käytetään joskus yhdessä pinnalla lepäävän pisaran analysointiin.

Kuinka pieni pisara voi olla, ennen kuin yhtälö lakkaa toimimasta? Yhtälö säilyy tarkkana noin 1 mikrometriin asti. Alle noin 10–20 nanometrin kokoisina lisävoimat, joita yhtälö ei huomioi, kuten viivajännitys ja pintojen väliset molekyylitason voimat, kasvavat riittävän suuriksi vaikuttaakseen tulokseen, ja tarvitaan yksityiskohtaisempia malleja.

Lähteet

1. Young, T. (1805). ”An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, teoksen 10 täydennys.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. ja Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. ja Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. painos). Wiley-Interscience.