ממיר בסיסי מספרים: בינארי, הקסדצימלי, עשרוני ואוקטלי

ממיר בסיסי מספרים

ממיר בסיסי מספרים משנה את אופן הכתיבה של מספר, ממערכת ספרות מיקומית אחת לאחרת, בלי לשנות את ערכו. הוא יכול להמיר בינארי לעשרוני, עשרוני להקסדצימלי, או להמיר בין כל שני בסיסים מ־2 עד 36.

מהו בסיס מספרים?

בסיס מספרי, הנקרא גם רדיקס, הוא מספר הספרות השונות שמערכת משתמשת בהן לפני שהיא מתחילה לחזור עליהן במיקום חדש. השיטה העשרונית, המשמשת לספירה יומיומית, היא בסיס 10. היא משתמשת בעשר ספרות, מ־0 עד 9. השיטה הבינארית היא בסיס 2 ומשתמשת רק ב־0 וב־1. כאשר בסיס גדול מ־10, אותיות מחליפות את הספרות החסרות: A מייצגת את 10, B מייצגת את 11, וכן הלאה עד Z, המייצגת את 35. כך מערכת יכולה להגיע לבסיס 36, שהוא הבסיס הגבוה ביותר שרוב הממירים תומכים בו, באמצעות 26 אותיות האלפבית בלבד וכן 10 ספרות.

לכל ספרה במספר יש ערך מיקומי המבוסס על חזקות של הבסיס. בשיטה העשרונית, המספר הכתוב "205" פירושו 2 מאות, 0 עשרות ו־5 יחידות, משום ש־100 ו־10 הן חזקות של 10. אותו רעיון חל בכל בסיס: הספרה הימנית ביותר מוכפלת בבסיס⁰, הבאה אחריה בבסיס¹, הבאה אחריה בבסיס², וכן הלאה.

כיצד ממירים מספר לבסיס אחר

המרת מספר לעשרוני

כדי להמיר מספר מכל בסיס לשיטה העשרונית, מכפילים כל ספרה בבסיס בחזקת המיקום שלה, בספירה מ־0 בצד ימין, ואז מחברים את התוצאות.

נוסחה: ערך = dₙ × בסיסⁿ + ... + d₁ × בסיס¹ + d₀ × בסיס⁰

דוגמה: המירו את המספר בבסיס 5 101 לשיטה העשרונית.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

לכן 101 בבסיס 5 שווה ל־26 בשיטה העשרונית.

המרת מספר עשרוני לבסיס אחר

כדי להמיר מספר עשרוני לבסיס אחר, מחלקים אותו שוב ושוב בבסיס היעד ושומרים כל שארית. עוצרים כאשר המספר מגיע ל־0, ואז קוראים את השאריות מהאחרונה שנמצאה ועד לראשונה.

דוגמה: המירו את המספר העשרוני 26 לבסיס 5.

• 26 ÷ 5 = 5, שארית 1
• 5 ÷ 5 = 1, שארית 0
• 1 ÷ 5 = 0, שארית 1
• קריאת השאריות מלמטה למעלה: 101

הדבר מאשר את הדוגמה הקודמת: 26 בשיטה העשרונית הוא 101 בבסיס 5.

דוגמה פתורה

מבינארי לעשרוני: המרת המספר הבינארי 1101 לעשרוני נעשית כך: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

מעשרוני להקסדצימלי: המספר העשרוני 202 מומר להקסדצימלי כך: 202 ÷ 16 = 12, שארית 10, ולאחר מכן 12 ÷ 16 = 0, שארית 12. בהקסדצימלי, 10 נכתב A ו־12 נכתב C. קריאת השאריות מלמטה למעלה נותנת CA. לכן 202 בשיטה העשרונית הוא CA בהקסדצימלי.

מאוקטלי לבינארי: המספר האוקטלי 17 מומר תחילה לעשרוני: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. לאחר מכן המספר העשרוני 15 מומר לבינארי כ־1111. לכן 17 באוקטלי שווה ל־1111 בבינארי.

