Calculateur de Boîte à Moustaches - Générateur Gratuit de Graphiques à Boîtes

Qu’est-ce qu’un diagramme en boîte ?

Un diagramme en boîte, également appelé boîte à moustaches, est un graphique qui résume un ensemble de nombres à l’aide de cinq valeurs : le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum. Il montre où se situe la plupart des données et signale les valeurs inhabituelles, appelées valeurs aberrantes, sans répertorier chaque point de données.

Les diagrammes en boîte sont courants en statistique, en sciences et dans les rapports d’entreprise, car ils permettent de comparer plusieurs groupes de nombres en un coup d’œil.

La synthèse à cinq nombres

Une boîte à moustaches est construite à partir de cinq nombres, calculés après avoir trié les données de la plus petite à la plus grande.

• Minimum : la plus petite valeur qui n'est pas une valeur aberrante.
• Premier quartile (Q1) : la valeur en dessous de laquelle se trouvent environ un quart des données.
• Médiane (Q2) : la valeur centrale de l’ensemble de données.
• Troisième quartile (Q3) : la valeur en dessous de laquelle se trouvent environ trois quarts des données.
• Maximum : la plus grande valeur qui n'est pas une valeur aberrante.

La boîte du graphique s’étend de Q1 à Q3. Une ligne à l’intérieur de la boîte indique la médiane. De fines lignes appelées moustaches partent de la boîte en direction du minimum et du maximum. Les valeurs aberrantes sont représentées par des points distincts au-delà des moustaches.

Formule de la boîte à moustaches

Pour un ensemble de données trié par ordre croissant et comportant n valeurs :

Médiane

$$\text{Médiane} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ est impair} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ est pair} \end{cases}$$

Quartiles. Divisez les données triées en une moitié inférieure et une moitié supérieure. Si n est impair, excluez la médiane elle-même des deux moitiés. Ensuite :

$$Q_1 = \text{médiane de la moitié inférieure}, \qquad Q_3 = \text{médiane de la moitié supérieure}$$

Cette méthode est souvent appelée méthode exclusive. D’autres méthodes existent et peuvent donner des valeurs de Q1 et Q3 légèrement différentes pour les petits ensembles de données, mais la méthode exclusive est celle utilisée par cette calculatrice.

Écart interquartile (IQR)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Clôtures et moustaches. Les clôtures marquent la limite à partir de laquelle une valeur est considérée comme aberrante. Elles se situent à 1,5 fois l'écart interquartile au-delà des quartiles :

$$\text{Clôture inférieure} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Clôture supérieure} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

Une moustache ne s'arrête pas exactement à une clôture. Elle s'arrête à la valeur la plus extrême qui reste à l'intérieur des clôtures :

$$\text{Moustache inférieure} = \min\{x_i : x_i \geq \text{Clôture inférieure}\}, \qquad \text{Moustache supérieure} = \max\{x_i : x_i \leq \text{Clôture supérieure}\}$$

Valeurs aberrantes. Toute valeur inférieure à la clôture inférieure ou supérieure à la clôture supérieure est une valeur aberrante ; elle est représentée par un point individuel plutôt qu’intégrée à la moustache.

Comment calculer un diagramme en boîte étape par étape

1. Triez les données de la plus petite à la plus grande.
2. Trouvez la médiane. Lorsque le nombre de valeurs est impair, il s’agit de la valeur centrale. Lorsqu’il est pair, il s’agit de la moyenne des deux valeurs centrales.
3. Trouvez Q1 : la médiane de la moitié inférieure des données (la médiane elle-même est exclue lorsque le nombre de valeurs est impair).
4. Trouvez Q3 : la médiane de la moitié supérieure des données, en appliquant la même règle.
5. Calculez l’IQR en soustrayant Q1 de Q3.
6. Calculez les bornes inférieure et supérieure en utilisant 1,5 fois l’IQR.
7. Marquez toute valeur située en dehors des bornes comme valeur aberrante.
8. Définissez les moustaches sur les plus petite et plus grande valeurs qui restent entre les bornes.

Exemple

Prenons cet ensemble de données de 11 valeurs : 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Il est déjà trié.

Avec 11 valeurs (nombre impair), la médiane est la 6e valeur : 40.

La moitié inférieure est composée de 6, 7, 15, 36, 39 (cinq valeurs, médiane exclue). Sa médiane est la valeur centrale : Q1 = 15.

La moitié supérieure est composée de 41, 42, 43, 47, 49. Sa médiane est la valeur centrale : Q3 = 43.

Écart interquartile = 43 − 15 = 28.

Clôture inférieure = 15 − 1,5 × 28 = −27. Clôture supérieure = 43 + 1,5 × 28 = 85. Toutes les valeurs de l’ensemble de données se situent entre −27 et 85 ; il n’y a donc aucune valeur aberrante et les moustaches atteignent le minimum et le maximum réels : min = 6, max = 49.

Comparons maintenant un ensemble de données contenant une valeur aberrante : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Ici, Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 et IQR = 6, ce qui donne une clôture supérieure de 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. La valeur 50 se situe au-dessus de cette clôture ; elle est donc représentée comme une valeur aberrante, et la moustache supérieure s’arrête à 11, la plus grande valeur encore située entre les clôtures, plutôt qu’à 50.

