कोणीय अनुभाग कैलकुलेटर - वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय

शंकु परिच्छेद कैलकुलेटर क्या है?

शंकु परिच्छेद कैलकुलेटर कुछ मापों से वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय की उत्केन्द्रता और मानक समीकरण ज्ञात करता है। ये चारों वक्र तब बनते हैं, जब कोई समतल विभिन्न कोणों पर किसी शंकु को काटता है।

चार शंकु परिच्छेद

शंकु को आर-पार सीधा काटने पर वृत्त बनता है। समतल को झुकाने पर दीर्घवृत्त बनता है। शंकु की पार्श्व रेखा के समानांतर काटने पर परवलय बनता है। दोहरे शंकु के दोनों भागों से होकर काटने पर अतिपरवलय बनता है।

प्रत्येक वक्र की एक उत्केन्द्रता होती है, जो यह दर्शाने वाली संख्या है कि वह पूर्ण वृत्त से कितना भिन्न है।

• वृत्त: $e = 0$
• दीर्घवृत्त: $0 < e < 1$
• परवलय: $e = 1$
• अतिपरवलय: $e > 1$

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. शंकु परिच्छेद का प्रकार चुनें: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय।
2. आवश्यक माप दर्ज करें।
   • वृत्त: त्रिज्या ($r$)
   • दीर्घवृत्त: अर्ध-दीर्घ-अक्ष ($a$) और अर्ध-लघु-अक्ष ($b$)
   • परवलय: नाभीय लंबाई ($f$)
   • अतिपरवलय: अनुप्रस्थ अक्ष का अर्धांश ($a$) और संयुग्म अक्ष का अर्धांश ($b$)
3. चुने गए शंकु परिच्छेद के लिए मान्य, धनात्मक इनपुट दर्ज करते ही उत्केन्द्रता और मानक समीकरण अपने-आप दिखाई देते हैं; क्लिक करने के लिए कोई गणना करें बटन नहीं है।
4. परिणामों के नीचे वक्र का ग्राफ बनाया जाता है।

कैलकुलेटर दर्ज की गई संख्याओं को समीकरण में पहले से रखकर दिखाता है, इसलिए $a = 5$ और $b = 3$ वाले दीर्घवृत्त को $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$ के रूप में दिखाया जाता है। यह $x^2/25 + y^2/9 = 1$ के समान ही समीकरण है। उत्केन्द्रता चार दशमलव स्थानों तक दिखाई जाती है।

सभी इनपुट धनात्मक संख्याएँ होने चाहिए। दीर्घवृत्त के लिए अर्ध-दीर्घ-अक्ष की लंबाई अर्ध-लघु-अक्ष से कम-से-कम उतनी होनी चाहिए, क्योंकि अर्ध-दीर्घ-अक्ष को लंबी अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतिपरवलय के लिए ऐसा कोई नियम नहीं है: इसके अर्ध-आनुप्रस्थ-अक्ष और अर्ध-संयुग्मी-अक्ष की लंबाइयाँ समान भी हो सकती हैं और कोई भी धनात्मक लंबाई हो सकती हैं।

वृत्त का सूत्र

मूलबिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के लिए:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

उत्केन्द्रता: $e = 0$।

वृत्त दीर्घवृत्त का विशेष रूप है, जिसमें दोनों अक्षों की लंबाई समान होती है और दोनों नाभियाँ केंद्र पर स्थित होती हैं।

दीर्घवृत्त का सूत्र

मूलबिंदु पर केंद्रित ऐसे दीर्घवृत्त के लिए, जिसका अर्ध-दीर्घ-अक्ष $a$ और अर्ध-लघु-अक्ष $b$ है, जहाँ $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

उदाहरण: $a = 5$, $b = 3$।

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

समीकरण: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

जब $a = b$ हो, तो दीर्घवृत्त वृत्त बन जाता है और $e = 0$।

परवलय का सूत्र

दाईं ओर खुलने वाले ऐसे परवलय के लिए, जिसकी नाभीय लंबाई $f$ है (शीर्ष से नाभि तक की दूरी):

$$y^2 = 4fx$$

उत्केन्द्रता: $e = 1$, हमेशा।

उदाहरण: $f = 2$। समीकरण: $y^2 = 8x$।

अतिपरवलय का सूत्र

मूलबिंदु पर केंद्रित ऐसे अतिपरवलय के लिए, जिसका अर्ध-आनुप्रस्थ-अक्ष $a$ और अर्ध-संयुग्मी-अक्ष $b$ है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी धनात्मक संख्याएँ हैं:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

अनुप्रस्थ अक्ष का अर्धांश $a$ उन दोनों शीर्षों के बीच की दूरी का आधा है, जहाँ वक्र मुड़ता है। संयुग्म अक्ष का अर्धांश $b$, संयुग्म अक्ष की लंबाई का आधा है; यह केंद्र से होकर उसके समकोण पर खींचा गया रेखाखंड होता है। यह निर्धारित करता है कि शाखाएँ कितनी तेजी से बाहर की ओर खुलती हैं।

