ממיר בינארי לעשרוני | כלי מקוון חינמי

ממיר מבינארי לעשרוני

ממיר מבינארי לעשרוני משנה מספר בין בסיס 2 (בינארי) לבסיס 10 (עשרוני). השיטה הבינארית היא שיטת ספירה שבה מחשבים משתמשים באופן פנימי, ונכתבת באמצעות 0 ו־1 בלבד. השיטה העשרונית היא שיטת הספירה שבה אנשים משתמשים מדי יום, ונכתבת באמצעות הספרות 0 עד 9. הכלי ממיר מיד ערך שהוזן באחד השדות לשיטה האחרת ומציג את החישוב שמאחורי התוצאה.

כיצד פועלת השיטה העשרונית

במספרים עשרוניים משתמשים בעשר ספרות, 0 עד 9. כל מיקום במספר עשרוני מייצג חזקה של 10. בקריאה מימין לשמאל, ערכי המיקומים הם 1, 10, 100, 1,000 וכן הלאה.

נבחן את המספר 427:

• 4 × 100 = 400
• 2 × 10 = 20
• 7 × 1 = 7

חיבור ערכים אלה נותן 400 + 20 + 7 = 427.

כיצד פועלת השיטה הבינארית

במספרים בינאריים משתמשים בשתי ספרות בלבד, 0 ו־1. כל מיקום מייצג חזקה של 2 במקום חזקה של 10. בקריאה מימין לשמאל, ערכי המיקומים הם 1, 2, 4, 8, 16 וכן הלאה, כאשר הערך מוכפל בכל פעם.

נבחן את המספר הבינארי 1010:

• 1 × 8 = 8
• 0 × 4 = 0
• 1 × 2 = 2
• 0 × 1 = 0

חיבור ערכים אלה נותן 8 + 0 + 2 + 0 = 10.

נוסחה להמרה מבינארי לעשרוני

כדי להמיר מספר בינארי לעשרוני, מכפילים כל ספרה בחזקה של 2 המתאימה למיקומה, ואז מחברים את התוצאות:

עשרוני = הסכום של bᵢ × 2ⁱ עבור כל ספרה, כאשר bᵢ היא הספרה (0 או 1) במיקום i, בספירה מ־0 מימין.

דוגמה: המרת 1101 לעשרוני

1. 1 × 2³ = 8
2. 1 × 2² = 4
3. 0 × 2¹ = 0
4. 1 × 2⁰ = 1
5. סכום: 8 + 4 + 0 + 1 = 13

המספר הבינארי 1101 שווה למספר העשרוני 13. רק המיקומים שבהם מופיעה 1 מוסיפים לערך הכולל, ולכן בחיבור ידני נוח לדלג על ה־0ים.

נוסחה להמרה מעשרוני לבינארי (שיטת החלוקה)

כדי להמיר מספר עשרוני לבינארי, מחלקים אותו שוב ושוב ב־2 ומתעדים כל שארית.

1. מחלקים את המספר ב־2.
2. רושמים את השארית, שהיא תמיד 0 או 1.
3. מחלקים שוב את המנה ב־2.
4. חוזרים על הפעולה עד שהמנה מגיעה ל־0.
5. קוראים את השאריות מלמטה למעלה.

דוגמה: המרת 25 לבינארי

1. 25 ÷ 2 = 12, שארית 1
2. 12 ÷ 2 = 6, שארית 0
3. 6 ÷ 2 = 3, שארית 0
4. 3 ÷ 2 = 1, שארית 1
5. 1 ÷ 2 = 0, שארית 1

קריאת השאריות מהשורה האחרונה חזרה לראשונה נותנת 11001. המספר העשרוני 25 שווה למספר הבינארי 11001.

כיצד להשתמש בממיר

מזינים מספר בשדה הבינארי או בשדה העשרוני. השדה האחר מתעדכן מיד. קלט לא חוקי, כגון 2 בשדה הבינארי או אות בשדה העשרוני, מציג הודעת שגיאה במקום תוצאה.

החלונית שמתחת לשני השדות מציגה את החישוב שמאחורי ההמרה הנוכחית: פירוק לחזקות של 2 בהמרה מבינארי לעשרוני, ושלבי חלוקה ב־2 בהמרה מעשרוני לבינארי. שלבי החלוקה מוצגים בסדר הפוך, כאשר החלוקה האחרונה מופיעה בראש, ולכן השאריות נקראות מלמעלה למטה כתוצאה הבינארית.

הממיר מקבל מספרים בינאריים ועשרוניים בכל גודל. הוא מבצע חישובים אריתמטיים מדויקים בדיוק שרירותי, ולא חישובי נקודה צפה רגילים, ולכן ערכים ארוכים אינם מעוגלים. החלונית המפורטת משתמשת באותה אריתמטיקה מדויקת, ולכן כל ערך מיקום וכל מנה שהיא מציגה תואמים לתוצאה המומרת ספרה אחר ספרה. הממיר אינו מקבל מספרים שליליים או שברים.

