सरल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफिंग का परिचय

एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर साइन, कोसाइन, टेंजेंट और अन्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को दृश्य रूप में देखने के लिए एक आवश्यक उपकरण है। यह इंटरैक्टिव ग्राफर आपको कस्टमाइज़ेबल पैरामीटर के साथ मानक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को प्लॉट करने की अनुमति देता है, जिससे आप इन महत्वपूर्ण गणितीय संबंधों के मौलिक पैटर्न और व्यवहार को समझ सकते हैं। चाहे आप त्रिकोणमिति सीखने वाले छात्र हों, गणितीय अवधारणाएँ पढ़ाने वाले शिक्षक हों, या चक्रीय घटनाओं के साथ काम करने वाले पेशेवर हों, यह सरल ग्राफिंग उपकरण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का स्पष्ट दृश्य प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

हमारा सरल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों पर केंद्रित है: साइन, कोसाइन और टेंजेंट। आप आसानी से आयाम, आवृत्ति और चरण परिवर्तन जैसे पैरामीटर को समायोजित कर सकते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि ये संशोधन परिणामस्वरूप ग्राफ को कैसे प्रभावित करते हैं। सहज इंटरफ़ेस इसे सभी स्तरों के उपयोगकर्ताओं के लिए सुलभ बनाता है, शुरुआती से लेकर उन्नत गणितज्ञों तक।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को समझना

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मौलिक गणितीय संबंध हैं जो एक समकोण त्रिकोण के पक्षों के अनुपात या एक कोण और इकाई वृत्त पर एक बिंदु के बीच के संबंध का वर्णन करते हैं। ये फ़ंक्शन आवर्ती होते हैं, अर्थात् वे नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराते हैं, जो उन्हें चक्रीय घटनाओं को मॉडलिंग करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी बनाता है।

मूल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन

साइन फ़ंक्शन

साइन फ़ंक्शन, जिसे $\sin(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, एक समकोण त्रिकोण में विपरीत पक्ष और कर्ण के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इकाई वृत्त पर, यह वृत्त पर कोण x पर एक बिंदु के y-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है।

मानक साइन फ़ंक्शन का रूप है:

$f(x) = \sin(x)$

इसके मुख्य गुण शामिल हैं:

डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ
रेंज: [-1, 1]
अवधि: $2\pi$
विषम फ़ंक्शन: $\sin(-x) = -\sin(x)$

कोसाइन फ़ंक्शन

कोसाइन फ़ंक्शन, जिसे $\cos(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, एक समकोण त्रिकोण में निकटवर्ती पक्ष और कर्ण के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इकाई वृत्त पर, यह वृत्त पर कोण x पर एक बिंदु के x-निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है।

मानक कोसाइन फ़ंक्शन का रूप है:

$f(x) = \cos(x)$

इसके मुख्य गुण शामिल हैं:

डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ
रेंज: [-1, 1]
अवधि: $2\pi$
सम फ़ंक्शन: $\cos(-x) = \cos(x)$

टेंजेंट फ़ंक्शन

टेंजेंट फ़ंक्शन, जिसे $\tan(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है, एक समकोण त्रिकोण में विपरीत पक्ष और निकटवर्ती पक्ष के बीच के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इसे साइन और कोसाइन के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

मानक टेंजेंट फ़ंक्शन का रूप है:

$f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

इसके मुख्य गुण शामिल हैं:

डोमेन: सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ जहाँ n एक पूर्णांक है
रेंज: सभी वास्तविक संख्याएँ
अवधि: $\pi$
विषम फ़ंक्शन: $\tan(-x) = -\tan(x)$
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ पर ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट होते हैं

संशोधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन

आप मूल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को आयाम, आवृत्ति और चरण परिवर्तन जैसे पैरामीटर को समायोजित करके संशोधित कर सकते हैं। सामान्य रूप है:

$f(x) = A \sin(Bx + C) + D$

जहाँ:

A आयाम है (जो ग्राफ की ऊँचाई को प्रभावित करता है)
B आवृत्ति है (जो एक निश्चित अंतराल में कितने चक्र होते हैं, को प्रभावित करता है)
C चरण परिवर्तन है (जो ग्राफ को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करता है)
D ऊर्ध्वाधर परिवर्तन है (जो ग्राफ को ऊर्ध्वाधर रूप से स्थानांतरित करता है)