Comment lire un diagramme en boîte

La boîte couvre les 50 % données centrales : une boîte large signifie que les données centrales sont très dispersées, tandis qu’une boîte étroite signifie qu’elles sont regroupées. Si la ligne de la médiane est plus proche d’un bord de la boîte, les données sont dissymétriques, ou asymétriques, vers le côté le plus long. Une moustache beaucoup plus longue que l’autre indique que les données s’étendent davantage de ce côté. Les points situés au-delà des moustaches sont des valeurs aberrantes et méritent souvent un examen plus attentif, car ils peuvent correspondre à de véritables valeurs extrêmes ou à des erreurs dans les données.

Utilisations courantes

Les diagrammes en boîte servent à comparer des groupes côte à côte, par exemple les résultats d’évaluations dans plusieurs classes, les délais de livraison de deux fournisseurs ou les mesures d’une expérience comparées à celles d’un groupe témoin. Comme un diagramme en boîte condense toute une distribution en cinq nombres, plusieurs diagrammes peuvent être alignés sur un même graphique, ce qui facilite davantage la comparaison de la dispersion et des valeurs typiques entre les groupes qu’un tableau de nombres bruts.

Comparaison des diagrammes en boîte avec d’autres graphiques

Un histogramme montre plus en détail la forme complète d’une distribution, mais il est plus difficile à utiliser pour comparer de nombreux groupes à la fois. Un diagramme en violon ajoute une courbe de densité autour de la boîte et montre plus précisément où les valeurs se concentrent. Un nuage de points montre la relation entre deux variables, ce qu’un diagramme en boîte ne peut pas faire. Le choix dépend de l’objectif : comparer des groupes (diagramme en boîte), examiner en détail la forme d’une distribution (histogramme ou diagramme en violon) ou étudier une relation (nuage de points).

Historique

Le statisticien John Tukey a présenté la boîte à moustaches en 1970, dans une édition préliminaire de son livre Exploratory Data Analysis. Elle est devenue largement connue après la publication officielle du livre en 1977. Tukey appelait sa version un diagramme schématique. Elle utilisait déjà des clôtures situées à 1,5 fois l'étendue de la moitié centrale des données, et représentait séparément, comme valeurs aberrantes, les points situés au-delà. En 1978, les statisticiens McGill, Tukey et Larsen ont décrit une version à encoches qui montre un intervalle de confiance autour de la médiane.

Foire aux questions

À quoi sert un diagramme en boîte ? Il montre la dispersion d’un ensemble de nombres et signale les valeurs probablement aberrantes, à l’aide du minimum, de Q1, de la médiane, de Q3 et du maximum. Il est particulièrement utile pour comparer plusieurs groupes sur un même graphique.

Comment lire un diagramme en boîte ? La boîte s’étend de Q1 à Q3 et couvre la moitié centrale des données. La ligne à l’intérieur de la boîte représente la médiane. Les moustaches atteignent les valeurs les plus extrêmes qui ne sont pas aberrantes, et les valeurs situées au-delà des moustaches sont représentées par des points distincts.

Comment identifier les valeurs aberrantes dans un diagramme en boîte ? Une valeur est aberrante si elle est inférieure à Q1 − 1,5 × IQR ou supérieure à Q3 + 1,5 × IQR.

Quelle est la différence entre un diagramme en boîte et un histogramme ? Un diagramme en boîte condense une distribution en cinq nombres et en valeurs aberrantes, ce qui le rend compact et adapté à la comparaison de groupes. Un histogramme montre la fréquence des valeurs dans différentes plages et fournit davantage de détails sur la forme d’une distribution donnée.

Cette calculatrice peut-elle traiter de petits ensembles de données ? Cette calculatrice nécessite au moins cinq nombres pour produire une synthèse à cinq nombres. Les diagrammes en boîte sont plus informatifs avec des ensembles de données plus importants, car une poignée de valeurs donne une idée limitée de la dispersion ou des valeurs aberrantes.

Que signifie l’asymétrie d’un diagramme en boîte ? Si la médiane est plus proche de Q1, les données ont une queue plus longue du côté des grandes valeurs. Si elle est plus proche de Q3, les données ont une queue plus longue du côté des petites valeurs.

Références

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. Manuel électronique du NIST : boîte à moustaches — la boîte couvre les 50 % centraux des données ; avec des clôtures, les moustaches s'arrêtent aux points les plus extrêmes situés à l'intérieur des clôtures internes.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. Manuel électronique du NIST : valeurs aberrantes — clôtures internes à Q1 − 1,5 × écart interquartile et à Q3 + 1,5 × écart interquartile ; les points au-delà sont des valeurs aberrantes.
3. Wickham, H. and Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 ans de boîtes à moustaches (PDF) — Tukey a présenté la boîte à moustaches en 1970 et l'a publiée officiellement en 1977 ; son diagramme schématique utilisait des clôtures à 1,5 × ; la boîte à encoches de McGill, Tukey et Larsen, en 1978, montre des intervalles de confiance autour de la médiane.