Gibbs' Fázis Szabály Kalkulátor

Bevezetés

A Gibbs' Fázis Szabály egy alapvető elv a fizikai kémiában és a termodinamikában, amely meghatározza a szabadsági fokok számát egy egyensúlyi állapotban lévő termodinamikai rendszerben. Az amerikai fizikus, Josiah Willard Gibbs után elnevezett szabály matematikai kapcsolatot ad a komponensek, fázisok és a rendszer teljes specifikálásához szükséges változók szám között. A Gibbs' Fázis Szabály Kalkulátor egy egyszerű és hatékony módot kínál a szabadsági fokok meghatározására bármilyen kémiai rendszer esetében, csupán a jelen lévő komponensek és fázisok számának megadásával.

A fázis szabály elengedhetetlen a fázis egyensúlyok megértéséhez, a szétválasztási folyamatok tervezéséhez, a geológiában a ásványi assemblage-ek elemzéséhez, és új anyagok fejlesztéséhez az anyagtudományban. Legyen szó diákokról, akik a termodinamikát tanulják, kutatókról, akik többkomponensű rendszerekkel dolgoznak, vagy mérnökökről, akik kémiai folyamatokat terveznek, ez a kalkulátor gyors és pontos eredményeket nyújt, hogy segítsen megérteni a rendszer variabilitását.

Gibbs' Fázis Szabály Fórmájának

A Gibbs' Fázis Szabály a következő képlettel fejezhető ki:

$F = C - P + 2$

Ahol:

• F a szabadsági fokokat (vagy varianciát) jelenti - az intenzív változók számát, amelyeket függetlenül lehet megváltoztatni anélkül, hogy megzavarnánk az egyensúlyban lévő fázisok számát
• C a komponensek számát jelenti - a rendszer kémiailag független alkotói
• P a fázisok számát jelenti - a rendszer fizikailag megkülönböztethető és mechanikusan elválasztható részei
• 2 a két független intenzív változót jelenti (tipikusan hőmérséklet és nyomás), amelyek befolyásolják a fázis egyensúlyokat

Matematikai Alap és Levezetés

A Gibbs' Fázis Szabály a termodinamikai alapelvekből származik. Egy C komponensből álló rendszer, amely P fázisban oszlik el, minden fázis leírható C - 1 független összetételi változóval (molekuláris arányok). Ezenkívül van még 2 további változó (hőmérséklet és nyomás), amelyek az egész rendszert befolyásolják.

A változók összesített száma tehát:

• Összetételi változók: P(C - 1)
• További változók: 2
• Összesen: P(C - 1) + 2

Egyensúlyban a minden komponens kémiai potenciáljának egyenlőnek kell lennie minden fázisban, ahol jelen van. Ez (P - 1) × C független egyenletet (kényszert) ad nekünk.

A szabadsági fokok (F) a változók számának és a kényszerek számának különbsége:

$F = [P(C - 1) + 2] - [(P - 1) × C]$

Egyszerűsítve: $F = PC - P + 2 - PC + C = C - P + 2$

Szélsőséges Esetek és Korlátozások

1. Negatív Szabadsági Fokok (F < 0): Ez egy túlspecifikált rendszert jelez, amely nem tud egyensúlyban létezni. Ha a számítások negatív értéket adnak, a rendszer fizikailag lehetetlen a megadott körülmények között.

2. Nulla Szabadsági Fok (F = 0): Ismert invariáns rendszer, ami azt jelenti, hogy a rendszer csak egy adott hőmérséklet és nyomás kombinációjában létezhet. Példák közé tartozik a víz hármas pontja.

3. Egy Szabadsági Fok (F = 1): Egy univariáns rendszer, ahol csak egy változó változtatható függetlenül. Ez a fázisdiagramon lévő vonalaknak felel meg.

4. Különleges Eset - Egy Komponensű Rendszerek (C = 1): Egy egykomponensű rendszer, mint a tiszta víz, a fázis szabály egyszerűsödik F = 3 - P. Ez magyarázza, hogy a hármas pont (P = 3) nulla szabadsági fokkal rendelkezik.

5. Nem-Integer Komponensek vagy Fázisok: A fázis szabály diszkrét, számlálható komponenseket és fázisokat feltételez. A tört értékeknek nincs fizikai jelentése ebben a kontextusban.