समान संशोधन कोसाइन और टेंजेंट फ़ंक्शनों पर लागू होते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर का उपयोग कैसे करें

हमारा सरल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को दृश्य रूप में देखने के लिए एक सहज इंटरफ़ेस प्रदान करता है। अपने ग्राफ बनाने और अनुकूलित करने के लिए इन चरणों का पालन करें:

एक फ़ंक्शन चुनें: ड्रॉपडाउन मेनू का उपयोग करके साइन (sin), कोसाइन (cos), या टेंजेंट (tan) में से चुनें।
पैरामीटर समायोजित करें:
- आयाम: ग्राफ की ऊँचाई को बदलने के लिए स्लाइडर का उपयोग करें। साइन और कोसाइन के लिए, यह निर्धारित करता है कि फ़ंक्शन x-अक्ष के ऊपर और नीचे कितना फैलेगा। टेंजेंट के लिए, यह वक्रों की तीव्रता को प्रभावित करता है।
- आवृत्ति: यह निर्धारित करें कि मानक अवधि के भीतर कितने चक्र दिखाई देते हैं। उच्च मान अधिक संकुचित तरंगें बनाते हैं।
- चरण परिवर्तन: ग्राफ को x-अक्ष के साथ क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करें।
ग्राफ देखें: जैसे ही आप पैरामीटर समायोजित करते हैं, ग्राफ वास्तविक समय में अपडेट होता है, आपके द्वारा चुने गए फ़ंक्शन का स्पष्ट दृश्य प्रतिनिधित्व दिखाता है।
प्रमुख बिंदुओं का विश्लेषण करें: देखें कि फ़ंक्शन महत्वपूर्ण बिंदुओं जैसे x = 0, π/2, π, आदि पर कैसे व्यवहार करता है।
सूत्र की कॉपी करें: संदर्भ के लिए या अन्य अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए वर्तमान फ़ंक्शन सूत्र को सहेजने के लिए कॉपी बटन का उपयोग करें।

प्रभावी ग्राफिंग के लिए सुझाव

सरल से शुरू करें: मौलिक आकार को समझने के लिए मूल फ़ंक्शन (आयाम = 1, आवृत्ति = 1, चरण परिवर्तन = 0) के साथ शुरू करें।
एक समय में एक पैरामीटर बदलें: इससे आपको समझने में मदद मिलती है कि प्रत्येक पैरामीटर स्वतंत्र रूप से ग्राफ को कैसे प्रभावित करता है।
आसिम्पटोट पर ध्यान दें: टेंजेंट फ़ंक्शनों को ग्राफ करते समय, उन ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट पर ध्यान दें जहाँ फ़ंक्शन अपरिभाषित है।
फ़ंक्शनों की तुलना करें: साइन, कोसाइन और टेंजेंट के बीच स्विच करें ताकि उनके संबंधों और भिन्नताओं का अवलोकन किया जा सके।
अत्यधिक मानों की खोज करें: आयाम और आवृत्ति के लिए बहुत उच्च या निम्न मानों का प्रयास करें ताकि यह देखा जा सके कि फ़ंक्शन चरम पर कैसे व्यवहार करता है।

गणितीय सूत्र और गणनाएँ

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर ग्राफ़ बनाने और प्रदर्शित करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करता है:

पैरामीटर के साथ साइन फ़ंक्शन

$f(x) = A \sin(Bx + C)$

जहाँ:

A = आयाम
B = आवृत्ति
C = चरण परिवर्तन

पैरामीटर के साथ कोसाइन फ़ंक्शन

$f(x) = A \cos(Bx + C)$

जहाँ:

A = आयाम
B = आवृत्ति
C = चरण परिवर्तन

पैरामीटर के साथ टेंजेंट फ़ंक्शन

$f(x) = A \tan(Bx + C)$

जहाँ:

A = आयाम
B = आवृत्ति
C = चरण परिवर्तन

गणना उदाहरण

आयाम = 2, आवृत्ति = 3, और चरण परिवर्तन = π/4 के साथ एक साइन फ़ंक्शन के लिए:

$f(x) = 2 \sin(3x + \pi/4)$

x = π/6 पर मान की गणना करने के लिए:

$f(\pi/6) = 2 \sin(3 \times \pi/6 + \pi/4) = 2 \sin(\pi/2 + \pi/4) = 2 \sin(3\pi/4) \approx 1.414$

