Calculateur d'Arc - Calculer le Rayon, la Portée et la Flèche

Qu'est-ce qu'un calculateur d'arc ?

Un calculateur d'arc détermine les dimensions d'un arc circulaire — son rayon, sa portée et sa flèche — à partir de deux de ces valeurs. Il calcule également la longueur de l'arc et l'aire de l'arc. Les architectes, les constructeurs et les amateurs l'utilisent pour concevoir des portes, des fenêtres, des ponts et des éléments de jardin aux formes courbes.

Principales dimensions d'un arc

Un arc circulaire est une portion découpée dans le bord d'un cercle. Cinq mesures décrivent sa forme :

• Rayon : distance entre le centre du cercle et n'importe quel point de la courbe de l'arc.
• Portée : distance horizontale en ligne droite entre les deux extrémités inférieures de l'arc, également appelée largeur.
• Flèche : distance verticale entre la ligne de naissance (la ligne horizontale reliant les deux extrémités) et le point le plus élevé de l'arc.
• Longueur de l'arc : distance mesurée le long de la courbe de l'arc, d'une extrémité à l'autre.
• Aire de l'arc : aire de la région courbe délimitée par l'arc et la ligne de naissance.

Formules des dimensions d'un arc

Ces formules s'appliquent à un arc circulaire, constitué d'un segment d'un seul cercle. Elles sont valables pour toute flèche allant jusqu'à deux fois le rayon. Cette plage couvre les arcs de portes, de fenêtres et de ponts que la plupart des utilisateurs calculent, ainsi que les arcs en fer à cheval, dont la courbe se prolonge au-delà d'un demi-cercle.

Formule de la flèche (à partir du rayon et de la portée)

$\text{Élévation} = \text{Rayon} - \sqrt{\text{Rayon}^2 - \left(\frac{\text{Portée}}{2}\right)^2}$

Valide lorsque le rayon et la portée sont positifs et que la portée ≤ 2 × rayon.

Formule du rayon (à partir de la portée et de la flèche)

$\text{Rayon} = \frac{\text{Portée}^2}{8 \times \text{Élévation}} + \frac{\text{Élévation}}{2}$

Valide lorsque la portée et la flèche sont positives.

Formule de la portée (à partir du rayon et de la flèche)

$\text{Portée} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Rayon} \times \text{Élévation} - \text{Élévation}^2}$

Valide lorsque le rayon et la flèche sont positifs et que la flèche ≤ 2 × rayon.

Formule de la longueur de l'arc

$\text{Longueur de l'arc} = \text{Rayon} \times \theta$

Ici, θ (thêta) est l'angle au centre, en radians, que la courbe de l'arc décrit au centre du cercle. Lorsque la flèche ne dépasse pas le rayon, l'arc est au plus un demi-cercle et θ vaut :

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Portée}}{2 \times \text{Rayon}}\right)$

Lorsque la flèche est supérieure au rayon, l'arc est supérieur à un demi-cercle et θ correspond à la portion restante du cercle :

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Portée}}{2 \times \text{Rayon}}\right)$

Le calculateur couvre les deux cas en une seule étape : θ = 2 × atan2(Portée ÷ 2, Rayon − Flèche), ce qui reste également exact pour un demi-cercle.

Formule de l'aire d'un arc

$\text{Aire de l'arc} = \frac{1}{2} \times \text{Rayon}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Portée} \times (\text{Rayon} - \text{Élévation})$

Comment utiliser le calculateur d'arc

Le calculateur propose trois modes, un pour chaque dimension susceptible de manquer.

Calculer la flèche, lorsque le rayon et la portée sont connus : saisir le rayon et la portée. L'outil renvoie la flèche, la longueur de l'arc et l'aire de l'arc.

Calculer le rayon, lorsque la portée et la flèche sont connues : saisir la portée et la flèche. L'outil renvoie le rayon, la longueur de l'arc et l'aire de l'arc.

Calculer la portée, lorsque le rayon et la flèche sont connus : saisir le rayon et la flèche. L'outil renvoie la portée, la longueur de l'arc et l'aire de l'arc.

Le calculateur rejette les valeurs qui ne peuvent pas former un arc réel. La portée ne peut pas dépasser deux fois le rayon, la flèche ne peut pas dépasser deux fois le rayon et chaque dimension doit être un nombre positif. Un message d'erreur s'affiche lorsqu'une valeur enfreint l'une de ces règles.

Exemple détaillé

Exemple 1 : arc de porte

Un arc de porte a une portée de 36 pouces (91,4 cm) et une flèche de 12 pouces (30,5 cm).

