शंकु आयतन कैलकुलेटर - शंकु और फ्रस्टम आयतन की गणना करें

शंकु का आयतन कैलकुलेटर क्या है?

शंकु का आयतन कैलकुलेटर उसकी त्रिज्या और ऊँचाई से शंकु या कटे हुए शंकु (फ्रस्टम) का आयतन ज्ञात करता है। शंकु एक ठोस आकृति है जिसका एक समतल, वृत्ताकार आधार होता है और जो शीर्ष कहलाने वाले एक बिंदु तक धीरे-धीरे संकरा होता जाता है। फ्रस्टम शंकु का वह भाग है जो आधार के समानांतर काट द्वारा ऊपरी हिस्सा काट दिए जाने के बाद बचता है; इसमें एक के बजाय दो वृत्ताकार पृष्ठ होते हैं।

शंकु के आयतन का सूत्र

पूर्ण शंकु का आयतन उसके आधार की त्रिज्या और ऊँचाई पर निर्भर करता है।

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V शंकु का आयतन है।
• r वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है।
• h ऊँचाई है, जिसे आधार से शीर्ष तक सीधा मापा जाता है।
• π (पाई) लगभग 3.14159 है।

हल किया गया उदाहरण

3 इकाई की आधार-त्रिज्या और 4 इकाई की ऊँचाई वाले शंकु का आयतन यह है:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.70 घन इकाई

कैलकुलेटर से शंकु का आयतन कैसे ज्ञात करें

कैलकुलेटर में तीन मान दर्ज किए जाते हैं:

1. त्रिज्या — आधार की त्रिज्या।
2. ऊँचाई — शंकु की आधार से शीर्ष तक की ऊँचाई।
3. आधार से काट की ऊँचाई (वैकल्पिक) — यदि ऊपरी हिस्सा काट दिया जाए, तो आधार से ऊपर काट की दूरी।

काट की ऊँचाई खाली छोड़ने या 0 दर्ज करने पर पूरे, बिना काटे गए शंकु का आयतन मिलता है। पूर्ण ऊँचाई से कम काट की ऊँचाई दर्ज करने पर काट के नीचे वाले फ्रस्टम का आयतन मिलता है। इनपुट के नीचे दिया गया चित्र आकृति पर इन्हीं तीन मापों को दर्शाता है।

कैलकुलेटर ऐसी त्रिज्या या ऊँचाई अस्वीकार कर देता है जो शून्य, ऋणात्मक, खाली हो या सामान्य संख्या के रूप में संभालने के लिए बहुत बड़ी हो। ऐसे मामलों में आयतन के बजाय एक सूचना दिखाई जाती है, इसलिए यह कभी मनगढ़ंत मान प्रदर्शित नहीं करता।

कटे हुए शंकु (फ्रस्टम) के आयतन का सूत्र

फ्रस्टम का आयतन उसके दो वृत्ताकार पृष्ठों की त्रिज्याओं और उसकी अपनी ऊँचाई पर निर्भर करता है।

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R बड़े, निचले पृष्ठ की त्रिज्या है।
• r छोटे, ऊपरी पृष्ठ की त्रिज्या है।
• h फ्रस्टम की ऊँचाई है, जिसे दोनों पृष्ठों के बीच मापा जाता है।

कैलकुलेटर ऊपरी त्रिज्या सीधे नहीं पूछता। इसके बजाय, यह आधार-त्रिज्या, बिना काटे जाने पर शंकु की ऊँचाई और काट की ऊँचाई लेता है। फिर समरूप त्रिभुजों का उपयोग करके ऊपरी त्रिज्या ज्ञात करता है:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

जहाँ c आधार से ऊपर काट की ऊँचाई है और f बिना काटे गए शंकु की पूर्ण ऊँचाई है।

हल किया गया उदाहरण

मान लें कि आधार-त्रिज्या 3 इकाई, पूर्ण (बिना काटे गए) शंकु की ऊँचाई 12 इकाई और काट की ऊँचाई 4 इकाई है।

