Calculateur de périmètre mouillé – écoulement en canal et conception de conduites

Qu’est-ce que le périmètre mouillé ?

Le périmètre mouillé est la longueur de la section transversale d’un canal ou d’une conduite qui est en contact avec l’eau en écoulement. Il se mesure le long de la paroi d’une conduite, d’un fossé ou d’une rivière, partout où l’eau touche directement une surface solide. Les ingénieurs l’utilisent pour dimensionner les canaux d’évacuation, les fossés d’irrigation, les égouts et les ponceaux. Ce calculateur détermine le périmètre mouillé pour trois formes courantes : une conduite circulaire, un canal rectangulaire et un canal trapézoïdal.

Fonctionnement du calculateur

Choisissez une forme, puis saisissez ses dimensions et la hauteur d’eau.

• Conduite circulaire : saisissez le diamètre et la hauteur de remplissage (la profondeur de l’eau dans la conduite).
• Canal rectangulaire : saisissez la largeur et la hauteur de remplissage.
• Canal trapézoïdal : saisissez la largeur supérieure, la largeur inférieure, la profondeur du canal et la hauteur de remplissage.

Toutes les valeurs doivent être des nombres positifs et finis. Pour une conduite circulaire, la hauteur de remplissage ne peut pas être supérieure au diamètre. Pour un canal trapézoïdal, la hauteur de remplissage ne peut pas être supérieure à la profondeur. Si une valeur ne respecte pas ces règles, le calculateur affiche une erreur au lieu d’un résultat.

Formules du périmètre mouillé

Formule pour une conduite circulaire

Pour une conduite de diamètre D et de hauteur de remplissage y :

• Partiellement remplie (y < D) : P = D × arccos((D − 2y) / D)
• Entièrement remplie (y = D) : P = πD, soit la circonférence complète de la conduite

Le calculateur n’accepte pas une hauteur de remplissage supérieure au diamètre.

Formule pour un canal rectangulaire

Pour un canal de largeur b et de profondeur d’eau y :

P = b + 2y

Les deux côtés contribuent chacun pour une longueur égale à la profondeur d’eau, tandis que le fond plat contribue pour la largeur. Le calculateur ne demande pas la hauteur des parois d’un canal rectangulaire. Il ne vérifie donc pas si l’eau a débordé des parois.

Formule pour un canal trapézoïdal

Un canal trapézoïdal n’a pas une forme définie tant que ses dimensions ne sont pas fixées. Le calculateur demande la largeur supérieure, la largeur inférieure et la profondeur du canal, puis détermine la pente des côtés à partir de ces trois valeurs :

z = (topWidth − bottomWidth) / (2 × depth)

Ici, z est la « pente des côtés », c’est-à-dire la distance horizontale parcourue par une berge pour chaque unité de hauteur. Une fois z déterminé, le périmètre mouillé utilise la hauteur de remplissage y (la profondeur réelle de l’eau, qui peut être inférieure à la profondeur totale du canal) :

P = bottomWidth + 2y × √(1 + z²)

Calcul du périmètre mouillé : exemples détaillés

Exemple 1 : conduite circulaire

Une conduite a un diamètre de 10 m et une hauteur de remplissage de 2 m. Comme 2 m est inférieur à 10 m, la conduite n’est que partiellement remplie.

acos((10 − 2×2) / 10) = acos(0,6) ≈ 0,9273 radians

P = 10 × 0,9273 ≈ 9,27 m

Exemple 2 : canal rectangulaire

Un canal mesure 5 m de largeur et contient une hauteur d’eau de 2 m.

P = 5 + 2 × 2 = 9,00 m

Exemple 3 : canal trapézoïdal

Un canal possède une largeur supérieure de 8 m, une largeur inférieure de 5 m et une profondeur de 2 m. Il faut d’abord déterminer la pente des côtés :

z = (8 − 5) / (2 × 2) = 0,75

Si le canal est rempli à ras bord (hauteur de remplissage = 2 m) :

P = 5 + 2 × 2 × √(1 + 0,75²) = 5 + 4 × 1,25 = 10,00 m

Si ce même canal ne contient que 1 m d’eau, la pente des côtés reste identique (elle dépend de la forme du canal, et non du niveau de l’eau), mais le périmètre change :

