Kartion tilavuuslaskuri - Laske kartion ja karsonkartiontilavuus

Mikä on kartion tilavuuslaskuri?

Kartion tilavuuslaskuri laskee kartion tai katkaistun kartion (kartioleikkauksen) tilavuuden säteen ja korkeuden perusteella. Kartio on kappale, jolla on yksi tasomainen, ympyränmuotoinen pohja ja joka kapenee tasaisesti yhteen pisteeseen eli kärkeen. Katkaistu kartio on kartiosta jäljelle jäävä osa, kun sen yläosa on leikattu pois pohjan suuntaisella leikkauksella, jolloin jäljelle jää yhden sijasta kaksi ympyränmuotoista tahkoa.

Kartion tilavuuden kaava

Täyden kartion tilavuus riippuu sen pohjan säteestä ja korkeudesta.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V on kartion tilavuus.
• r on ympyränmuotoisen pohjan säde.
• h on korkeus, joka mitataan suoraan pohjasta kärkeen.
• π (pii) on likimäärin 3,14159.

Esimerkkilaskelma

Kartion, jonka pohjan säde on 3 yksikköä ja korkeus 4 yksikköä, tilavuus on:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kuutioyksikköä

Kartion tilavuuden laskeminen laskurilla

Laskuriin syötetään kolme arvoa:

1. Säde — pohjan säde.
2. Korkeus — kartion korkeus pohjasta kärkeen.
3. Leikkauskorkeus pohjasta (valinnainen) — etäisyys pohjasta siihen kohtaan, josta kartio leikataan, jos yläosa on leikattu pois.

Kun leikkauskorkeus jätetään tyhjäksi tai syötetään 0, laskuri antaa täyden, leikkaamattoman kartion tilavuuden. Kun leikkauskorkeus on pienempi kuin täysi korkeus, laskuri antaa leikkauksen alapuolelle jäävän katkaistun kartion tilavuuden. Syöttökenttien alapuolella oleva kuva merkitsee kappaleeseen samat kolme mittaa.

Laskuri hylkää säteen tai korkeuden, joka on nolla, negatiivinen, tyhjä tai liian suuri käsiteltäväksi tavallisena lukuna. Tällöin se näyttää tilavuuden sijasta ilmoituksen, joten se ei koskaan näytä keksittyä lukua.

Katkaistun kartion (kartioleikkauksen) tilavuuskaava

Katkaistun kartion tilavuus riippuu sen kahden ympyränmuotoisen tahkon säteistä ja kartioleikkauksen omasta korkeudesta.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R on suuremman, alemman tahkon säde.
• r on pienemmän, ylemmän tahkon säde.
• h on kartioleikkauksen korkeus, joka mitataan tahkojen väliltä.

Laskuri ei kysy ylemmän tahkon sädettä suoraan. Sen sijaan siihen syötetään pohjan säde, kartion korkeus ilman leikkausta ja leikkauskorkeus. Sen jälkeen se laskee ylemmän tahkon säteen yhdenmuotoisten kolmioiden avulla:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

jossa c on leikkauskorkeus pohjasta ja f leikkaamattoman kartion täysi korkeus.

Esimerkkilaskelma

Oletetaan, että pohjan säde on 3 yksikköä, täyden (leikkaamattoman) kartion korkeus 12 yksikköä ja leikkauskorkeus 4 yksikköä.

Ylemmän tahkon säde = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 yksikköä

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kuutioyksikköä

Jos leikkauskorkeus on yhtä suuri tai suurempi kuin täysi korkeus, leikkaus osuu kärkeen tai sen yläpuolelle, joten mitään ei poisteta. Laskuri palauttaa tällöin täyden kartion tilavuuden, ja kuva esittää täyden kartion.

Kartion tilavuuskaavan historia

Antiikin kreikkalaiset matemaatikot olivat ensimmäisiä, jotka yhdistivät kartion tilavuuden lieriön tilavuuteen. Demokritoksen, joka vaikutti 5. vuosisadan lopulla eaa., ansioksi luetaan väite, jonka mukaan kartion tilavuus on kolmasosa lieriöstä, jolla on sama pohja ja korkeus. Hän ei todistanut väitettä. Seuraavalla vuosisadalla työskennellyt Knidoksen Eudoksos esitti ensimmäisen täsmällisen todistuksen käyttäen exhaustiomenetelmäksi kutsuttua tekniikkaa, joka oli integraalilaskennan varhainen edeltäjä. Kaava V = (1/3)πr²h on pysynyt siitä lähtien samana.

Kartion tilavuuslaskujen käyttökohteet

Kartioiden ja kartioleikkausten tilavuudet tulevat kyseeseen aina, kun kappale kapenee leveästä pohjasta pisteeksi tai pienemmäksi yläosaksi. Insinöörit käyttävät kaavoja kartiomaisten säiliöiden, suppiloiden ja syöttösuppiloiden mitoitukseen. Arkkitehdit käyttävät niitä kartiomaisten kattojen materiaalimäärien arviointiin. Geologit käyttävät niitä tulivuorikartioiden ja vastaavien pinnanmuotojen tilavuuden arviointiin.

Usein kysyttyä

Miten kartion tilavuus lasketaan?

Kerro π säteen neliöllä, kerro tulos korkeudella ja jaa sitten 3: V = (1/3)πr²h. Kartion, jonka säde on 5 cm ja korkeus 10 cm, tilavuus on noin 261,80 kuutiosenttimetriä.

Mikä on katkaistun kartion (kartioleikkauksen) kaava?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), missä R ja r ovat kahden ympyränmuotoisen tahkon säteet ja h on kartioleikkauksen oma korkeus, joka mitataan tahkojen väliltä.

Miten laskuri löytää kartioleikkauksen ylemmän tahkon säteen?

Se käyttää yhdenmuotoisia kolmioita. Ylemmän tahkon säde on pohjan säde kerrottuna lausekkeella (1 − leikkauskorkeus ÷ kartion täysi korkeus). Tämä edellyttää, että katkaistu kartio on muodostettu suorasta kartiosta.

Mitä tapahtuu, jos leikkauskorkeus on suurempi tai yhtä suuri kuin kartion korkeus?

Laskuri käsittelee kappaletta täytenä, leikkaamattomana kartiona ja palauttaa syötetyn säteen ja korkeuden perusteella arvon V = (1/3)πr²h.

Mitä tapahtuu, jos säde tai korkeus on nolla tai negatiivinen?

Laskuri edellyttää, että sekä säde että korkeus ovat suurempia kuin nolla. Jos jompikumpi on nolla, negatiivinen, tyhjä tai liian suuri käsiteltäväksi tavallisena lukuna, se näyttää tilavuuden sijasta ilmoituksen.

Miten kartion tilavuus lasketaan halkaisijan eikä säteen avulla?

Jaa halkaisija 2:lla saadaksesi säteen ja käytä sitten tavalliseen tapaan kaavaa V = (1/3)πr²h.

Lähteet

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Wolframin verkkoresurssi. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Wolframin verkkoresurssi. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html