Calculateur de pH de Henderson-Hasselbalch

Introduction

Le calculateur de pH de Henderson-Hasselbalch est un outil essentiel pour les chimistes, biochimistes et étudiants en biologie travaillant avec des solutions tampons et des équilibres acido-basiques. Ce calculateur applique l'équation de Henderson-Hasselbalch pour déterminer le pH d'une solution tampon en fonction de la constante d'acidité (pKa) et des concentrations relatives d'un acide et de sa base conjuguée. Comprendre et calculer le pH des tampons est crucial dans diverses procédures de laboratoire, l'analyse des systèmes biologiques et les formulations pharmaceutiques où le maintien d'un pH stable est essentiel pour les réactions chimiques ou les processus biologiques.

Les solutions tampons résistent aux changements de pH lorsque de petites quantités d'acide ou de base sont ajoutées, ce qui les rend inestimables dans les milieux expérimentaux et les systèmes vivants. L'équation de Henderson-Hasselbalch fournit une relation mathématique qui permet aux scientifiques de prédire le pH des solutions tampons et de concevoir des tampons avec des valeurs de pH spécifiques pour diverses applications.

L'équation de Henderson-Hasselbalch

L'équation de Henderson-Hasselbalch s'exprime comme suit :

$\text{pH} = \text{pKa} + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)$

Où :

• pH est le logarithme négatif de la concentration en ions hydrogène
• pKa est le logarithme négatif de la constante d'acidité (Ka)
• [A⁻] est la concentration molaire de la base conjuguée
• [HA] est la concentration molaire de l'acide non dissocié

Comprendre les variables

pKa (Constante d'acidité)

Le pKa est une mesure de la force d'un acide—spécifiquement, sa tendance à donner un proton. Il est défini comme le logarithme négatif de la constante d'acidité (Ka) :

$\text{pKa} = -\log_{10}(\text{Ka})$

La valeur de pKa est cruciale car :

• Elle détermine la plage de pH où un tampon est le plus efficace
• Un tampon fonctionne mieux lorsque le pH est dans un intervalle de ±1 unité du pKa
• Chaque acide a une valeur de pKa caractéristique qui dépend de sa structure moléculaire

Concentration de la base conjuguée [A⁻]

Ceci représente la concentration de la forme déprotonée de l'acide, qui a accepté un proton. Par exemple, dans un tampon acide acétique/acétate, l'ion acétate (CH₃COO⁻) est la base conjuguée.

Concentration de l'acide [HA]

C'est la concentration de la forme non dissociée (protonée) de l'acide. Dans un tampon acide acétique/acétate, l'acide acétique (CH₃COOH) est l'acide non dissocié.

Cas spéciaux et conditions limites

1. Concentrations égales : Lorsque [A⁻] = [HA], le terme logarithmique devient log(1) = 0, et pH = pKa. C'est un principe clé dans la préparation des tampons.

2. Concentrations très faibles : L'équation reste valide pour des solutions très diluées, mais d'autres facteurs comme l'auto-ionisation de l'eau peuvent devenir significatifs à des concentrations extrêmement faibles.

3. Effets de la température : La valeur de pKa peut varier avec la température, affectant le pH calculé. La plupart des valeurs de pKa standard sont rapportées à 25°C.

4. Force ionique : Une forte force ionique peut affecter les coefficients d'activité et altérer le pKa effectif, en particulier dans des solutions non idéales.

Comment utiliser le calculateur de Henderson-Hasselbalch

Notre calculateur simplifie le processus de détermination du pH de votre solution tampon en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch. Suivez ces étapes pour calculer le pH de votre solution tampon :

1. Entrez la valeur de pKa de votre acide dans le premier champ de saisie

   • Cette valeur peut être trouvée dans des livres de référence en chimie ou des bases de données en ligne
   • Des valeurs de pKa courantes sont fournies dans le tableau de référence ci-dessous

2. Saisissez la concentration de la base conjuguée [A⁻] en mol/L (molaire)

   • Il s'agit généralement de la concentration de la forme de sel (par exemple, acétate de sodium)

3. Saisissez la concentration de l'acide [HA] en mol/L (molaire)

   • Il s'agit de la concentration de l'acide non dissocié (par exemple, acide acétique)