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफिंग के उपयोग के मामले

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के कई अनुप्रयोग हैं। यहाँ हमारे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर के लिए कुछ सामान्य उपयोग के मामले दिए गए हैं:

शिक्षा और अध्ययन

त्रिकोणमिति पढ़ाना: शिक्षक ग्राफर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए कर सकते हैं कि पैरामीटर को बदलने से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
होमवर्क और अध्ययन सहायता: छात्र अपने मैनुअल गणनाओं की पुष्टि कर सकते हैं और फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में अंतर्दृष्टि विकसित कर सकते हैं।
अवधारणाओं का दृश्य प्रतिनिधित्व: अमूर्त गणितीय अवधारणाएँ ग्राफ़िक रूप से दृश्यित करने पर स्पष्ट हो जाती हैं।

भौतिकी और इंजीनियरिंग

तरंग घटनाएँ: ध्वनि तरंगों, प्रकाश तरंगों और अन्य दोलन घटनाओं का मॉडल बनाना।
परिपथ विश्लेषण: विद्युत परिपथों में वैकल्पिक धारा के व्यवहार को दृश्यित करना।
यांत्रिक कंपन: स्प्रिंग, झूलों और अन्य यांत्रिक प्रणालियों की गति का अध्ययन करना।
संकेत प्रसंस्करण: आवर्ती संकेतों और उनके घटकों का विश्लेषण करना।

कंप्यूटर ग्राफिक्स और एनीमेशन

मोशन डिज़ाइन: साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों का उपयोग करके चिकनी, प्राकृतिक दिखने वाली एनीमेशन बनाना।
गेम विकास: वस्तुओं और पात्रों के लिए वास्तविकवादी आंदोलन पैटर्न लागू करना।
प्रक्रियात्मक उत्पादन: नियंत्रित यादृच्छिकता के साथ भूभाग, बनावट और अन्य तत्व उत्पन्न करना।

डेटा विश्लेषण

मौसमी रुझान: समय-श्रृंखला डेटा में चक्रीय पैटर्न की पहचान और मॉडलिंग करना।
आवृत्ति विश्लेषण: जटिल संकेतों को सरल त्रिकोणमितीय घटकों में विभाजित करना।
पैटर्न पहचान: प्रयोगात्मक या अवलोकनात्मक डेटा में आवर्ती पैटर्न का पता लगाना।

वास्तविक दुनिया का उदाहरण: ध्वनि तरंग मॉडलिंग

ध्वनि तरंगों को साइन फ़ंक्शनों का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। एक शुद्ध स्वर के लिए, जिसकी आवृत्ति f (हर्ट्ज में) है, समय t पर वायु दबाव p को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

$p(t) = A \sin(2\pi ft)$

हमारे ग्राफर का उपयोग करते हुए, आप सेट कर सकते हैं:

फ़ंक्शन: साइन
आयाम: ध्वनि की तीव्रता के लिए आनुपातिक
आवृत्ति: स्वर से संबंधित (उच्च आवृत्ति = उच्च स्वर)
चरण परिवर्तन: ध्वनि तरंग कब शुरू होती है, यह निर्धारित करता है

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफिंग के विकल्प

हालांकि हमारा सरल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर मूल फ़ंक्शनों और उनके संशोधनों पर ध्यान केंद्रित करता है, समान कार्यों के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण और उपकरण हैं:

उन्नत ग्राफिंग कैलकुलेटर

पेशेवर ग्राफिंग कैलकुलेटर और सॉफ़्टवेयर जैसे Desmos, GeoGebra, या Mathematica अधिक सुविधाएँ प्रदान करते हैं, जिसमें शामिल हैं:

एक ही ग्राफ पर कई फ़ंक्शनों का प्लॉटिंग
त्रिकोणमितीय सतहों का 3D दृश्य
पैरामीट्रिक और ध्रुवीय फ़ंक्शन समर्थन
एनीमेशन क्षमताएँ
संख्यात्मक विश्लेषण उपकरण

फ़ूरियर श्रृंखला दृष्टिकोण

जटिल आवर्ती फ़ंक्शनों के लिए, फ़ूरियर श्रृंखला विखंडन उन्हें साइन और कोसाइन शब्दों के योग के रूप में व्यक्त करता है:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$

यह दृष्टिकोण विशेष रूप से उपयोगी है:

