Calculateur de score z – score standard et probabilités

Qu’est-ce qu’un score z ?

Un score z, également appelé score standard, mesure le nombre d’écarts types qui séparent une valeur de la moyenne d’un ensemble de données. Un score z égal à 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Un score z positif signifie que la valeur est supérieure à la moyenne, tandis qu’un score z négatif signifie qu’elle lui est inférieure.

Formule du score z

Le score z d’une valeur se calcule avec la formule suivante :

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Où :

• $z$ est le score z ;
• $x$ est la valeur observée ;
• $\mu$ est la moyenne de l’ensemble de données ;
• $\sigma$ est l’écart type de l’ensemble de données.

L’écart type ne peut pas être égal à zéro, car une division par zéro n’a pas de résultat défini. Il ne peut pas non plus être négatif, puisque, par définition, un écart type est toujours nul ou positif.

Comment calculer un score z

1. Calculer la moyenne de l’ensemble de données en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant le total par le nombre de valeurs, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Calculer l’écart type. Commencer par calculer la variance, c’est-à-dire la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne, puis en prendre la racine carrée.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Il s’agit de l’écart type de la population, qui consiste à diviser par $n$. Lorsque les valeurs constituent un échantillon prélevé dans un groupe plus large, il faut diviser par $n - 1$.

3. Soustraire la moyenne de la valeur observée, puis diviser par l’écart type.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemple de calcul

Un élève obtient 85 à un contrôle. La moyenne de la classe est de 75 et l’écart type des notes de la classe est de 10.

• Valeur observée : $x = 85$
• Moyenne : $\mu = 75$
• Écart type : $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Le score z de l’élève est de 1,0. Sa note se situe à un écart type au-dessus de la moyenne de la classe.

Score z et probabilité cumulée

Un score z peut être converti en probabilité cumulée, c’est-à-dire la probabilité qu’une valeur choisie aléatoirement dans une loi normale soit inférieure ou égale à ce point. Cette probabilité correspond à l’aire située sous la courbe normale centrée réduite, à gauche de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pour le score z de l’élève, égal à 1,0, la probabilité cumulée est d’environ 0,8413, soit 84,13 %. Cela signifie que l’élève a obtenu un meilleur résultat qu’environ 84 % de la classe, en supposant que les notes suivent une loi normale. Le calculateur affiche le score z avec quatre décimales et la probabilité cumulée sous forme de pourcentage avec deux décimales.

Quelques valeurs de référence :

Interprétation d’un score z

Dans une loi normale, la plupart des valeurs se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne. Les scores z supérieurs à +3 ou inférieurs à -3 sont rares et souvent considérés comme des valeurs aberrantes, c’est-à-dire des valeurs qui diffèrent fortement du reste des données.

Les scores z permettent également de comparer des valeurs mesurées sur des échelles différentes. Une note à un contrôle et une mesure de taille ne peuvent pas être comparées directement, mais leurs scores z peuvent l’être, car ils décrivent tous deux une distance par rapport à une moyenne, exprimée dans les mêmes unités d’écart type.

Score z ou score t

Le score z suppose que l’écart type de la population est connu et donne les meilleurs résultats avec de grands échantillons. Le score t est utilisé lorsque l’écart type de la population est inconnu et que l’échantillon est petit, généralement inférieur à 30 observations. Tous deux décrivent une distance par rapport à une moyenne, mais le score t provient de la loi de Student, dont les queues sont plus épaisses afin de tenir compte de l’incertitude supplémentaire liée à un petit échantillon.

Utilisations courantes des scores z

• Tests standardisés. Comparer la note brute d’un élève à la distribution générale des notes.
• Détection des valeurs aberrantes. Signaler les valeurs très éloignées de la moyenne dans un ensemble de données.
• Contrôle qualité. Vérifier qu’un article fabriqué se situe dans une plage acceptable.
• Tests d’hypothèse. Les tests z utilisent les scores z pour déterminer si la moyenne d’un échantillon diffère de manière significative d’une moyenne connue de la population.

Historique

Le score z repose sur la loi normale, décrite par Abraham de Moivre en 1 733, puis développée par Carl Friedrich Gauss et Pierre-Simon Laplace au début du 19e siècle. La standardisation des valeurs en unités d’écart type est devenue une pratique courante dans les tests psychologiques et le contrôle qualité au cours du 20e siècle.

Foire aux questions

Qu’est-ce qu’un score z en statistique ?
Un score z correspond au nombre d’écarts types qui séparent une valeur de la moyenne de son ensemble de données. Il se calcule avec la formule z = (x − μ) / σ.

Comment interpréter le résultat d’un score z ?
Un score z égal à 0 signifie que la valeur est égale à la moyenne. Une valeur positive est supérieure à la moyenne et une valeur négative lui est inférieure. Les valeurs supérieures à +3 ou inférieures à -3 sont inhabituelles.

Un score z peut-il être négatif ?
Oui. Un score z négatif signifie simplement que la valeur observée est inférieure à la moyenne. Un score z de -2 signifie que la valeur se situe à 2 écarts types sous la moyenne.

Quelle est la différence entre un score z et un score t ?
Le score z est utilisé avec de grands échantillons lorsque l’écart type de la population est connu. Le score t est utilisé avec de petits échantillons, généralement inférieurs à 30 observations, lorsque l’écart type de la population est inconnu.

Que signifie la probabilité cumulée pour un score z ?
Il s’agit de la probabilité qu’une valeur sélectionnée aléatoirement dans une loi normale soit inférieure ou égale au score z donné. Elle correspond à l’aire située sous la courbe normale, à gauche de ce point.

Que se passe-t-il si l’écart type est égal à zéro ?
Le score z n’est pas défini, car la formule nécessiterait une division par zéro. Un écart type égal à zéro signifie que toutes les valeurs de l’ensemble de données sont identiques.

Références

1. Score standard, Wikipédia : https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Loi normale et scores z, Khan Academy : https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review