Calculateur de Test t - Outil d'Analyse Statistique Gratuit en Ligne

Qu’est-ce qu’un test t ?

Un test t est une méthode statistique qui vérifie si la moyenne d’un ensemble de nombres diffère de façon significative d’une autre moyenne ou d’une valeur fixe. On l’appelle aussi test t de Student. Les chercheurs l’utilisent pour comparer deux groupes, comme un groupe traité et un groupe témoin, ou pour comparer un groupe à une norme connue.

Le test produit un nombre appelé statistique t. Une statistique t éloignée de zéro laisse penser que les moyennes diffèrent réellement. Une statistique t proche de zéro laisse penser que l’écart pourrait n’être que du bruit aléatoire.

Types de tests t

Ce calculateur prend en charge trois types de tests t.

• Test t pour un échantillon : compare la moyenne d’un échantillon à une valeur connue ou hypothétique.
• Test t pour deux échantillons : compare les moyennes de deux échantillons indépendants, comme deux groupes distincts de personnes. Ce calculateur utilise le test t de Welch, qui ne suppose pas que les deux groupes aient la même dispersion.
• Test t apparié : compare deux séries de mesures prises sur les mêmes sujets, comme des scores avant et après un traitement.

Comment utiliser ce calculateur de test t

1. Choisissez un type de test : pour un échantillon, pour deux échantillons ou apparié.
2. Saisissez les données.
   • Un échantillon : saisissez les valeurs de l’échantillon, séparées par des virgules, ainsi que la moyenne de la population à comparer.
   • Deux échantillons : saisissez les deux échantillons sous forme de listes distinctes séparées par des virgules.
   • Apparié : saisissez les paires sous la forme (x1,y1), (x2,y2), et ainsi de suite.
3. Fixez un seuil de signification, généralement 0,05.
4. Sélectionnez Calculer pour obtenir la statistique t, les degrés de liberté et la valeur p.

Pour juger de la signification, comparez la valeur p au seuil de signification. Si la valeur p est inférieure ou égale au seuil de signification, la différence est considérée comme statistiquement significative.

Formule du test t

Formule du test t pour un échantillon

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ est la moyenne de l’échantillon, $\mu_0$ est la valeur de comparaison, $s$ est l’écart type de l’échantillon et $n$ est la taille de l’échantillon. Degrés de liberté : $df = n - 1$.

Formule du test t pour deux échantillons (test de Welch)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Les degrés de liberté proviennent de l’équation de Welch–Satterthwaite :

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Cette formule donne généralement un nombre de degrés de liberté qui n’est pas entier.

Formule du test t apparié

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ est la moyenne des différences entre les éléments de chaque paire, $s_d$ est l’écart type de ces différences et $n$ est le nombre de paires. Degrés de liberté : $df = n - 1$.

Comment calculer un test t : exemple détaillé

Un fabricant affirme qu’une pile dure en moyenne 50 heures. Un testeur vérifie neuf piles et note ces durées de vie, en heures :

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Étape 1 : énoncez les hypothèses. Hypothèse nulle : la vraie moyenne est de 50 heures. Hypothèse alternative : la vraie moyenne n’est pas de 50 heures.

Étape 2 : calculez la moyenne de l’échantillon.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Étape 3 : calculez l’écart type de l’échantillon. Les écarts à la moyenne sont 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Élevés au carré, ils valent 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, et leur somme est 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Étape 4 : calculez la statistique t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Étape 5 : calculez les degrés de liberté.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Étape 6 : trouvez la valeur p. Pour $t = 0$ et $df = 8$, la valeur p bilatérale est de 1,00.

Étape 7 : tirez une conclusion. Comme 1,00 est supérieur à 0,05, les données ne suffisent pas à montrer que la durée de vie moyenne des piles diffère de 50 heures.

Hypothèses du test t

Un test t ne donne des résultats fiables que si quelques conditions sont à peu près remplies.

• Normalité : les données doivent avoir à peu près une forme en cloche, surtout dans les petits échantillons.
• Indépendance : chaque observation ne doit pas influencer les autres observations.
• Échantillonnage aléatoire : les données doivent provenir d’un échantillon aléatoire de la population étudiée.