Hogyan Használjuk a Gibbs' Fázis Szabály Kalkulátort

Kalkulátorunk egy egyszerű módot kínál a szabadsági fokok meghatározására bármilyen rendszer esetében. Kövesse az alábbi egyszerű lépéseket:

1. Adja Meg a Komponensek Számát (C): Írja be a rendszerben lévő kémiailag független alkotók számát. Ez pozitív egész szám kell legyen.

2. Adja Meg a Fázisok Számát (P): Írja be az egyensúlyban lévő fizikailag megkülönböztethető fázisok számát. Ez pozitív egész szám kell legyen.

3. Nézze Meg az Eredményt: A kalkulátor automatikusan kiszámítja a szabadsági fokokat a F = C - P + 2 képlet segítségével.

4. Értelmezze az Eredményt:

   • Ha F pozitív, az a függetlenül változtatható változók számát jelenti.
   • Ha F nulla, a rendszer invariáns (csak specifikus körülmények között létezik).
   • Ha F negatív, a rendszer nem tud egyensúlyban létezni a megadott körülmények között.

Példa Számítások

1. Víz (H₂O) a hármas pontnál:

   • Komponensek (C) = 1
   • Fázisok (P) = 3 (szilárd, folyékony, gáz)
   • Szabadsági Fokok (F) = 1 - 3 + 2 = 0
   • Értelmezés: A hármas pont csak egy adott hőmérsékleten és nyomáson létezik.

2. Kétkomponensű keverék (pl. só-víz) két fázissal:

   • Komponensek (C) = 2
   • Fázisok (P) = 2 (szilárd só és sóoldat)
   • Szabadsági Fokok (F) = 2 - 2 + 2 = 2
   • Értelmezés: Két változó változtatható függetlenül (pl. hőmérséklet és nyomás vagy hőmérséklet és összetétel).

3. Ternáris rendszer négy fázissal:

   • Komponensek (C) = 3
   • Fázisok (P) = 4
   • Szabadsági Fokok (F) = 3 - 4 + 2 = 1
   • Értelmezés: Csak egy változó változtatható függetlenül.

Használati Esetek a Gibbs' Fázis Szabályhoz

A Gibbs' Fázis Szabály számos alkalmazással bír különböző tudományos és mérnöki területeken:

Fizikai Kémia és Kémiai Mérnökség

• Desztillációs Folyamat Tervezés: A változók számának meghatározása, amelyeket a szétválasztási folyamatokban irányítani kell.
• Kristályosítás: A kristályosítási feltételek megértése többkomponensű rendszerekben.
• Kémiai Reaktor Tervezés: A fázisviselkedés elemzése többkomponensű reaktorokban.

Anyagtudomány és Fémfeldolgozás

• Ötvözet Fejlesztés: A fázisok összetételének és átalakulásainak előrejelzése fémötvözetekben.
• Hőkezelési Folyamatok: Az edzés és a hűtési folyamatok optimalizálása a fázis egyensúlyok alapján.
• Kerámia Feldolgozás: A kerámiai anyagok égetése során a fázisok kialakulásának irányítása.

Geológia és Ásványtan

• Ásványi Assemblage Elemzés: A különböző nyomás- és hőmérsékleti körülmények között lévő ásványi assemblage-ek stabilitásának megértése.
• Metamorf Petrológia: A metamorf faciesek és ásványi átalakulások értelmezése.
• Magma Kristályosítás: A hűlő magmából történő ásványi kristályosítási sorrend modellezése.

Gyógyszerészeti Tudományok

• Gyógyszerformuláció: A fázis stabilitásának biztosítása gyógyszerkészítményekben.
• Fagyasztva Szárítási Folyamatok: A gyógyszerek megőrzésére szolgáló lyophilization folyamatok optimalizálása.
• Polimorfizmus Tanulmányok: Azonos kémiai vegyület különböző kristályformáinak megértése.

Környezettudomány

• Vízkezelés: A kiválás és feloldódás folyamatainak elemzése vízkezelés során.
• Légkémia: A fázisátmenetek megértése aeroszolokban és felhők kialakulásában.
• Talaj-rehabilitáció: A szennyező anyagok viselkedésének előrejelzése többfázisú talajrendszerekben.