Rayon = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 pouces (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radians

Longueur de l'arc = 19,5 × 2,352 = 45,86 pouces

Aire de l'arc = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 pouces carrés (2 010 cm²)

Exemple 2 : arc de jardin

Un arc de jardin a un rayon de 4 pieds (1,2 m) et une portée de 6 pieds (1,8 m).

Flèche = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 pieds (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radians

Longueur de l'arc = 4 × 1,696 = 6,78 pieds

Aire de l'arc = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 pieds carrés (0,523 m²)

Exemple 3 : arc de pont

Un arc de pont a une portée de 50 pieds (15 m) et une flèche de 15 pieds (4,57 m).

Rayon = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 pieds (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radians

Longueur de l'arc = 28,33 × 2,162 = 61,25 pieds

Aire de l'arc = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 pieds carrés (49,6 m²)

Utilisations courantes des calculs d'arc

Les constructeurs utilisent les dimensions d'un arc pour découper les coffrages des arcs en béton, préparer les gabarits en briques ou en pierre des arcs de maçonnerie et planifier la courbure des plafonds voûtés. Les concepteurs de ponts utilisent la portée, la flèche et le rayon pour équilibrer la répartition des charges et le dégagement. Les travaux de restauration s'appuient sur les mêmes formules pour reproduire la géométrie exacte d'un arc historique lors de sa réparation ou de sa reconstruction. Les jardiniers et les bricoleurs les utilisent pour les treillages cintrés, les portails et les ouvertures décoratives.

Ce calculateur couvre uniquement les arcs circulaires, formés par l'arc d'un seul cercle. Les arcs elliptiques, paraboliques, gothiques et caténaires suivent des courbes différentes et nécessitent d'autres formules.

Brève histoire de l'arc

Les bâtisseurs de l'ancienne Mésopotamie utilisaient des formes primitives ressemblant à des arcs dès 2500 avant notre ère, même si la plupart étaient construits par encorbellement — en empilant les pierres de sorte que chaque rang dépasse celui qui se trouve dessous — plutôt qu'au moyen d'un véritable arc courbe. Les Romains ont fait de l'arc en plein cintre une méthode de construction courante, en l'utilisant pour les aqueducs, les ponts et des bâtiments comme le Colisée. Les bâtisseurs médiévaux d'Europe ont développé l'arc brisé gothique, qui leur permettait de construire des structures plus hautes et plus légères. Plus tard, les architectes sont revenus aux formes en plein cintre fondées sur des proportions précises, tandis que les matériaux modernes comme l'acier et le béton armé permettent désormais aux arcs de franchir de bien plus grandes distances.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre la flèche et la hauteur d'un arc ?

La flèche est la distance verticale entre la ligne de naissance et le sommet de la courbe de l'arc. La hauteur peut désigner la hauteur totale d'une ouverture, y compris un mur droit situé sous la ligne de naissance.

Ce calculateur fonctionne-t-il pour tous les types d'arcs ?

Non. Il fonctionne uniquement pour les arcs circulaires, dont la forme correspond à un segment de cercle. Les arcs elliptiques, paraboliques, gothiques et caténaires suivent des courbes différentes et nécessitent des formules distinctes.

Quelle est la relation entre la portée et le rayon dans un arc en plein cintre ?

Dans un arc en plein cintre, le rayon est égal à la moitié de la portée et la flèche est égale au rayon. L'arc forme exactement la moitié d'un cercle.

Pourquoi la portée ne peut-elle pas être supérieure à deux fois le rayon ?

Une portée égale à deux fois le rayon produit déjà un demi-cercle, soit l'arc le plus large possible pour ce rayon. Une portée plus grande ne pourrait tout simplement pas tenir sur le cercle.

Pourquoi la flèche ne peut-elle pas être supérieure à deux fois le rayon (dans le mode de calcul de la portée) ?

La flèche est mesurée entre la ligne de naissance et le point le plus élevé de l'arc sur le même cercle. Deux fois le rayon correspond à la hauteur totale de ce cercle ; une flèche plus grande placerait donc le sommet de l'arc complètement en dehors du cercle. Une flèche comprise entre le rayon et deux fois le rayon convient. L'arc est alors supérieur à un demi-cercle, comme dans le cas des arcs en fer à cheval.

Quelles unités le calculateur utilise-t-il ?

Toute unité cohérente convient — pouces, pieds, mètres ou centimètres. Saisir toutes les valeurs dans la même unité permet d'obtenir les résultats dans cette même unité, l'aire étant exprimée dans cette unité au carré.