שימושים בהמרה מבינארי לעשרוני

• כתובות IP. כתובת IPv4 כגון 192.168.1.1 מורכבת מארבעה בתים בינאריים הכתובים כמספרים עשרוניים. 192 הוא 11000000, 168 הוא 10101000, ו־1 הוא 00000001.
• הרשאות קבצים. קוד הרשאות ביוניקס כגון 755 הוא קיצור לתבנית הבינארית 111101101: גישה מלאה לבעלים, והרשאות קריאה והפעלה לכל השאר.
• דגלי סיביות. הגדרת בית ל־255 מפעילה את כל 8 הסיביות, 11111111. תוכנות משתמשות לעיתים במספר יחיד באופן זה כדי לסמן כמה הגדרות כמופעלות בו־זמנית.
• חומרה דיגיטלית. אוגרי מעגלים שומרים הגדרות כסיביות, ולכן הגדרת התקן עשויה לכלול המרה של ערך עשרוני לתבנית הסיביות המדויקת הדרושה לו.

שיטות מספרים קשורות

הקסדצימלי (בסיס 16) ואוקטלי (בסיס 8) הם דרכים מקוצרות לכתיבת בינארי. כל ספרה הקסדצימלית מייצגת בדיוק 4 סיביות בינאריות, וכל ספרה אוקטלית מייצגת בדיוק 3 סיביות בינאריות.

• המספר הבינארי 10101101 הוא AD בהקסדצימלי, ושווה למספר העשרוני 173.
• המספר הבינארי 101011 הוא 53 באוקטלי.

שאלות נפוצות

מהו מספר בינארי?

מספר בינארי נכתב באמצעות שתי ספרות בלבד, 0 ו־1. כל ספרה נקראת סיבית. כל מספר שלם ניתן לכתיבה בבינארי באמצעות שילוב של מספר מספיק סיביות, כשם שכל מילה ניתנת לכתיבה באמצעות אלפבית מוגבל של אותיות.

מדוע מחשבים משתמשים בבינארי במקום בעשרוני?

מעגלים אלקטרוניים יכולים לאחסן ולעבור בין שני מצבים ברורים, כגון מתח גבוה ונמוך, בזול ובאמינות רבה יותר מאשר בין עשר רמות מתח שונות. לוגיקה בעלת שני מצבים מתאימה גם לאלגברה בוליאנית, ענף במתמטיקה שבו משתמשים מעגלים דיגיטליים לביצוע חישובים.

כיצד ממירים בינארי לעשרוני ביד?

מכפילים כל ספרה בינארית בחזקה של 2 המתאימה למיקומה, בספירה מ־0 מימין, ואז מחברים את התוצאות. עבור המספר הבינארי 1101: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13.

כיצד ממירים עשרוני לבינארי ביד?

מחלקים שוב ושוב את המספר העשרוני ב־2, ורושמים כל שארית, עד שהמנה מגיעה ל־0. לאחר מכן קוראים את השאריות מהאחרונה לראשונה. בדרך זו המספר העשרוני 13 הופך למספר הבינארי 1101.

האם הממיר תומך במספרים שליליים או בשברים?

לא. הוא מקבל מספרים שלמים לא־שליליים בלבד. מספרים בינאריים שליליים משתמשים בשיטה נפרדת הנקראת משלים ל־2, ושברים בינאריים הם נושא שונה מהמרת מספרים שלמים.

מהו המספר הגדול ביותר שהממיר יכול לטפל בו?

אין מגבלת גודל קבועה. הממיר משתמש באריתמטיקה בדיוק שרירותי, ולכן ממיר בדיוק מספרים בינאריים או עשרוניים ארוכים מאוד, כולל ערכים החורגים בהרבה ממה שחישובי נקודה צפה רגילים יכולים לייצג ללא שגיאות עיגול. גם החלונית המציגה את שלבי החישוב מדויקת. המספר הבינארי 1 ואחריו שישים 0ים הוא המספר העשרוני 1152921504606846976, והחלונית מציגה את ערך המיקום במלואו במקום את הערך המעוגל 1152921504606847000 שמתקבל בחישובי נקודה צפה רגילים.

מה ההבדל בין בינארי, אוקטלי והקסדצימלי?

שלוש השיטות הן שיטות ספירה מיקומיות, כמו השיטה העשרונית, אך בעלות בסיסים שונים: בינארי משתמש בבסיס 2, אוקטלי משתמש בבסיס 8, והקסדצימלי משתמש בבסיס 16. ספרה הקסדצימלית אחת שווה תמיד בדיוק ל־4 סיביות בינאריות, וספרה אוקטלית אחת שווה תמיד בדיוק ל־3 סיביות בינאריות, ולכן הן משמשות כקיצור קומפקטי למספרים בינאריים ארוכים.