Alternatívák a Gibbs' Fázis Szabályhoz

Bár a Gibbs' Fázis Szabály alapvető az fázis egyensúlyok elemzésében, vannak más megközelítések és szabályok, amelyek egyes alkalmazásokhoz jobban illeszkednek:

1. Módosított Fázis Szabály Reakciós Rendszerekhez: Kémiai reakciók esetén a fázis szabályt módosítani kell a kémiai egyensúlyi kényszerek figyelembevételével.

2. Duhem Tétel: Kapcsolatokat biztosít az intenzív tulajdonságok között egy egyensúlyi rendszerben, hasznos a fázisviselkedés specifikus típusainak elemzésében.

3. Lever Szabály: A fázisok relatív mennyiségeinek meghatározására szolgál bináris rendszerekben, kiegészítve a fázis szabályt kvantitatív információkkal.

4. Fázismező Modellek: Számítógépes megközelítések, amelyek képesek kezelni a klasszikus fázis szabály által nem lefedett komplex, nem egyensúlyi fázisátmeneteket.

5. Statisztikai Termodinamikai Megközelítések: Olyan rendszerek esetében, ahol a molekuláris szintű kölcsönhatások jelentősen befolyásolják a fázis viselkedést, a statisztikai mechanika részletesebb betekintést nyújt, mint a klasszikus fázis szabály.

A Gibbs' Fázis Szabály Története

J. Willard Gibbs és a Kémiai Termodinamika Születése

Josiah Willard Gibbs (1839-1903), amerikai matematikai fizikus, először 1875 és 1878 között publikálta a fázis szabályt "A Heterogén Anyagok Egyensúlyáról" című munkájában. Ez a munka a 19. század legnagyobb fizikai tudományos teljesítményei közé tartozik, és megalapozta a kémiai termodinamikát.

Gibbs a fázis szabályt a termodinamikai rendszerek átfogó kezelésének részeként fejlesztette ki. Annak ellenére, hogy rendkívüli fontosságú volt, Gibbs munkáját kezdetben figyelmen kívül hagyták, részben matematikai összetettsége miatt, részben pedig azért, mert a Connecticut Academy of Sciences Transactions című folyóiratban jelent meg, amelynek korlátozott volt a terjesztése.

Elismerés és Fejlesztés

Gibbs munkájának jelentőségét először Európában ismerték fel, különösen James Clerk Maxwell, aki gipszből készült modellt készített Gibbs termodinamikai felületének illusztrálására. Wilhelm Ostwald 1892-ben lefordította Gibbs írásait németre, segítve ezzel az ötleteinek elterjedését Európában.

A holland fizikus, H.W. Bakhuis Roozeboom (1854-1907) kulcsszerepet játszott a fázis szabály alkalmazásában kísérleti rendszerekben, bemutatva annak gyakorlati hasznosságát a komplex fázisdiagramok megértésében. Munkája segített a fázis szabályt a fizikai kémiában alapvető eszközként megerősíteni.

Modern Alkalmazások és Kiterjesztések

A 20. században a fázis szabály a korszerű anyagtudomány, fémfeldolgozás és kémiai mérnökség sarokkövévé vált. Olyan tudósok, mint Gustav Tammann és Paul Ehrenfest kiterjesztették alkalmazásait bonyolultabb rendszerekre.

A szabályt különféle különleges esetekre módosították:

• Külső mezők (gravitációs, elektromos, mágneses) alatt álló rendszerek
• Olyan rendszerek, ahol a felületi hatások jelentősek
• Nem egyensúlyi rendszerek, amelyek további kényszereket tartalmaznak

Ma a termodinamikai adatbázisokon alapuló számítógépes módszerek lehetővé teszik a fázis szabály alkalmazását egyre bonyolultabb rendszerekre, lehetővé téve a fejlett anyagok tervezését pontosan szabályozott tulajdonságokkal.

Kód Példák a Szabadsági Fokok Számításához

Itt van néhány példa a Gibbs' Fázis Szabály kalkulátor implementálására különböző programozási nyelveken:

1' Excel függvény a Gibbs' Fázis Szabályhoz
2Function GibbsPhaseRule(Components As Integer, Phases As Integer) As Integer
3    GibbsPhaseRule = Components - Phases + 2
4End Function
5
6' Példa használat egy cellában:
7' =GibbsPhaseRule(3, 2)
8