4. Le calculateur va calculer automatiquement le pH en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch

   • Le résultat est affiché avec deux décimales pour plus de précision

5. Vous pouvez copier le résultat en utilisant le bouton de copie pour l'utiliser dans des rapports ou d'autres calculs

6. La visualisation de la capacité tampon montre comment la capacité tampon varie avec le pH, avec la capacité maximale au niveau de pKa

Validation des entrées

Le calculateur effectue les vérifications suivantes sur les entrées utilisateur :

• Toutes les valeurs doivent être des nombres positifs
• La valeur de pKa doit être fournie
• Les concentrations d'acide et de base conjuguée doivent être supérieures à zéro

Si des entrées non valides sont détectées, des messages d'erreur vous guideront pour corriger les valeurs avant que le calcul ne progresse.

Cas d'utilisation du calculateur de Henderson-Hasselbalch

L'équation de Henderson-Hasselbalch et ce calculateur ont de nombreuses applications dans diverses disciplines scientifiques :

1. Préparation de tampons en laboratoire

Les chercheurs ont souvent besoin de préparer des solutions tampons avec des valeurs de pH spécifiques pour des expériences. En utilisant le calculateur de Henderson-Hasselbalch :

• Exemple : Pour préparer un tampon phosphate à pH 7,2 en utilisant un phosphate avec pKa = 7,0 :
  1. Entrez pKa = 7,0
  2. Réorganisez l'équation pour trouver le rapport [A⁻]/[HA] nécessaire :
     • 7,2 = 7,0 + log([A⁻]/[HA])
     • log([A⁻]/[HA]) = 0,2
     • [A⁻]/[HA] = 10^0,2 = 1,58
  3. Choisissez des concentrations avec ce rapport, comme [A⁻] = 0,158 M et [HA] = 0,100 M

2. Recherche biochimique

Les systèmes tampons sont cruciaux en biochimie pour maintenir un pH optimal pour l'activité enzymatique :

• Exemple : Étudier une enzyme avec une activité optimale à pH 5,5 en utilisant un tampon acétate (pKa = 4,76) :
  1. Entrez pKa = 4,76
  2. Calculez le rapport requis : [A⁻]/[HA] = 10^(5,5-4,76) = 10^0,74 = 5,5
  3. Préparez un tampon avec [acétate] = 0,055 M et [acide acétique] = 0,010 M

3. Formulations pharmaceutiques

La stabilité et la solubilité des médicaments dépendent souvent du maintien de conditions de pH spécifiques :

• Exemple : Un médicament nécessite un pH de 6,8 pour sa stabilité. En utilisant un tampon HEPES (pKa = 7,5) :
  1. Entrez pKa = 7,5
  2. Calculez le rapport requis : [A⁻]/[HA] = 10^(6,8-7,5) = 10^(-0,7) = 0,2
  3. Formulez avec [HEPES⁻] = 0,02 M et [HEPES] = 0,10 M

4. Analyse du pH sanguin

Le système tampon bicarbonate est le principal tampon de pH dans le sang humain :

• Exemple : Analyser le pH sanguin en utilisant le système bicarbonate (pKa = 6,1) :
  1. Le pH normal du sang est d'environ 7,4
  2. Le rapport [HCO₃⁻]/[H₂CO₃] = 10^(7,4-6,1) = 10^1,3 = 20
  3. Cela explique pourquoi le sang normal a environ 20 fois plus de bicarbonate que d'acide carbonique

5. Tests de l'eau environnementale

Les cours d'eau naturels contiennent des systèmes tampons qui aident à maintenir l'équilibre écologique :

• Exemple : Analyser un lac avec un pH de 6,5 contenant des tampons carbonates (pKa = 6,4) :
  1. Entrez pKa = 6,4
  2. Le rapport [A⁻]/[HA] = 10^(6,5-6,4) = 10^0,1 = 1,26
  3. Cela indique légèrement plus d'espèces basiques que d'acides, aidant à résister à l'acidification

Alternatives à l'équation de Henderson-Hasselbalch

Bien que l'équation de Henderson-Hasselbalch soit largement utilisée pour les calculs de tampons, il existe des approches alternatives pour la détermination du pH :

1. Mesure directe du pH : L'utilisation d'un pH-mètre calibré fournit des lectures de pH réelles plutôt que des valeurs calculées, tenant compte de tous les composants de la solution.