Pour un test t apparié, ces conditions s’appliquent aux différences entre les paires, et non aux scores bruts. Pour les échantillons plus grands, au-delà d’environ 30, un test t reste en général précis même si les données n’ont pas une forme en cloche parfaite, grâce à une propriété statistique appelée théorème central limite.

Solutions de rechange au test t

Lorsque les hypothèses ci-dessus ne sont pas vérifiées, on peut utiliser d’autres tests.

• Test U de Mann-Whitney : une solution non paramétrique de rechange au test t pour deux échantillons.
• Test des rangs signés de Wilcoxon : une solution non paramétrique de rechange au test t apparié.
• ANOVA (analyse de la variance) : compare les moyennes de trois groupes ou plus à la fois, et non seulement de deux.

Historique du test t

William Sealy Gosset a mis au point le test t en 1908, alors qu’il travaillait comme chimiste à la brasserie Guinness de Dublin. Guinness n’autorisait pas son personnel à publier des recherches sous son propre nom ; Gosset a donc utilisé le pseudonyme « Student ». C’est pourquoi la méthode est souvent appelée test t de Student. Il l’a conçue pour juger si de petits lots d’ingrédients de brassage respectaient les normes de qualité, en n’utilisant que quelques échantillons à la fois.

Questions fréquentes

À quoi sert un test t ?

Un test t vérifie si la moyenne d’un échantillon diffère de façon significative d’une autre moyenne ou d’une valeur fixe. Il est courant en recherche médicale, en psychologie, en éducation et en économie d’entreprise.

Quand utiliser un test t pour un échantillon, pour deux échantillons ou apparié ?

Le test t pour un échantillon sert à comparer la moyenne d’un échantillon à une valeur connue. Le test t pour deux échantillons sert à comparer deux groupes distincts et sans lien entre eux. Le test t apparié s’emploie lorsque les mêmes sujets sont mesurés deux fois, par exemple avant et après un traitement.

Quelle est la différence entre un test t et un test z ?

Un test t s’emploie lorsque l’échantillon est petit ou que l’écart type de la population est inconnu. Un test z s’emploie pour de grands échantillons lorsque l’écart type de la population est connu. En pratique, le test t est beaucoup plus fréquent, car l’écart type de la population est rarement connu à l’avance.

Comment interpréter la valeur p d’un test t ?

La valeur p est la probabilité d’observer une différence aussi grande, ou plus grande, s’il n’existait en réalité aucune différence. Une petite valeur p, généralement inférieure ou égale à 0,05, indique que la différence observée est peu susceptible de résulter du seul hasard.

Qu’est-ce que le test t de Welch ?

Le test t de Welch est une variante du test t pour deux échantillons qui n’exige pas que les deux groupes aient la même variance. Ce calculateur utilise toujours la méthode de Welch pour les tests à deux échantillons, car elle reste précise que les deux groupes varient ou non de la même façon.

Que sont les degrés de liberté dans un test t ?

Les degrés de liberté sont un nombre, fondé sur la taille de l’échantillon, qui fixe la forme exacte de la loi t utilisée pour trouver la valeur p. Pour un test t pour un échantillon ou apparié, les degrés de liberté sont égaux à la taille de l’échantillon moins 1. Le test t de Welch pour deux échantillons utilise une formule qui donne généralement une valeur non entière.

Références

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.2 Confidence Limits for the Mean. Manuel électronique NIST 1.3.5.2 — statistique de test pour un échantillon T = (Ȳ − μ₀)/(s/√N), avec N − 1 degrés de liberté.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.5.3 Two-Sample t-Test for Equal Means. Manuel électronique NIST 1.3.5.3 — statistique de test à variances inégales et degrés de liberté de Welch–Satterthwaite.
3. University of St Andrews, MacTutor History of Mathematics. Gosset, William Sealy [pseud. Student]. MacTutor : Gosset — Gosset travaillait pour Guinness, ne pouvait pas publier sous son propre nom et a publié ses travaux sur l’erreur probable de la moyenne dans Biometrika en 1908 sous le nom de Student.