संकेत प्रसंस्करण
आंशिक अवकल समीकरण
गर्मी संचरण समस्याएँ
क्वांटम यांत्रिकी

फ़ेज़र प्रतिनिधित्व

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, साइनसॉइडल फ़ंक्शनों को फ़ेज़र्स (घूर्णन वेक्टर) के रूप में अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए दर्शाया जाता है।

तुलना तालिका: ग्राफिंग दृष्टिकोण

विशेषता	सरल त्रिग्राफर	उन्नत कैलकुलेटर	फ़ूरियर विश्लेषण	फ़ेज़र विधि
उपयोग में आसानी	★★★★★	★★★☆☆	★★☆☆☆	★★★☆☆
दृश्य स्पष्टता	★★★★☆	★★★★★	★★★☆☆	★★☆☆☆
गणितीय शक्ति	★★☆☆☆	★★★★★	★★★★★	★★★☆☆
सीखने की अवस्था	न्यूनतम	मध्यम	तेज	मध्यम
सर्वश्रेष्ठ के लिए	मौलिक समझ	विस्तृत विश्लेषण	जटिल पैटर्न	एसी सर्किट

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों और उनके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का इतिहास

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों और उनके ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का विकास हजारों वर्षों में फैला हुआ है, जो व्यावहारिक अनुप्रयोगों से लेकर परिष्कृत गणितीय सिद्धांत तक विकसित हुआ है।

प्राचीन उत्पत्ति

त्रिकोणमिति की शुरुआत प्राचीन सभ्यताओं में खगोल विज्ञान, नौवहन और भूमि सर्वेक्षण की व्यावहारिक आवश्यकताओं से हुई:

बाबिलोनियन (लगभग 1900-1600 ईसा पूर्व): समकोण त्रिकोणों से संबंधित मानों की तालिकाएँ बनाई।
प्राचीन मिस्रवासी: पिरामिड निर्माण के लिए त्रिकोणमिति के प्राचीन रूपों का उपयोग किया।
प्राचीन ग्रीक: हिप्पार्कस (लगभग 190-120 ईसा पूर्व) को "त्रिकोणमिति के पिता" के रूप में श्रेय दिया जाता है, जिन्होंने पहले ज्ञात चॉड फ़ंक्शन की तालिका बनाई, जो साइन फ़ंक्शन का पूर्ववर्ती था।

आधुनिक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का विकास

भारतीय गणित (400-1200 ईस्वी): गणितज्ञों जैसे आर्यभट्ट ने साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों को विकसित किया जैसा कि हम आज जानते हैं।
इस्लामी स्वर्ण युग (8वीं-14वीं सदी): अल-ख्वारिज़्मी और अल-बत्तानी जैसे विद्वानों ने त्रिकोणमितीय ज्ञान का विस्तार किया और अधिक सटीक तालिकाएँ बनाई।
यूरोपीय पुनर्जागरण: रेजियोमोंटानस (1436-1476) ने व्यापक त्रिकोणमितीय तालिकाएँ और सूत्र प्रकाशित किए।

ग्राफिकल प्रतिनिधित्व

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को निरंतर ग्राफ़ के रूप में दृश्यित करना एक अपेक्षाकृत हालिया विकास है:

रेने डेस्कार्टेस (1596-1650): उनके द्वारा कार्तीय निर्देशांक प्रणाली का आविष्कार करने से फ़ंक्शनों को ग्राफ़िक रूप में प्रदर्शित करना संभव हो गया।
लियोनहार्ड यूलेर (1707-1783): उन्होंने त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिसमें प्रसिद्ध यूलेर का सूत्र ( $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ ) शामिल है, जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को घातीय फ़ंक्शनों से जोड़ता है।
जोसेफ फूरियर (1768-1830): उन्होंने फ़ूरियर श्रृंखला विकसित की, यह दिखाते हुए कि जटिल आवर्ती फ़ंक्शनों को सरल साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

आधुनिक युग

19वीं सदी: कलन और विश्लेषण के विकास ने त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की गहरी समझ प्रदान की।
20वीं सदी: इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटरों ने त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों की गणना और दृश्यता में क्रांति ला दी।
21वीं सदी: इंटरैक्टिव ऑनलाइन उपकरण (जैसे कि यह ग्राफर) हर किसी के लिए इंटरनेट कनेक्शन के साथ त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को सुलभ बनाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन क्या हैं?