2. Calculs d'équilibre complets : Pour des systèmes complexes avec plusieurs équilibres, il peut être nécessaire de résoudre l'ensemble complet d'équations d'équilibre.

3. Méthodes numériques : Les programmes informatiques qui tiennent compte des coefficients d'activité, des équilibres multiples et des effets de température peuvent fournir des prévisions de pH plus précises pour des solutions non idéales.

4. Méthode de Gran Plot : Cette méthode graphique peut être utilisée pour déterminer les points d'équivalence dans les titrations et calculer la capacité tampon.

5. Logiciels de simulation : Des programmes comme PHREEQC ou Visual MINTEQ peuvent modéliser des équilibres chimiques complexes, y compris le pH dans des systèmes environnementaux et géologiques.

Histoire de l'équation de Henderson-Hasselbalch

Le développement de l'équation de Henderson-Hasselbalch représente une étape importante dans notre compréhension de la chimie acido-basique et des solutions tampons.

Lawrence Joseph Henderson (1878-1942)

En 1908, le biochimiste et physiologiste américain Lawrence J. Henderson a d'abord formulé la relation mathématique entre le pH, le pKa et le rapport de base conjuguée à l'acide en étudiant le rôle de l'acide carbonique/bicarbonate comme tampon dans le sang. L'équation originale de Henderson était :

$[\text{H}^+] = \text{Ka} \times \frac{[\text{HA}]}{[\text{A}^-]}$

Le travail de Henderson a été révolutionnaire en expliquant comment le sang maintient son pH malgré l'ajout constant de produits métaboliques acides.

Karl Albert Hasselbalch (1874-1962)

En 1916, le médecin et chimiste danois Karl Albert Hasselbalch a reformulé l'équation de Henderson en utilisant le concept de pH nouvellement développé (introduit par Sørensen en 1909) et des termes logarithmiques, créant la forme moderne de l'équation :

$\text{pH} = \text{pKa} + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)$

La contribution de Hasselbalch a rendu l'équation plus pratique pour une utilisation en laboratoire et des applications cliniques, en particulier dans la compréhension de la régulation du pH sanguin.

Évolution et impact

L'équation de Henderson-Hasselbalch est devenue un pilier de la chimie acido-basique, de la biochimie et de la physiologie :

• Années 1920-1930 : L'équation est devenue fondamentale pour comprendre les systèmes tampons physiologiques et les troubles acido-basiques.
• Années 1940-1950 : Application généralisée dans la recherche biochimique alors que l'importance du pH dans la fonction enzymatique était reconnue.
• Années 1960-présent : Incorporation dans la chimie analytique moderne, les sciences pharmaceutiques et les études environnementales.

Aujourd'hui, l'équation reste essentielle dans des domaines allant de la médecine aux sciences environnementales, aidant les scientifiques à concevoir des systèmes tampons, à comprendre la régulation du pH physiologique et à analyser les troubles acido-basiques dans des contextes cliniques.

Systèmes tampons courants et leurs valeurs de pKa

Exemples de code

Voici des implémentations de l'équation de Henderson-Hasselbalch dans divers langages de programmation :

1' Formule Excel pour l'équation de Henderson-Hasselbalch
2=pKa + LOG10(base_concentration/acid_concentration)
3
4' Exemple au format de cellule :
5' A1 : valeur de pKa (par exemple, 4,76)
6' A2 : Concentration de la base [A-] (par exemple, 0,1)
7' A3 : Concentration de l'acide [HA] (par exemple, 0,05)
8' Formule dans A4 : =A1 + LOG10(A2/A3)
9

1import math
2
3def calculate_ph(pKa, base_concentration, acid_concentration):
4    """
5    Calculer le pH en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch
6    
7    Paramètres :
8    pKa (float) : Constante d'acidité
9    base_concentration (float) : Concentration de la base conjuguée [A-] en mol/L
10    acid_concentration (float) : Concentration de l'acide [HA] en mol/L
11    
12    Retourne :
13    float : valeur de pH
14    """
15    if acid_concentration <= 0 or base_concentration <= 0:
16        raise ValueError("Les concentrations doivent être des valeurs positives")
17    
18    ratio = base_concentration / acid_concentration
19    pH = pKa + math.log10(ratio)
20    return pH
21
22# Exemple d'utilisation :
23try:
24    pKa = 4.76  # Acide acétique
25    base_conc = 0.1  # Concentration d'acétate (mol/L)
26    acid_conc = 0.05  # Concentration d'acide acétique (mol/L)
27    
28    pH = calculate_ph(pKa, base_conc, acid_conc)
29    print(f"Le pH de la solution tampon est : {pH:.2f}")
30except ValueError as e:
31    print(f"Erreur : {e}")
32