1def gibbs_phase_rule(components, phases):
2    """
3    Szabadsági fokok kiszámítása a Gibbs' Fázis Szabály segítségével
4    
5    Args:
6        components (int): A rendszerben lévő komponensek száma
7        phases (int): A rendszerben lévő fázisok száma
8        
9    Returns:
10        int: Szabadsági fokok
11    """
12    if components <= 0 or phases <= 0:
13        raise ValueError("A komponenseknek és fázisoknak pozitív egész számoknak kell lenniük")
14        
15    degrees_of_freedom = components - phases + 2
16    return degrees_of_freedom
17
18# Példa használat
19try:
20    c = 3  # Három komponensű rendszer
21    p = 2  # Két fázis
22    f = gibbs_phase_rule(c, p)
23    print(f"A {c} komponensű és {p} fázisú rendszer {f} szabadsági fokkal rendelkezik.")
24    
25    # Szélsőséges eset: Negatív szabadsági fok
26    c2 = 1
27    p2 = 4
28    f2 = gibbs_phase_rule(c2, p2)
29    print(f"A {c2} komponensű és {p2} fázisú rendszer {f2} szabadsági fokkal rendelkezik (fizikailag lehetetlen).")
30except ValueError as e:
31    print(f"Hiba: {e}")
32

1/**
2 * Szabadsági fokok kiszámítása a Gibbs' Fázis Szabály segítségével
3 * @param {number} components - A rendszerben lévő komponensek száma
4 * @param {number} phases - A rendszerben lévő fázisok száma
5 * @returns {number} Szabadsági fokok
6 */
7function calculateDegreesOfFreedom(components, phases) {
8    if (!Number.isInteger(components) || components <= 0) {
9        throw new Error("A komponenseknek pozitív egész számnak kell lenniük");
10    }
11    
12    if (!Number.isInteger(phases) || phases <= 0) {
13        throw new Error("A fázisoknak pozitív egész számnak kell lenniük");
14    }
15    
16    return components - phases + 2;
17}
18
19// Példa használat
20try {
21    const components = 2;
22    const phases = 1;
23    const degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
24    console.log(`A ${components} komponensű és ${phases} fázisú rendszer ${degreesOfFreedom} szabadsági fokkal rendelkezik.`);
25    
26    // Víz hármas pont példája
27    const waterComponents = 1;
28    const triplePointPhases = 3;
29    const triplePointDoF = calculateDegreesOfFreedom(waterComponents, triplePointPhases);
30    console.log(`A víz a hármas pontnál (${waterComponents} komponens, ${triplePointPhases} fázis) ${triplePointDoF} szabadsági fokkal rendelkezik.`);
31} catch (error) {
32    console.error(`Hiba: ${error.message}`);
33}
34

1public class GibbsPhaseRuleCalculator {
2    /**
3     * Szabadsági fokok kiszámítása a Gibbs' Fázis Szabály segítségével
4     * 
5     * @param components A rendszerben lévő komponensek száma
6     * @param phases A rendszerben lévő fázisok száma
7     * @return Szabadsági fokok
8     * @throws IllegalArgumentException ha a bemenet érvénytelen
9     */
10    public static int calculateDegreesOfFreedom(int components, int phases) {
11        if (components <= 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("A komponenseknek pozitív egész számnak kell lenniük");
13        }
14        
15        if (phases <= 0) {
16            throw new IllegalArgumentException("A fázisoknak pozitív egész számnak kell lenniük");
17        }
18        
19        return components - phases + 2;
20    }
21    
22    public static void main(String[] args) {
23        try {
24            // Bináris eutektikus rendszer példa
25            int components = 2;
26            int phases = 3;
27            int degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
28            System.out.printf("A %d komponensű és %d fázisú rendszer %d szabadsági fokkal rendelkezik.%n", 
29                             components, phases, degreesOfFreedom);
30            
31            // Ternáris rendszer példa
32            components = 3;
33            phases = 2;
34            degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
35            System.out.printf("A %d komponensű és %d fázisú rendszer %d szabadsági fokkal rendelkezik.%n", 
36                             components, phases, degreesOfFreedom);
37        } catch (IllegalArgumentException e) {
38            System.err.println("Hiba: " + e.getMessage());
39        }
40    }
41}
42