בסיסי מספרים נפוצים

מספרים גדולים מאוד

בהמרות מסוימות יש מספרים גדולים מכדי שחישובי נקודה צפה בדיוק כפול רגיל יטפלו בהם במדויק, למשל ערך הקסדצימלי באורך 64 סיביות כמו FFFFFFFFFFFFFFFF. ממיר זה עובד עם מספרים שלמים בכל גודל באמצעות חשבון שלמים בדיוק שרירותי, ולכן אינו מעגל או מאבד ספרות בערכים ארוכים.

אילו קלטים הממיר מקבל

הכלי קורא מספרים שלמים שאינם שליליים, הכתובים באמצעות ספרות בסיס המקור. אפשר להקליד אותיות באותיות גדולות או קטנות, ולכן גם ff וגם FF פירושם 255 בבסיס 16. מתעלמים מרווחים שלפני המספר או אחריו. כל תו אחר, כגון סימן מינוס או נקודה עשרונית, נדחה בהודעה "הקלט מכיל תווים שאינם חוקיים עבור בסיס 16", המציינת את בסיס המקור שנבחר.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין בינארי להקסדצימלי?

השיטה הבינארית משתמשת בשתי ספרות בלבד, 0 ו־1. השיטה ההקסדצימלית משתמשת בשש־עשרה ספרות, מ־0 עד 9 ומ־A עד F. מכיוון ש־16 הוא 2⁴, כל ספרה הקסדצימלית יחידה מייצגת בדיוק ארבע ספרות בינאריות, ולכן משתמשים לעיתים קרובות בהקסדצימלי כדרך קצרה לכתיבת ערכים בינאריים.

כיצד ממירים עשרוני לבינארי ידנית?

מחלקים את המספר העשרוני שוב ושוב ב־2 ומתעדים כל שארית. קוראים את השאריות בסדר הפוך, מהחלוקה האחרונה לראשונה. לדוגמה, 13 ÷ 2 = 6 שארית 1, 6 ÷ 2 = 3 שארית 0, 3 ÷ 2 = 1 שארית 1, 1 ÷ 2 = 0 שארית 1. קריאה מלמטה למעלה נותנת 1101, שהוא 13 בבינארי.

מהו הבסיס הגדול ביותר שהכלי תומך בו?

הכלי תומך בבסיסים מ־2 עד 36. בסיס 36 הוא הבסיס הגבוה ביותר שניתן להגיע אליו באמצעות עשר הספרות 0–9 ועשרים ושש האותיות A-Z, משום שביחד הן מספקות בדיוק 36 סמלים שונים.

האם הכלי יכול להמיר מספרים שליליים?

לא. הוא מקבל רק אפס ומספרים שלמים חיוביים. כדי להמיר מספר שלילי, ממירים את הערך המוחלט שלו ואז מוסיפים ידנית סימן מינוס לתוצאה.

מדוע קיימות השיטה ההקסדצימלית והשיטה האוקטלית אם מחשבים משתמשים בשיטה הבינארית באופן פנימי?

מחרוזות ארוכות של 1 ו־0 קשות לקריאה לבני אדם וקל לספור בהן לא נכון. מכיוון ש־16 ו־8 הן שתיהן חזקות של 2, ספרות הקסדצימליות ואוקטליות מתאימות באופן ישיר לקבוצות קבועות של ספרות בינאריות: ארבע סיביות להקסדצימלי ושלוש סיביות לאוקטלי. כך ערכים בינאריים ארוכים נעשים קצרים יותר וקלים יותר לבדיקה בעין.

האם יש גבול לגודל המספר שהכלי יכול להמיר?

אין גבול מעשי. הכלי משתמש בחשבון בדיוק שרירותי במקום במספרים רגילים בנקודה צפה, ולכן הוא ממיר ערכים ארוכים מאוד, כולל כאלה הגדולים ממה שמחשבון טיפוסי יכול לייצג במדויק, בלי שגיאות עיגול.