1/**
2 * Calculer le pH en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch
3 * @param {number} pKa - Constante d'acidité
4 * @param {number} baseConcentration - Concentration de la base conjuguée [A-] en mol/L
5 * @param {number} acidConcentration - Concentration de l'acide [HA] en mol/L
6 * @returns {number} valeur de pH
7 */
8function calculatePH(pKa, baseConcentration, acidConcentration) {
9  // Valider les entrées
10  if (acidConcentration <= 0 || baseConcentration <= 0) {
11    throw new Error("Les concentrations doivent être des valeurs positives");
12  }
13  
14  const ratio = baseConcentration / acidConcentration;
15  const pH = pKa + Math.log10(ratio);
16  return pH;
17}
18
19// Exemple d'utilisation :
20try {
21  const pKa = 7.21; // Tampon phosphate
22  const baseConc = 0.15; // Concentration de l'ion phosphate (mol/L)
23  const acidConc = 0.10; // Concentration d'acide phosphorique (mol/L)
24  
25  const pH = calculatePH(pKa, baseConc, acidConc);
26  console.log(`Le pH de la solution tampon est : ${pH.toFixed(2)}`);
27} catch (error) {
28  console.error(`Erreur : ${error.message}`);
29}
30

1public class HendersonHasselbalchCalculator {
2    /**
3     * Calculer le pH en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch
4     * 
5     * @param pKa Constante d'acidité
6     * @param baseConcentration Concentration de la base conjuguée [A-] en mol/L
7     * @param acidConcentration Concentration de l'acide [HA] en mol/L
8     * @return valeur de pH
9     * @throws IllegalArgumentException si les concentrations ne sont pas positives
10     */
11    public static double calculatePH(double pKa, double baseConcentration, double acidConcentration) {
12        if (acidConcentration <= 0 || baseConcentration <= 0) {
13            throw new IllegalArgumentException("Les concentrations doivent être des valeurs positives");
14        }
15        
16        double ratio = baseConcentration / acidConcentration;
17        double pH = pKa + Math.log10(ratio);
18        return pH;
19    }
20    
21    public static void main(String[] args) {
22        try {
23            double pKa = 6.15; // Tampon MES
24            double baseConc = 0.08; // Concentration de la base conjuguée (mol/L)
25            double acidConc = 0.12; // Concentration de l'acide (mol/L)
26            
27            double pH = calculatePH(pKa, baseConc, acidConc);
28            System.out.printf("Le pH de la solution tampon est : %.2f%n", pH);
29        } catch (IllegalArgumentException e) {
30            System.err.println("Erreur : " + e.getMessage());
31        }
32    }
33}
34

1# Fonction R pour l'équation de Henderson-Hasselbalch
2calculate_ph <- function(pKa, base_concentration, acid_concentration) {
3  # Valider les entrées
4  if (acid_concentration <= 0 || base_concentration <= 0) {
5    stop("Les concentrations doivent être des valeurs positives")
6  }
7  
8  ratio <- base_concentration / acid_concentration
9  pH <- pKa + log10(ratio)
10  return(pH)
11}
12
13# Exemple d'utilisation :
14pKa <- 8.06  # Tampon Tris
15base_conc <- 0.2  # Concentration de la base conjuguée (mol/L)
16acid_conc <- 0.1  # Concentration de l'acide (mol/L)
17
18tryCatch({
19  pH <- calculate_ph(pKa, base_conc, acid_conc)
20  cat(sprintf("Le pH de la solution tampon est : %.2f\n", pH))
21}, error = function(e) {
22  cat(sprintf("Erreur : %s\n", e$message))
23})
24