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3
4/**
5 * Szabadsági fokok kiszámítása a Gibbs' Fázis Szabály segítségével
6 * 
7 * @param components A rendszerben lévő komponensek száma
8 * @param phases A rendszerben lévő fázisok száma
9 * @return Szabadsági fokok
10 * @throws std::invalid_argument ha a bemenet érvénytelen
11 */
12int calculateDegreesOfFreedom(int components, int phases) {
13    if (components <= 0) {
14        throw std::invalid_argument("A komponenseknek pozitív egész számnak kell lenniük");
15    }
16    
17    if (phases <= 0) {
18        throw std::invalid_argument("A fázisoknak pozitív egész számnak kell lenniük");
19    }
20    
21    return components - phases + 2;
22}
23
24int main() {
25    try {
26        // 1. példa: Víz-só rendszer
27        int components = 2;
28        int phases = 2;
29        int degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
30        std::cout << "A " << components << " komponensű és " 
31                  << phases << " fázisú rendszer " << degreesOfFreedom 
32                  << " szabadsági fokkal rendelkezik." << std::endl;
33        
34        // 2. példa: Komplex rendszer
35        components = 4;
36        phases = 3;
37        degreesOfFreedom = calculateDegreesOfFreedom(components, phases);
38        std::cout << "A " << components << " komponensű és " 
39                  << phases << " fázisú rendszer " << degreesOfFreedom 
40                  << " szabadsági fokkal rendelkezik." << std::endl;
41    } catch (const std::exception& e) {
42        std::cerr << "Hiba: " << e.what() << std::endl;
43        return 1;
44    }
45    
46    return 0;
47}
48

Számszerű Példák

Itt van néhány gyakorlati példa a Gibbs' Fázis Szabály különböző rendszerekre történő alkalmazására:

1. Tiszta Víz Rendszer (C = 1)

2. Kétkomponensű Rendszerek (C = 2)

3. Ternáris Rendszerek (C = 3)

4. Szélsőséges Esetek

Gyakran Ismételt Kérdések

Mi a Gibbs' Fázis Szabály?

A Gibbs' Fázis Szabály egy alapvető elv a termodinamikában, amely a szabadsági fokok (F) számát kapcsolja össze egy termodinamikai rendszerben a komponensek (C) és fázisok (P) számával a F = C - P + 2 képlet segítségével. Segít meghatározni, hány változót lehet függetlenül megváltoztatni anélkül, hogy megzavarnánk a rendszer fázisait.

Mik a szabadsági fokok a Gibbs' Fázis Szabályban?

A szabadsági fokok a Gibbs' Fázis Szabályban az intenzív változók (például hőmérséklet, nyomás vagy koncentráció) számát jelentik, amelyeket függetlenül lehet változtatni anélkül, hogy megváltoztatnánk a rendszerben lévő fázisok számát. Ezek jelzik a rendszer variabilitását vagy a rendszer teljes meghatározásához szükséges paraméterek számát.

Hogyan számolom ki a rendszerben lévő komponensek számát?

A komponensek a rendszer kémiailag független alkotói. A komponensek számának meghatározásához:

1. Kezdje a jelen lévő kémiai fajok összes számával
2. Vonja le a független kémiai reakciók vagy egyensúlyi kényszerek számát
3. Az eredmény a komponensek száma

Például egy víz (H₂O) rendszerben, bár hidrogén és oxigén atomokat tartalmaz, ha nincsenek kémiai reakciók, akkor egy komponensnek számít.

Mi számít fázisnak a Gibbs' Fázis Szabályban?

A fázis egy fizikailag megkülönböztethető és mechanikusan elválasztható része a rendszernek, amelyen belül egyenletes kémiai és fizikai tulajdonságok vannak. Példák közé tartozik:

• Különböző halmazállapotok (szilárd, folyékony, gáz)
• Összeférhetetlen folyadékok (például olaj és víz)
• Azonos anyag különböző kristályszerkezetei
• Különböző összetételű oldatok

Mit jelent a negatív érték a szabadsági fokok esetében?

A negatív szabadsági fok értéke egy fizikailag lehetetlen rendszert jelez egyensúlyban. Ez azt sugallja, hogy a rendszernek több fázisa van, mint amit a megadott komponensek stabilizálni tudnának. Az ilyen rendszerek nem tudnak stabil egyensúlyi állapotban létezni, és spontán módon csökkenteni fogják a jelen lévő fázisok számát.

Hogyan kapcsolódik a Gibbs' Fázis Szabály a fázisdiagramokhoz?