ऊपरी त्रिज्या = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 इकाई

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79.59 घन इकाई

यदि काट की ऊँचाई पूर्ण ऊँचाई के बराबर या उससे अधिक हो, तो काट शीर्ष पर या उससे ऊपर होती है, इसलिए कुछ भी नहीं हटता। तब कैलकुलेटर पूरे शंकु का आयतन देता है और चित्र में पूरा शंकु बनाया जाता है।

शंकु के आयतन के सूत्र का इतिहास

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले शंकु के आयतन का संबंध बेलन के आयतन से जोड़ा। पाँचवीं 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व के उत्तरार्ध में सक्रिय डेमोक्रिटस को इस दावे का श्रेय दिया जाता है कि शंकु का आयतन उसी आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है। उन्होंने इसका प्रमाण नहीं दिया। अगले शताब्दी में कार्य करने वाले नाइडस के यूडोक्सस ने exhaustion method नामक तकनीक से पहला कठोर प्रमाण दिया; यह समाकलन कलन का प्रारंभिक पूर्वज था। तब से सूत्र V = (1/3)πr²h अपरिवर्तित रहा है।

शंकु के आयतन की गणनाओं के उपयोग

जब भी कोई आकृति चौड़े आधार से किसी बिंदु या छोटे ऊपरी भाग की ओर संकरी होती है, तब शंकु और फ्रस्टम के आयतन काम आते हैं। अभियंता शंक्वाकार टंकियों, हॉपरों और कीपों के आकार निर्धारित करने के लिए इन सूत्रों का उपयोग करते हैं। वास्तुकार शंक्वाकार छतों के लिए आवश्यक सामग्री का अनुमान लगाने हेतु इनका उपयोग करते हैं। भूविज्ञानी ज्वालामुखीय शंकुओं और समान भू-आकृतियों का आयतन अनुमानित करने के लिए इनका उपयोग करते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

शंकु का आयतन कैसे ज्ञात करते हैं?

π को त्रिज्या के वर्ग से गुणा करें, प्राप्त परिणाम को ऊँचाई से गुणा करें, फिर 3 से भाग दें: V = (1/3)πr²h। 5 सें॰मी॰ त्रिज्या और 10 सें॰मी॰ ऊँचाई वाले शंकु का आयतन लगभग 261.80 घन सेंटीमीटर है।

कटे हुए शंकु (फ्रस्टम) का सूत्र क्या है?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), जहाँ R और r दोनों वृत्ताकार पृष्ठों की त्रिज्याएँ हैं और h फ्रस्टम की अपनी ऊँचाई है, जिसे उन पृष्ठों के बीच मापा जाता है।

कैलकुलेटर फ्रस्टम की ऊपरी त्रिज्या कैसे ज्ञात करता है?

यह समरूप त्रिभुजों का उपयोग करता है। ऊपरी त्रिज्या, आधार-त्रिज्या को (1 − काट की ऊँचाई ÷ पूर्ण शंकु की ऊँचाई) से गुणा करने के बराबर होती है। यह मानता है कि फ्रस्टम सीधी भुजाओं वाले शंकु से बना है।

यदि काट की ऊँचाई ऊँचाई से अधिक या उसके बराबर हो तो क्या होता है?

कैलकुलेटर आकृति को पूरे, बिना काटे गए शंकु के रूप में मानता है और दर्ज की गई त्रिज्या तथा ऊँचाई का उपयोग करके V = (1/3)πr²h देता है।

यदि त्रिज्या या ऊँचाई शून्य या ऋणात्मक हो तो क्या होता है?

कैलकुलेटर में त्रिज्या और ऊँचाई दोनों का शून्य से अधिक होना आवश्यक है। यदि इनमें से कोई शून्य, ऋणात्मक, खाली या सामान्य संख्या के रूप में संभालने के लिए बहुत बड़ा हो, तो आयतन के बजाय एक सूचना दिखाई जाती है।

त्रिज्या के बजाय व्यास से शंकु का आयतन कैसे ज्ञात करें?

त्रिज्या प्राप्त करने के लिए व्यास को 2 से भाग दें, फिर सामान्य रूप से V = (1/3)πr²h लागू करें।

संदर्भ

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Wolfram का वेब संसाधन। https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Wolfram का वेब संसाधन। https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html