Gamma eloszlás kalkulátor

Bevezetés

A gamma eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet széles körben használnak a tudomány, mérnöki és pénzügyi területeken. Két paraméter jellemzi: a forma paraméter (k vagy α) és a skála paraméter (θ vagy β). Ez a kalkulátor lehetővé teszi, hogy különböző tulajdonságokat számítson ki a gamma eloszlásból ezen bemeneti paraméterek alapján.

Képlet

A gamma eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye (PDF) a következőképpen adható meg:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Ahol:

• x > 0 a véletlen változó
• k > 0 a forma paraméter
• θ > 0 a skála paraméter
• Γ(k) a gamma függvény

A kumulatív eloszlásfüggvény (CDF):

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Ahol γ(k, x/θ) az alsó hiányos gamma függvény.

A gamma eloszlás kulcsfontosságú tulajdonságai közé tartozik:

1. Átlag: $E[X] = k\theta$
2. Variancia: $Var[X] = k\theta^2$
3. Ferdeség: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Csúcsosság: $3 + \frac{6}{k}$

Hogyan használja ezt a kalkulátort

1. Adja meg a forma paramétert (k vagy α)
2. Adja meg a skála paramétert (θ vagy β)
3. Kattintson a "Számítás" gombra, hogy kiszámolja a gamma eloszlás különböző tulajdonságait
4. Az eredmények megjelenítik az átlagot, varianciát, ferdeséget, csúcsosságot és egyéb releváns információkat
5. A valószínűségi sűrűségfüggvény vizualizációja megjelenik

Számítás

A kalkulátor a fent említett képleteket használja a gamma eloszlás különböző tulajdonságainak kiszámításához. Íme egy lépésről lépésre történő magyarázat:

1. Ellenőrizze a bemeneti paramétereket (mindkettőnek, k-nek és θ-nak pozitívnak kell lennie)
2. Számítsa ki az átlagot: $k\theta$
3. Számítsa ki a varianciát: $k\theta^2$
4. Számítsa ki a ferdeséget: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Számítsa ki a csúcsosságot: $3 + \frac{6}{k}$
6. Számítsa ki a módust: $(k-1)\theta$ ha k ≥ 1, egyébként 0
7. Generáljon pontokat a PDF görbéhez a fent megadott képlet használatával
8. Ábrázolja a PDF görbét

Numerikus megfontolások

A gamma eloszlás számításainak végrehajtásakor számos numerikus megfontolást figyelembe kell venni:

1. Nagyon kis forma paraméterek esetén (k < 1) a PDF végtelenhez közelíthet, ahogy x megközelíti a 0-t, ami numerikus instabilitást okozhat.
2. Nagy forma paraméterek esetén a gamma függvény Γ(k) nagyon nagyra nőhet, ami túltöltést okozhat. Ilyen esetekben ajánlott a gamma függvény logaritmusával dolgozni.
3. A CDF kiszámításakor gyakran numerikusan stabilabb speciális algoritmusokat használni a hiányos gamma függvényhez, mint közvetlen integrálást a PDF-ből.
4. Extrém paraméterértékek esetén szükség lehet kiterjesztett pontosságú aritmetikára a pontosság fenntartásához.

Felhasználási esetek

A gamma eloszlás számos alkalmazással rendelkezik különböző területeken:

1. Pénzügy: Jövedelmi eloszlások, biztosítási kárigények és eszközhozamok modellezése
2. Meteorológia: Csapadék minták és egyéb időjárással kapcsolatos jelenségek elemzése
3. Mérnöki: Megbízhatósági elemzés és meghibásodási idő modellezése
4. Fizika: Várakozási idők leírása radioaktív bomlási események között
5. Biológia: Fajok bőségességének és génexpressziós szintek modellezése
6. Műveleti kutatás: Sorban álláselmélet és készletgazdálkodás

Alternatívák

Bár a gamma eloszlás sokoldalú, vannak kapcsolódó eloszlások, amelyek bizonyos helyzetekben megfelelőbbek lehetnek:

1. Exponenciális eloszlás: A gamma eloszlás egy különleges esete, amikor k = 1
2. Khi-négyzet eloszlás: A gamma eloszlás egy különleges esete, amikor k = n/2 és θ = 2
3. Weibull eloszlás: Gyakran használt alternatíva a megbízhatósági elemzésben
4. Log-normális eloszlás: Egy másik gyakori választás a ferde, pozitív adatok modellezésére

Paraméterbecslés

Valós adatokkal dolgozva gyakran szükséges a gamma eloszlás paramétereinek megbecsülése. A leggyakoribb módszerek közé tartozik:

1. Pillanatszámítás módszere: A minta pillanatait egyenlővé tenni a elméleti pillanatokkal
2. Maximum Likelihood Estimation (MLE): Olyan paraméterek keresése, amelyek maximalizálják az adatok megfigyelésének valószínűségét
3. Bayes-i becslés: A paraméterekről szóló előzetes ismeretek beépítése

Hipotézisvizsgálat

A gamma eloszlás különböző hipotézisvizsgálatokhoz is felhasználható, beleértve:

1. Jóság-illeszkedési tesztek, hogy meghatározzák, követi-e az adatok a gamma eloszlást
2. Két gamma eloszlás skála paramétereinek egyenlőségének tesztjei
3. Két gamma eloszlás forma paramétereinek egyenlőségének tesztjei

Történelem

A gamma eloszlás gazdag történelemmel rendelkezik a matematikában és statisztikában:

• 18. század: Leonhard Euler bevezette a gamma függvényt, amely szorosan kapcsolódik a gamma eloszláshoz
• 1836: Siméon Denis Poisson egy gamma eloszlás különleges esetét használta valószínűségi elméletének munkájában
• 1920-as évek: Ronald Fisher népszerűsítette a gamma eloszlás használatát a statisztikai elemzésben
• 20. század közepe: A gamma eloszlás széles körben elterjedt a megbízhatósági mérnökség és élettartam tesztelésében
• 20. század vége óta: A számítástechnikai teljesítmény fejlődése megkönnyítette a gamma eloszlásokkal való munkát különböző alkalmazásokban

Példák

Itt van néhány kód példa a gamma eloszlás tulajdonságainak kiszámítására:

1' Excel VBA függvény a gamma eloszlás PDF-jéhez
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Használat:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma eloszlás (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Valószínűségi sűrűség')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Példa használat:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Tulajdonságok kiszámítása
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Átlag: {mean}")
29print(f"Variancia: {variance}")
30print(f"Ferdeség: {skewness}")
31print(f"Csúcsosság: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Átlag: ${mean}`);
19    console.log(`Variancia: ${variance}`);
20    console.log(`Ferdeség: ${skewness}`);
21    console.log(`Csúcsosság: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Példa használat:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF ábrázolás (egy hipotetikus ábrázoló könyvtár használatával)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ezek a példák bemutatják, hogyan lehet kiszámítani a gamma eloszlás tulajdonságait és vizualizálni a valószínűségi sűrűségfüggvényét különböző programozási nyelvek használatával. Ezeket a függvényeket az Ön konkrét igényeihez igazíthatja, vagy integrálhatja őket nagyobb statisztikai elemző rendszerekbe.

Hivatkozások

1. "Gamma eloszlás." Wikipédia, Wikimedia Alapítvány, https://hu.wikipedia.org/wiki/Gamma_eloszlás. Hozzáférés: 2024. augusztus 2.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Folytonos univariát eloszlások, 1. kötet (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statisztikai eloszlások. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Egy megjegyzés a gamma eloszlásról. Havi Időjárás Jelentés, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A gamma eloszlás általánosítása. Az Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.