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन गणितीय फ़ंक्शन हैं जो एक त्रिकोण के कोणों को उसके पक्षों की लंबाई के अनुपात से संबंधित करते हैं। प्रमुख त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन, कोसाइन, और टेंजेंट हैं, जिनके व्युत्क्रम को कोसेकेंट, सेकेंट, और कोटेंजेंट कहा जाता है। ये फ़ंक्शन गणित में मौलिक हैं और भौतिकी, इंजीनियरिंग, और अन्य क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

मुझे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को दृश्यित करने की आवश्यकता क्यों है?

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों को दृश्यित करना उनके व्यवहार, आवृत्तिता, और मुख्य विशेषताओं को समझने में मदद करता है। ग्राफ़ पैटर्न, शून्य, अधिकतम, न्यूनतम, और आसिम्पटोट की पहचान करना आसान बनाते हैं। यह दृश्य समझ तरंग विश्लेषण, संकेत प्रसंस्करण, और चक्रीय घटनाओं को मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है।

आयाम पैरामीटर क्या करता है?

आयाम पैरामीटर ग्राफ की ऊँचाई को नियंत्रित करता है। साइन और कोसाइन फ़ंक्शनों के लिए, यह निर्धारित करता है कि फ़ंक्शन x-अक्ष के ऊपर और नीचे कितनी दूर फैलेगा। बड़ा आयाम ऊँचे शिखर और गहरे घाटियाँ बनाता है। उदाहरण के लिए, $2\sin(x)$ के शिखर y=2 पर और घाटियाँ y=-2 पर होंगी, जबकि मानक $\sin(x)$ के शिखर y=1 पर और घाटियाँ y=-1 पर होंगी।

आवृत्ति पैरामीटर क्या करता है?

आवृत्ति पैरामीटर यह निर्धारित करता है कि एक निश्चित अंतराल में फ़ंक्शन कितने चक्र पूरा करता है। उच्च आवृत्ति मान ग्राफ को क्षैतिज रूप से संकुचित करता है, जिससे अधिक चक्र बनते हैं। उदाहरण के लिए, $\sin(2x)$ $[0, 2\pi]$ के अंतराल में दो पूर्ण चक्र पूरा करता है, जबकि $\sin(x)$ उसी अंतराल में केवल एक चक्र पूरा करता है।

चरण परिवर्तन पैरामीटर क्या करता है?

चरण परिवर्तन पैरामीटर ग्राफ को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करता है। सकारात्मक चरण परिवर्तन ग्राफ को बाईं ओर ले जाता है, जबकि नकारात्मक चरण परिवर्तन इसे दाईं ओर ले जाता है। उदाहरण के लिए, $\sin(x + \pi/2)$ मानक साइन वक्र को $\pi/2$ यूनिट बाईं ओर स्थानांतरित करता है, जिससे यह कोसाइन वक्र जैसा दिखता है।

टेंजेंट फ़ंक्शन में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ क्यों होती हैं?

टेंजेंट फ़ंक्शन ग्राफ में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ आसिम्पटोट का प्रतिनिधित्व करती हैं, जो उन बिंदुओं पर होती हैं जहाँ फ़ंक्शन अपरिभाषित होता है। गणितीय रूप से, टेंजेंट को $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए उन मानों पर जहाँ $\cos(x) = 0$ (जैसे $x = \pi/2, 3\pi/2$ , आदि), टेंजेंट फ़ंक्शन अनंतता के करीब पहुँचता है, जिससे ये ऊर्ध्वाधर आसिम्पटोट बनते हैं।

रैडियन और डिग्री में क्या अंतर है?

रैडियन और डिग्री कोणों को मापने के दो तरीके हैं। एक पूर्ण वृत्त 360 डिग्री या $2\pi$ रैडियन है। गणितीय विश्लेषण में रैडियन अक्सर पसंद किए जाते हैं क्योंकि वे कई सूत्रों को सरल बनाते हैं। हमारा ग्राफर x-अक्ष के मानों के लिए रैडियन का उपयोग करता है, जहाँ $\pi$ लगभग 3.14159 को दर्शाता है।

क्या मैं एक साथ कई फ़ंक्शन ग्राफ कर सकता हूँ?

हमारा सरल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफर स्पष्टता और उपयोग में आसानी पर ध्यान केंद्रित करता है, इसलिए यह एक समय में एक फ़ंक्शन प्रदर्शित करता है। इससे शुरुआती लोगों को प्रत्येक फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में मदद मिलती है बिना भ्रम के। कई फ़ंक्शनों की तुलना के लिए, आप अधिक उन्नत ग्राफिंग उपकरणों जैसे Desmos या GeoGebra का उपयोग करना चाह सकते हैं।

यह ग्राफर कितना सटीक है?