दीर्घवृत्त के विपरीत, अतिपरवलय में $a$ का $b$ से बड़ा होना आवश्यक नहीं है। दोनों लंबाइयाँ स्वतंत्र होती हैं, इसलिए $b$, $a$ से छोटी, उसके बराबर या उससे बड़ी हो सकती है। जब $a = b$ हो, तो वक्र को आयताकार अतिपरवलय कहा जाता है, जिसकी उत्केन्द्रता $\sqrt{2} \approx 1.4142$ होती है।

उदाहरण: $a = 5$, $b = 3$।

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

समीकरण: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

वास्तविक जीवन में शंकु परिच्छेदों के उपयोग

ग्रह और धूमकेतु शंकु परिच्छेदों के आकार वाली कक्षाओं में चलते हैं। केप्लर का पहला नियम कहता है कि किसी ग्रह की कक्षा दीर्घवृत्ताकार होती है और सूर्य उसकी एक नाभि पर स्थित होता है। कुछ धूमकेतु परवलयी या अतिपरवलयी पथों का अनुसरण करते हैं और कभी वापस नहीं लौटते।

परवलय समांतर किरणों को एक बिंदु पर केंद्रित करते हैं, इसलिए अभियंता उपग्रह डिश, दूरबीन के दर्पण और कार की हेडलाइट में परवलयी आकृतियों का उपयोग करते हैं। अतिपरवलयी वक्र शीतलन टावरों की दीवारों में दिखाई देते हैं, जहाँ यह आकृति कम सामग्री का उपयोग करते हुए मजबूती देती है। मेहराबों, फुसफुसाहट-दीर्घा की छतों और गियर के अभिकल्प में दीर्घवृत्त भी दिखाई देते हैं।

शंकु परिच्छेदों का संक्षिप्त इतिहास

यूनानी गणितज्ञ मेनाक्मस ने घन को दुगुना करने की समस्या हल करने के प्रयास में लगभग 350 ईसा पूर्व शंकु परिच्छेदों का अध्ययन किया। पर्गा के अपोलोनियस ने लगभग 200 ईसा पूर्व Conics नामक विस्तृत ग्रंथ लिखा। उन्होंने दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के नाम दिए और उनके गुणों का वर्णन किया। कई शताब्दियों बाद, योहानेस केप्लर ने ग्रहों की गति का वर्णन करने के लिए दीर्घवृत्त का उपयोग किया और आइज़ैक न्यूटन ने गुरुत्वाकर्षण की व्याख्या करने के लिए शंकु परिच्छेदों का उपयोग किया।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

शंकु परिच्छेदों के चार प्रकार कौन-से हैं?

वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय। प्रत्येक तब बनता है, जब कोई समतल किसी शंकु को अलग-अलग कोणों पर काटता है, और प्रत्येक की उत्केन्द्रता की सीमा अलग होती है।

उत्केन्द्रता की गणना कैसे करते हैं?

वृत्त ($e = 0$) और परवलय ($e = 1$) की उत्केन्द्रता नियत होती है। दीर्घवृत्त के लिए, अर्ध-दीर्घ-अक्ष $a$ और अर्ध-लघु-अक्ष $b$ का उपयोग करते हुए, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$। अतिपरवलय के लिए, अर्ध-आनुप्रस्थ-अक्ष $a$ और अर्ध-संयुग्मी-अक्ष $b$ का उपयोग करते हुए, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$।

क्या अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष के अर्धांश को उसके संयुग्म अक्ष के अर्धांश से लंबा होना चाहिए?

नहीं। दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ-अक्ष और अर्ध-लघु-अक्ष के विपरीत, अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष का अर्धांश ($a$) और संयुग्म अक्ष का अर्धांश ($b$) स्वतंत्र माप होते हैं। दोनों धनात्मक होने चाहिए, लेकिन इनमें से कोई भी लंबा हो सकता है।

क्या दीर्घवृत्त वृत्त बन सकता है?

हाँ। जब अर्ध-दीर्घ-अक्ष अर्ध-लघु-अक्ष के बराबर होता है, तो दीर्घवृत्त वृत्त बन जाता है और उसकी उत्केन्द्रता 0 होती है।

उपग्रह डिश में परवलयी आकृति का उपयोग क्यों किया जाता है?

परवलय अपनी अक्ष के समानांतर चलने वाली किरणों को एकल नाभीय बिंदु पर परावर्तित करता है। उपग्रह डिश और दूरबीन के दर्पण इस गुण का उपयोग संकेतों या प्रकाश को एक स्थान पर केंद्रित करने के लिए करते हैं।

आयताकार अतिपरवलय क्या है?

आयताकार अतिपरवलय वह होता है जिसमें अनुप्रस्थ अक्ष का अर्धांश संयुग्म अक्ष के अर्धांश के बराबर होता है ($a = b$)। इसके अनंतस्पर्शी परस्पर लंबवत होते हैं और इसकी उत्केन्द्रता $\sqrt{2} \approx 1.4142$ होती है।

संदर्भ

1. शंकु परिच्छेद - विकिपीडिया
2. शंकु परिच्छेदों की उत्केन्द्रता - खान अकादमी
3. शंकु परिच्छेद - OpenStax