Calculateur de Score Z - Outil de Score Standard et de Probabilité

Qu’est-ce qu’un score z ?

Un score z, aussi appelé note standard, mesure de combien d’écarts types un point de données s’éloigne de la moyenne d’un jeu de données. Un score z de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Un score z positif signifie que la valeur est supérieure à la moyenne, et un score z négatif qu’elle lui est inférieure.

Formule du score z

Le score z d’un point de données se calcule avec cette formule :

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Où :

• $z$ est le score z
• $x$ est le point de données
• $\mu$ est la moyenne du jeu de données
• $\sigma$ est l’écart type du jeu de données

L’écart type ne peut pas être nul, car la division par zéro n’a pas de résultat défini. Il ne peut pas non plus être négatif, puisqu’un écart type est par définition toujours nul ou positif.

Comment calculer un score z

1. Calculez la moyenne du jeu de données en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre de valeurs, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Calculez l’écart type. Calculez d’abord la variance, c’est-à-dire la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, puis prenez-en la racine carrée.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Soustrayez la moyenne du point de données, puis divisez par l’écart type.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemple détaillé

Un élève obtient 85 à un examen. La moyenne de la classe est de 75, et l’écart type des notes de la classe est de 10.

• Point de données : $x = 85$
• Moyenne : $\mu = 75$
• Écart type : $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Le score z de l’élève est de 1,0. Sa note se situe à un écart type au-dessus de la moyenne de la classe.

Score z et probabilité cumulée

Un score z peut être converti en probabilité cumulée, c’est-à-dire la probabilité qu’une valeur choisie au hasard dans une loi normale se situe à ce point ou en dessous. C’est l’aire sous la courbe normale centrée réduite à gauche de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pour le score z de 1,0 de l’élève, la probabilité cumulée est d’environ 0,8413, soit 84,1 %. Le calculateur affiche le score z avec quatre décimales et la probabilité en pourcentage avec deux décimales ; cet exemple affiche donc 1,0000 et 84,13 %. Cela signifie que l’élève a obtenu un meilleur résultat qu’environ 84 % de la classe, en supposant que les notes suivent une loi normale.

Quelques points de repère :

Interpréter un score z

Dans une loi normale, environ 95 % des valeurs se trouvent à moins de 2 écarts types de la moyenne, et environ 99,7 % à moins de 3. C’est ce qu’on appelle la règle empirique, ou règle 68-95-99,7. Les scores z au-delà de +3 ou de -3 sont donc rares et sont souvent examinés comme des valeurs aberrantes possibles, c’est-à-dire des valeurs qui diffèrent fortement du reste des données.

Les scores z permettent aussi de comparer des valeurs mesurées sur des échelles différentes. Une note d’examen et une mesure de taille ne peuvent pas être comparées directement, mais leurs scores z le peuvent, car les deux décrivent l’éloignement par rapport à une moyenne, exprimé dans les mêmes unités d’écart type.

Score z et score t

Un score z utilise l’écart type de la population ; il suppose donc que cette valeur est connue. Un score t s’emploie lorsque l’écart type de la population est inconnu et que l’écart type de l’échantillon le remplace. Une ancienne règle pratique n’utilisait la loi de Student que pour les échantillons de 30 éléments ou moins, mais la pratique actuelle consiste à l’utiliser dès que l’écart type de l’échantillon estime la valeur de la population. La loi de Student a des queues plus épaisses que la courbe normale, ce qui rend compte de l’incertitude supplémentaire.

Usages courants des scores z

• Tests standardisés. Comparer la note brute d’un élève à la distribution globale des notes.
• Détection des valeurs aberrantes. Repérer les points de données éloignés de la moyenne dans un jeu de données.
• Contrôle qualité. Vérifier si un article fabriqué se situe dans une plage acceptable.
• Tests d’hypothèses. Les tests z utilisent les scores z pour juger si la moyenne d’un échantillon diffère de façon significative d’une moyenne de population connue.

Historique

Le score z repose sur la loi normale. Abraham de Moivre a établi la courbe normale en 1733 comme approximation de la loi binomiale. Carl Friedrich Gauss et Pierre-Simon Laplace l’ont ensuite développée.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un score z en statistique ? Un score z est le nombre d’écarts types qui séparent un point de données de la moyenne de son jeu de données. Il se calcule avec la formule z = (x − μ) / σ.

Comment interpréter un score z ? Un score z de 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Une valeur positive est supérieure à la moyenne, et une valeur négative lui est inférieure. Les valeurs au-delà de +3 ou de -3 sont inhabituelles.

Un score z peut-il être négatif ? Oui. Un score z négatif signifie simplement que le point de données est inférieur à la moyenne. Un score z de -2 signifie que la valeur se situe à 2 écarts types sous la moyenne.

Quelle est la différence entre un score z et un score t ? Un score z s’emploie lorsque l’écart type de la population est connu. Un score t s’emploie lorsqu’il est inconnu et que l’écart type de l’échantillon le remplace, quelle que soit la taille de l’échantillon.

Que signifie la probabilité cumulée pour un score z ? C’est la probabilité qu’une valeur choisie au hasard dans une loi normale soit inférieure ou égale au score z donné. Elle correspond à l’aire sous la courbe normale à gauche de ce point.

Que se passe-t-il si l’écart type est nul ? Le score z est indéfini, car la formule exigerait une division par zéro. Un écart type nul signifie que toutes les valeurs du jeu de données sont identiques.

Références

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. The standard normal distribution — formule du score z z = (x − μ)/σ et règle empirique 68-95-99,7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Standard normal table — aire sous la courbe normale de 0 à z (0,34134 pour z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Student's t-distribution — quand employer t plutôt que z, et ses queues plus épaisses.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. Abraham de Moivre biography — dérivation de la courbe normale par de Moivre en 1733.