P = 5 + 2 × 1 × 1,25 = 7,50 m

Périmètre mouillé et rayon hydraulique

Le périmètre mouillé constitue rarement le résultat final recherché par les ingénieurs. Il sert généralement à calculer le rayon hydraulique, R = A / P, où A est l’aire de la section transversale occupée par l’eau et P le périmètre mouillé. À aire d’écoulement identique, un périmètre mouillé plus petit donne un rayon hydraulique plus grand, ce qui signifie moins de frottement entre l’eau et les parois du canal. Le rayon hydraulique intervient directement dans la formule de Manning, l’équation la plus couramment utilisée pour estimer la vitesse d’écoulement dans les canaux à ciel ouvert et les conduites partiellement remplies.

Applications du périmètre mouillé

Les ingénieurs en irrigation l’utilisent pour dimensionner des fossés qui transportent l’eau avec des pertes limitées. Les ingénieurs spécialisés dans les eaux pluviales vérifient ainsi que les canaux d’évacuation et les ponceaux peuvent évacuer une crue sans déborder. Les ingénieurs de l’assainissement l’utilisent pour maintenir une vitesse d’écoulement suffisante dans les égouts afin d’empêcher les matières solides de se déposer. Le périmètre mouillé intervient également dans l’étude des rivières, où il aide à modéliser la capacité d’un chenal naturel à transporter les eaux de crue.

Historique

Le périmètre mouillé est devenu un élément standard de l’hydraulique des canaux à ciel ouvert aux 18e et 19e siècles, lorsque des ingénieurs tels qu’Antoine Chézy et Robert Manning ont élaboré des formules reliant la forme d’un canal à la vitesse d’écoulement. La formule de Chézy est apparue en 1769 et la formule de Manning a suivi en 1889. Toutes deux considèrent le périmètre mouillé, par l’intermédiaire du rayon hydraulique, comme un facteur majeur du ralentissement de l’eau par les frottements. Cette même relation reste à la base de la conception moderne des canaux et des conduites.

Foire aux questions

Qu’est-ce que le périmètre mouillé ?

Il s’agit de la longueur de la limite d’un canal ou d’une conduite qui est en contact avec l’eau en écoulement, mesurée autour de la section transversale.

Quelle est la différence entre le périmètre mouillé et le rayon hydraulique ?

Le périmètre mouillé est une longueur. Le rayon hydraulique est l’aire d’écoulement divisée par le périmètre mouillé (R = A/P). C’est le rayon hydraulique, et non le périmètre mouillé seul, qui intervient directement dans la formule de Manning.

Une conduite plus remplie a-t-elle toujours un périmètre mouillé plus grand ?

Oui, jusqu’à ce que la conduite soit complètement remplie. Lorsque la hauteur de remplissage augmente de zéro jusqu’au plein, le périmètre mouillé augmente régulièrement et atteint πD (la circonférence complète) exactement lorsque la conduite est pleine.

Pourquoi la formule du trapèze nécessite-t-elle à la fois une profondeur et une hauteur de remplissage ?

La profondeur et la largeur supérieure définissent la forme des berges du canal, ce qui détermine la pente des côtés. La hauteur de remplissage correspond à la profondeur réelle de l’eau, qui peut être inférieure à la profondeur totale. Le calculateur utilise la profondeur et la largeur supérieure pour déterminer la pente, puis la hauteur de remplissage pour calculer le périmètre.

Le périmètre mouillé peut-il être utilisé pour les conduites comme pour les canaux à ciel ouvert ?

Oui. Le périmètre mouillé d’une conduite entièrement remplie est simplement sa circonférence, πD. Une conduite partiellement remplie utilise la formule avec arccos présentée ci-dessus.

Quelles unités ce calculateur utilise-t-il ?

Le calculateur affiche le résultat en mètres ; toutes les dimensions doivent donc être saisies en mètres. Les calculs eux-mêmes fonctionnent avec n’importe quelle unité de longueur cohérente, mais l’étiquette ne change jamais. Un résultat calculé à partir de pieds serait donc tout de même affiché en mètres.

Références

1. « Wetted Perimeter ». Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Wetted_perimeter.
2. « Manning Formula ». Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Manning_formula.