1function pH = calculateHendersonHasselbalchPH(pKa, baseConcentration, acidConcentration)
2    % Calculer le pH en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch
3    %
4    % Entrées :
5    %   pKa - Constante d'acidité
6    %   baseConcentration - Concentration de la base conjuguée [A-] en mol/L
7    %   acidConcentration - Concentration de l'acide [HA] en mol/L
8    %
9    % Sortie :
10    %   pH - valeur de pH de la solution tampon
11    
12    % Valider les entrées
13    if acidConcentration <= 0 || baseConcentration <= 0
14        error('Les concentrations doivent être des valeurs positives');
15    end
16    
17    ratio = baseConcentration / acidConcentration;
18    pH = pKa + log10(ratio);
19end
20
21% Exemple d'utilisation :
22try
23    pKa = 9.24;  % Tampon Borate
24    baseConc = 0.15;  % Concentration de la base conjuguée (mol/L)
25    acidConc = 0.05;  % Concentration de l'acide (mol/L)
26    
27    pH = calculateHendersonHasselbalchPH(pKa, baseConc, acidConc);
28    fprintf('Le pH de la solution tampon est : %.2f\n', pH);
29catch ME
30    fprintf('Erreur : %s\n', ME.message);
31end
32

Questions Fréquemment Posées

À quoi sert l'équation de Henderson-Hasselbalch ?

L'équation de Henderson-Hasselbalch est utilisée pour calculer le pH des solutions tampons en fonction du pKa de l'acide et des concentrations de l'acide et de sa base conjuguée. Elle est essentielle pour préparer des solutions tampons avec des valeurs de pH spécifiques dans des environnements de laboratoire, comprendre la régulation du pH physiologique et analyser les troubles acido-basiques en médecine clinique.

Quand une solution tampon est-elle la plus efficace ?

Une solution tampon est la plus efficace lorsque le pH est dans un intervalle de ±1 unité de la valeur de pKa du composant acide. À cette plage, il y a des quantités significatives d'acide et de base conjuguée présentes, permettant à la solution de neutraliser les ajouts d'acide ou de base. La capacité tampon maximale se produit exactement à pH = pKa, où les concentrations d'acide et de base conjuguée sont égales.

Comment choisir le bon tampon pour mon expérience ?

Choisissez un tampon avec une valeur de pKa proche de votre pH cible (idéalement dans un intervalle de ±1 unité). Considérez des facteurs supplémentaires tels que :

• La stabilité de la température du tampon
• La compatibilité avec les systèmes biologiques si pertinent
• Une interférence minimale avec les processus chimiques ou biologiques étudiés
• La solubilité à la concentration requise
• Une interaction minimale avec les ions métalliques ou d'autres composants de votre système

L'équation de Henderson-Hasselbalch peut-elle être utilisée pour des acides polyprotiques ?

Oui, mais avec des modifications. Pour les acides polyprotiques (ceux ayant plusieurs protons dissociables), chaque étape de dissociation a sa propre valeur de pKa. L'équation de Henderson-Hasselbalch peut être appliquée séparément pour chaque étape de dissociation, en considérant les espèces acides et de base conjuguée appropriées pour cette étape. Pour des systèmes complexes, il peut être nécessaire de résoudre simultanément plusieurs équations d'équilibre.

Comment la température affecte-t-elle le pH des tampons ?

La température affecte le pH des tampons de plusieurs manières :

1. La valeur de pKa d'un acide change avec la température
2. L'auto-ionisation de l'eau (Kw) dépend de la température
3. Les coefficients d'activité des ions varient avec la température

En général, pour la plupart des tampons courants, le pH diminue à mesure que la température augmente. Cet effet doit être pris en compte lors de la préparation de tampons pour des applications sensibles à la température. Certains tampons (comme le phosphate) sont plus sensibles à la température que d'autres (comme le HEPES).

Qu'est-ce que la capacité tampon et comment est-elle calculée ?

La capacité tampon (β) est une mesure de la résistance d'une solution tampon au changement de pH lorsque des acides ou des bases sont ajoutés. Elle est définie comme la quantité d'acide ou de base forte nécessaire pour changer le pH d'une unité, divisée par le volume de la solution tampon :

$\beta = \frac{\text{moles de H}^+ \text{ ou OH}^- \text{ ajoutées}}{\text{changement de pH} \times \text{volume en litres}}$

Théoriquement, la capacité tampon peut être calculée comme suit :

$\beta = 2.303 \times \frac{K_a \times [\text{HA}] \times [\text{A}^-]}{(K_a + [\text{H}^+])^2}$

La capacité tampon est la plus élevée lorsque pH = pKa, où [HA] = [A⁻].

