Kriittisen arvon laskuri | Z-testi, t-testi, khiin-neliötesti

Kriittinen arvo on todennäköisyysjakauman raja-arvo, joka osoittaa hypoteesitestin ”hylkäysalueen” reunan. Jos testisuure ylittää kriittisen arvon, tulosta pidetään tilastollisesti merkitsevänä ja nollahypoteesi hylätään. Tämä laskin määrittää kriittiset arvot kolmelle yleisimmälle testille: Z-testille, t-testille ja khiin neliö -testille.

Mikä on kriittinen arvo?

Tilastotieteessä tutkijat aloittavat usein nollahypoteesista eli yksinkertaisesta oletuksesta, ettei mitään poikkeavaa tapahdu (esimerkiksi että uudella lääkkeellä ei ole vaikutusta). Testisuure lasketaan otosaineistosta, ja sitä verrataan kriittiseen arvoon sen ratkaisemiseksi, tarjoaako aineisto riittävästi näyttöä nollahypoteesia vastaan.

Kriittinen arvo riippuu kolmesta asiasta: valitusta testistä, merkitsevyystasosta (merkitään α:lla, kreikkalaisella alfa-kirjaimella) ja siitä, onko testi yksi- vai kaksisuuntainen. Merkitsevyystaso on todennäköisyys hylätä virheellisesti tosi nollahypoteesi, ja se asetetaan usein arvoon 0,05 (5 %) tai 0,01 (1 %).

Yksisuuntaisessa testissä vaikutusta tarkastellaan yhteen suuntaan, esimerkiksi sitä, onko arvo ”suurempi kuin”. Sillä on yksi kriittinen arvo. Kaksisuuntaisessa testissä vaikutusta tarkastellaan kumpaan tahansa suuntaan, ja sillä on kaksi kriittistä arvoa, yksi jakauman kummallakin puolella.

Kriittisen arvon laskeminen

1. Valitse testi: Z-testi (suuret otokset tai tunnettu perusjoukon varianssi), t-testi (pienet otokset ja tuntematon varianssi) tai khiin neliö -testi (luokiteltu aineisto tai sovitustesti).
2. Valitse testin suunta: yksi- tai kaksisuuntainen.
3. Valitse merkitsevyystaso α, luku väliltä 0–1. Yleisiä valintoja ovat 0,10, 0,05 ja 0,01.
4. Anna t-testissä tai khiin neliö -testissä vapausasteet (df). t-testissä df on otoskoko miinus 1. Khiin neliö -sovitustestissä df on luokkien lukumäärä miinus 1.
5. Etsi (tai laske) arvo, joka rajaa valitun häntäalueen jakaumakäyrän alta. Tämä on kriittinen arvo.

Kriittisten arvojen kaavat

Jokaisessa kaavassa käytetään kertymäfunktion käänteisfunktiota: x:n arvoa, jolla käyrän alle x:ään asti jäävä pinta-ala on yhtä suuri kuin tavoitetodennäköisyys p.

Z-testin kaava

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(yksisuuntainen)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(kaksisuuntainen)}$

Φ⁻¹ on standardin normaalijakauman kertymäfunktion käänteisfunktio.

t-testin kaava

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(yksisuuntainen)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(kaksisuuntainen)}$

t⁻¹(p, df) on t-jakauman kertymäfunktion käänteisfunktio, kun vapausasteita on df.

Khiin neliö -testin kaava

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(yksisuuntainen)}$ $\chi^2_{\text{alempi}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{ylempi}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(kaksisuuntainen)}$

Khiin neliö -jakauma saa vain positiivisia arvoja, joten molemmat kriittiset arvot ovat positiivisia, ja alempi kriittinen arvo on pienempi kuin ylempi.

Esimerkki: Z-testin kriittinen arvo

Laadunvalvontaryhmä haluaa yksisuuntaisen Z-testin kriittisen arvon, kun α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Kaikki arvot, joissa testisuure on suurempi kuin 1,6449, kuuluvat hylkäysalueeseen.

Esimerkki: t-testin kriittinen arvo

Tutkija tekee kokeen, johon osallistuu 20 henkilöä, joten df = 19. Hän haluaa kaksisuuntaisen kriittisen arvon, kun α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Hylkäysalueet ovat t < -2,8609 ja t > 2,8609.