A fázisdiagramok grafikus ábrázolások a különböző fázisok létezésének feltételeiről egyensúlyi állapotban. A Gibbs' Fázis Szabály segít értelmezni ezeket a diagramokat azáltal, hogy jelzi:

• A fázisdiagramokon lévő területek (tartományok) F = 2 (bivariáns)
• A fázisdiagramokon lévő vonalak F = 1 (univariáns)
• A fázisdiagramokon lévő pontok F = 0 (invariáns)

A szabály magyarázza, hogy a hármas pontok miért léteznek specifikus körülmények között, és hogy miért jelennek meg a fázishatárok vonalként a nyomás-hőmérséklet diagramokon.

Alkalmazható-e a Gibbs' Fázis Szabály nem-eqilibrált rendszerekre?

Nem, a Gibbs' Fázis Szabály szigorúan csak egyensúlyi rendszerekre vonatkozik. Nem-eqilibrált rendszerek esetén módosított megközelítések vagy kinetikai megfontolások szükségesek. A szabály azt feltételezi, hogy elegendő idő eltelt ahhoz, hogy a rendszer elérje az egyensúlyt.

Hogyan befolyásolja a nyomás a fázis szabály számításait?

A nyomás az egyik két standard intenzív változó (a hőmérséklet mellett), amely a "+2" tagban szerepel a fázis szabályban. Ha a nyomást állandónak tekintjük, a fázis szabály F = C - P + 1-re egyszerűsödik. Hasonlóképpen, ha mind a nyomás, mind a hőmérséklet állandó, akkor F = C - P.

Mi a különbség az intenzív és kiterjedt változók között a fázis szabály kontextusában?

Az intenzív változók (mint például a hőmérséklet, nyomás és koncentráció) nem függenek a jelenlévő anyag mennyiségétől, és a szabadsági fokok számolásában használják őket. A kiterjedt változók (mint például térfogat, tömeg és összes energia) a rendszer méretétől függenek, és nem közvetlenül figyelembe vették a fázis szabályban.

Hogyan használják a Gibbs' Fázis Szabályt az iparban?

Az iparban a Gibbs' Fázis Szabályt használják:

• A szétválasztási folyamatok, például desztilláció és kristályosítás tervezésére és optimalizálására
• Új ötvözetek specifikus tulajdonságokkal való fejlesztésére
• A fémek hőkezelési folyamatainak irányítására
• Stabil gyógyszerkészítmények formulálására
• Geológiai rendszerek viselkedésének előrejelzésére
• Hatékony kinyerési folyamatok tervezésére hidrometallurgiában

Irodalomjegyzék

1. Gibbs, J. W. (1878). "A Heterogén Anyagok Egyensúlyáról." A Connecticut Academy of Arts and Sciences Transactions, 3, 108-248.

2. Smith, J. M., Van Ness, H. C., & Abbott, M. M. (2017). Bevezetés a Kémiai Mérnöki Termodinamikába (8. kiadás). McGraw-Hill Education.

3. Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Fizikai Kémia (10. kiadás). Oxford University Press.

4. Denbigh, K. (1981). A Kémiai Egyensúly Elvei (4. kiadás). Cambridge University Press.

5. Porter, D. A., Easterling, K. E., & Sherif, M. Y. (2009). Fázis Átalakulások Fémekben és Ötvözetekben (3. kiadás). CRC Press.

6. Hillert, M. (2007). Fázis Egyensúlyok, Fázisdiagramok és Fázis Átalakulások: A Thermodinamikai Alapjuk (2. kiadás). Cambridge University Press.

7. Lupis, C. H. P. (1983). Anyagok Kémiai Termodinamikája. North-Holland.

8. Ricci, J. E. (1966). A Fázis Szabály és a Heterogén Egyensúly. Dover Publications.

9. Findlay, A., Campbell, A. N., & Smith, N. O. (1951). A Fázis Szabály és Alkalmazásai (9. kiadás). Dover Publications.

10. Kondepudi, D., & Prigogine, I. (2014). Modern Termodinamika: A Hőmotoroktól a Disszipatív Szerkezetekig (2. kiadás). John Wiley & Sons.

---

Próbálja ki a Gibbs' Fázis Szabály Kalkulátorunkat még ma, hogy gyorsan meghatározza a szabadsági fokokat a termodinamikai rendszerében. Egyszerűen adja meg a komponensek és fázisok számát, és azonnali eredményeket kap, hogy segítsen megérteni a kémiai vagy anyagrendszere viselkedését.