Comment préparer un tampon avec un pH spécifique en utilisant l'équation de Henderson-Hasselbalch ?

Pour préparer un tampon avec un pH spécifique :

1. Choisissez un acide approprié avec un pKa proche de votre pH cible
2. Réorganisez l'équation de Henderson-Hasselbalch pour trouver le rapport de base conjuguée à l'acide : [A⁻]/[HA] = 10^(pH-pKa)
3. Décidez de la concentration totale de tampon nécessaire
4. Calculez les concentrations individuelles d'acide et de base conjuguée en utilisant :
   • [A⁻] = (concentration totale) × rapport/(1+rapport)
   • [HA] = (concentration totale) × 1/(1+rapport)
5. Préparez la solution en mélangeant les quantités appropriées d'acide et de son sel (base conjuguée)

La force ionique affecte-t-elle le calcul de Henderson-Hasselbalch ?

Oui, la force ionique affecte les coefficients d'activité des ions en solution, ce qui peut altérer les valeurs de pKa effectives et les calculs de pH qui en résultent. L'équation de Henderson-Hasselbalch suppose un comportement idéal, ce qui est approximativement vrai uniquement dans des solutions diluées. Dans des solutions à forte force ionique, les coefficients d'activité doivent être pris en compte pour des calculs plus précis. Cela est particulièrement important dans les fluides biologiques et les applications industrielles où la force ionique peut être significative.

L'équation de Henderson-Hasselbalch peut-elle être utilisée pour des solutions très diluées ?

L'équation reste mathématiquement valide pour des solutions diluées, mais des limitations pratiques apparaissent :

1. À des concentrations très faibles, les impuretés peuvent affecter significativement le pH
2. L'auto-ionisation de l'eau devient relativement plus importante
3. La précision de la mesure devient difficile
4. Le CO₂ de l'air peut facilement affecter les solutions diluées mal tamponnées

Pour des solutions extrêmement diluées (en dessous d'environ 0,001 M), il faut considérer ces facteurs lors de l'interprétation des valeurs de pH calculées.

Comment l'équation de Henderson-Hasselbalch se rapporte-t-elle aux courbes de titration ?

L'équation de Henderson-Hasselbalch décrit des points le long d'une courbe de titration pour un acide ou une base faible. Spécifiquement :

• Au point d'équivalence moitié de la titration, [A⁻] = [HA], et pH = pKa
• La région tampon de la courbe de titration (la portion plus plate) correspond aux valeurs de pH dans un intervalle d'environ ±1 unité de pKa
• L'équation aide à prédire la forme de la courbe de titration et le pH à divers points pendant la titration

Comprendre cette relation est précieux pour concevoir des expériences de titration et interpréter les données de titration.

Références

1. Henderson, L.J. (1908). "Concerning the relationship between the strength of acids and their capacity to preserve neutrality." American Journal of Physiology, 21(2), 173-179.

2. Hasselbalch, K.A. (1916). "Die Berechnung der Wasserstoffzahl des Blutes aus der freien und gebundenen Kohlensäure desselben, und die Sauerstoffbindung des Blutes als Funktion der Wasserstoffzahl." Biochemische Zeitschrift, 78, 112-144.

3. Po, H.N., & Senozan, N.M. (2001). "The Henderson-Hasselbalch Equation: Its History and Limitations." Journal of Chemical Education, 78(11), 1499-1503.

4. Good, N.E., et al. (1966). "Hydrogen Ion Buffers for Biological Research." Biochemistry, 5(2), 467-477.

5. Beynon, R.J., & Easterby, J.S. (1996). "Buffer Solutions: The Basics." Oxford University Press.

6. Martell, A.E., & Smith, R.M. (1974-1989). "Critical Stability Constants." Plenum Press.

7. Ellison, S.L.R., & Williams, A. (2012). "Eurachem/CITAC Guide: Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement." 3rd Edition.

8. Segel, I.H. (1976). "Biochemical Calculations: How to Solve Mathematical Problems in General Biochemistry." 2nd Edition, John Wiley & Sons.

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