Esimerkki: khiin neliö -testin kriittiset arvot

Analyytikko vertaa havaittuja ja odotettuja lukumääriä 5 luokassa, joten df = 4. Hän haluaa kaksisuuntaiset kriittiset arvot, kun α = 0,05.

$\chi^2_{\text{alempi}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{ylempi}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Khiin neliö -suure, joka on pienempi kuin 0,4844 tai suurempi kuin 11,1433, kuuluisi hylkäysalueeseen.

Yleisiä kriittisiä arvoja

Vapausasteiden lisääntyessä t-jakauman kriittiset arvot lähestyvät vastaavia Z-testin arvoja, koska t-jakauma lähestyy normaalijakaumaa.

Usein kysyttyä

Mihin kriittistä arvoa käytetään? Se määrittää rajan sille, milloin testisuure on riittävän äärimmäinen nollahypoteesin hylkäämiseksi. Jos suure ylittää kriittisen arvon, tulos on tilastollisesti merkitsevä valitulla α-tasolla.

Mikä ero on yksi- ja kaksisuuntaisella kriittisellä arvolla? Yksisuuntaisessa testissä vaikutusta etsitään yhteen suuntaan, ja sillä on yksi kriittinen arvo. Kaksisuuntaisessa testissä vaikutusta etsitään kumpaan tahansa suuntaan, ja sillä on kaksi kriittistä arvoa, jotka ovat symmetrisesti keskikohdan ympärillä Z- ja t-testissä. Samalla α-arvolla kaksisuuntaisen testin kriittinen arvo on itseisarvoltaan suurempi kuin yksisuuntaisen, koska sama kokonaistodennäköisyys jaetaan kahdelle hännälle yhden sijasta.

Milloin Z-testiä pitäisi käyttää t-testin sijaan? Z-testiä käytetään, kun perusjoukon varianssi tunnetaan tai otos on suuri, yleensä 30 havaintoa tai enemmän. t-testiä käytetään pienemmissä otoksissa, kun perusjoukon varianssia ei tunneta. Otoskoon kasvaessa t-testin kriittiset arvot lähestyvät Z-testin kriittisiä arvoja.

Voiko kriittinen arvo olla negatiivinen? Kyllä. Z- ja t-testien jakaumat ovat symmetrisiä nollan suhteen, joten kaksisuuntaisessa testissä toinen kriittinen arvo on negatiivinen ja toinen positiivinen. Khiin neliö -testin kriittiset arvot ovat aina positiivisia, koska khiin neliö -jakauma on määritelty vain nollan tai sitä suuremmille arvoille.

Miten vapausasteet vaikuttavat kriittiseen arvoon? Vapausasteet ilmaisevat, kuinka paljon aineisto sisältää toisistaan riippumatonta tietoa. Niiden määrä on yleensä otoskoko vähennettynä jo estimoitujen parametrien lukumäärällä. Pienemmät vapausasteet tuottavat leveämpiä jakaumia, joiden hännät ovat raskaammat, sekä suurempia kriittisiä arvoja. Suuremmat vapausasteet tuovat t- ja khiin neliö -jakaumat lähemmäs normaalijakaumaa.

Mikä kriittinen arvo vastaa 95 %:n luottamustasoa? 95 %:n luottamustaso käyttää merkitsevyystasoa α = 0,05. Kaksisuuntaisessa Z-testissä kriittiset arvot ovat ±1,9600. Yksisuuntaisessa Z-testissä kriittinen arvo on 1,6449.

Historia

Karl Pearson esitteli khiin neliö -testin vuonna 1900. William Sealy Gosset, joka julkaisi tutkimuksensa nimellä ”Student”, kehitti t-jakauman vuonna 1908 käsitelläkseen Guinnessin panimon pieniä otoksia. Ronald Fisher vakiinnutti merkitsevyystestauksen ja kriittiset arvot 1920-luvulla kirjassaan Statistical Methods for Research Workers. Ennen tietokoneita tutkijat etsivät kriittiset arvot painetuista taulukoista; nykyisin laskimet ja ohjelmistot laskevat ne suoraan jakaumakaavoista.

Lähteet

1. Pearson, K. (1900). ”On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, sarja 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). ”The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECHin tilastollisten menetelmien e-käsikirja, ”Critical Values”.