ग्राफर मानक जावास्क्रिप्ट गणितीय फ़ंक्शनों और D3.js दृश्यता का उपयोग करता है, जो शैक्षिक और सामान्य उपयोग के लिए पर्याप्त सटीकता प्रदान करता है। अत्यधिक सटीक वैज्ञानिक या इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के लिए, विशेष सॉफ़्टवेयर अधिक उपयुक्त हो सकता है।

क्या मैं अपने ग्राफ़ को सहेज या साझा कर सकता हूँ?

वर्तमान में, आप "कॉपी" बटन का उपयोग करके फ़ंक्शन सूत्र को कॉपी कर सकते हैं। जबकि सीधे छवि सहेजना लागू नहीं है, आप अपने डिवाइस की स्क्रीनशॉट कार्यक्षमता का उपयोग करके ग्राफ़ को कैप्चर और साझा कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के लिए कोड उदाहरण

यहाँ विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में उदाहरण दिए गए हैं जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के साथ काम करने और गणना करने का प्रदर्शन करते हैं:

1// JavaScript उदाहरण साइन फ़ंक्शन की गणना और प्लॉटिंग के लिए
2function calculateSinePoints(amplitude, frequency, phaseShift, start, end, steps) {
3  const points = [];
4  const stepSize = (end - start) / steps;
5  
6  for (let i = 0; i <= steps; i++) {
7    const x = start + i * stepSize;
8    const y = amplitude * Math.sin(frequency * x + phaseShift);
9    points.push({ x, y });
10  }
11  
12  return points;
13}
14
15// उदाहरण उपयोग:
16const sinePoints = calculateSinePoints(2, 3, Math.PI/4, -Math.PI, Math.PI, 100);
17console.log(sinePoints);
18

1# matplotlib के साथ दृश्यित करने के लिए Python उदाहरण
2import numpy as np
3import matplotlib.pyplot as plt
4
5def plot_trig_function(func_type, amplitude, frequency, phase_shift):
6    # x मान बनाएँ
7    x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
8    
9    # फ़ंक्शन प्रकार के आधार पर y मान की गणना करें
10    if func_type == 'sin':
11        y = amplitude * np.sin(frequency * x + phase_shift)
12        title = f"f(x) = {amplitude} sin({frequency}x + {phase_shift})"
13    elif func_type == 'cos':
14        y = amplitude * np.cos(frequency * x + phase_shift)
15        title = f"f(x) = {amplitude} cos({frequency}x + {phase_shift})"
16    elif func_type == 'tan':
17        y = amplitude * np.tan(frequency * x + phase_shift)
18        # बेहतर दृश्यता के लिए अनंत मानों को फ़िल्टर करें
19        y = np.where(np.abs(y) > 10, np.nan, y)
20        title = f"f(x) = {amplitude} tan({frequency}x + {phase_shift})"
21    
22    # प्लॉट बनाएँ
23    plt.figure(figsize=(10, 6))
24    plt.plot(x, y)
25    plt.grid(True)
26    plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
27    plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
28    plt.title(title)
29    plt.xlabel('x')
30    plt.ylabel('f(x)')
31    
32    # x-अक्ष के लिए विशेष बिंदु जोड़ें
33    special_points = [-2*np.pi, -3*np.pi/2, -np.pi, -np.pi/2, 0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi]
34    special_labels = ['-2π', '-3π/2', '-π', '-π/2', '0', 'π/2', 'π', '3π/2', '2π']
35    plt.xticks(special_points, special_labels)
36    
37    plt.ylim(-5, 5)  # बेहतर दृश्यता के लिए y-धुरी को सीमित करें
38    plt.show()
39
40# उदाहरण उपयोग:
41plot_trig_function('sin', 2, 1, 0)  # प्लॉट f(x) = 2 sin(x)
42

1// C# में त्रिकोणमितीय मानों की गणना के लिए उदाहरण
2import java.util.ArrayList;
3import java.util.List;
4
5public class TrigonometricCalculator {
6    
7    public static class Point {
8        public double x;
9        public double y;
10        
11        public Point(double x, double y) {
12            this.x = x;
13            this.y = y;
14        }
15        
16        @Override
17        public String toString() {
18            return "(" + x + ", " + y + ")";
19        }
20    }
21    
22    public static List<Point> calculateCosinePoints(
23            double amplitude, 
24            double frequency, 
25            double phaseShift, 
26            double start, 
27            double end, 
28            int steps) {
29        
30        List<Point> points = new ArrayList<>();
31        double stepSize = (end - start) / steps;
32        
33        for (int i = 0; i <= steps; i++) {
34            double x = start + i * stepSize;
35            double y = amplitude * Math.cos(frequency * x + phaseShift);
36            points.add(new Point(x, y));
37        }
38        
39        return points;
40    }
41    
42    public static void main(String[] args) {
43        // f(x) = 2 cos(3x + π/4) के लिए बिंदुओं की गणना करें
44        List<Point> cosinePoints = calculateCosinePoints(
45            2.0,  // आयाम
46            3.0,  // आवृत्ति
47            Math.PI/4,  // चरण परिवर्तन
48            -Math.PI,  // प्रारंभ
49            Math.PI,  // अंत
50            100  // चरण
51        );
52        
53        // पहले कुछ बिंदुओं को प्रिंट करें
54        System.out.println("f(x) = 2 cos(3x + π/4) के लिए पहले 5 बिंदु:");
55        for (int i = 0; i < 5 && i < cosinePoints.size(); i++) {
56            System.out.println(cosinePoints.get(i));
57        }
58    }
59}
60

1' Excel VBA फ़ंक्शन साइन मान की गणना करने के लिए
2Function SineValue(x As Double, amplitude As Double, frequency As Double, phaseShift As Double) As Double
3    SineValue = amplitude * Sin(frequency * x + phaseShift)
4End Function
5
6' Excel सूत्र साइन फ़ंक्शन के लिए (कोशिका में)
7' =A2*SIN(B2*C2+D2)
8' जहाँ A2 आयाम है, B2 आवृत्ति है, C2 x मान है, और D2 चरण परिवर्तन है
9

1// C में टेंजेंट फ़ंक्शन मानों की गणना के लिए कार्यान्वयन
2#include <stdio.h>
3#include <math.h>
4
5// पैरामीटर के साथ टेंजेंट की गणना करने के लिए फ़ंक्शन
6double parameterizedTangent(double x, double amplitude, double frequency, double phaseShift) {
7    double angle = frequency * x + phaseShift;
8    
9    // अपरिभाषित बिंदुओं के लिए जाँच करें (जहाँ कोस = 0)
10    double cosValue = cos(angle);
11    if (fabs(cosValue) < 1e-10) {
12        return NAN; // अपरिभाषित बिंदु के लिए संख्या नहीं
13    }
14    
15    return amplitude * tan(angle);
16}
17
18int main() {
19    double amplitude = 1.0;
20    double frequency = 2.0;
21    double phaseShift = 0.0;
22    
23    printf("x\t\tf(x) = %g tan(%gx + %g)\n", amplitude, frequency, phaseShift);
24    printf("----------------------------------------\n");
25    
26    // -π से π तक के मान प्रिंट करें
27    for (double x = -M_PI; x <= M_PI; x += M_PI/8) {
28        double y = parameterizedTangent(x, amplitude, frequency, phaseShift);
29        
30        if (isnan(y)) {
31            printf("%g\t\tUndefined (asymptote)\n", x);
32        } else {
33            printf("%g\t\t%g\n", x, y);
34        }
35    }
36    
37    return 0;
38}
39

संदर्भ

Abramowitz, M. और Stegun, I. A. (Eds.). "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables," 9th printing. New York: Dover, 1972.
Gelfand, I. M., और Fomin, S. V. "Calculus of Variations." Courier Corporation, 2000.
Kreyszig, E. "Advanced Engineering Mathematics," 10th ed. John Wiley & Sons, 2011.
Bostock, M., Ogievetsky, V., और Heer, J. "D3: Data-Driven Documents." IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 17(12), 2301-2309, 2011. https://d3js.org/
"त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन।" खान अकादमी, https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles/intro-to-the-trig-ratios/a/trigonometric-functions. 3 अगस्त 2023 को एक्सेस किया गया।
"त्रिकोणमिति का इतिहास।" मैक ट्यूटर गणित का इतिहास आर्काइव, सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय, स्कॉटलैंड। https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/. 3 अगस्त 2023 को एक्सेस किया गया।
Maor, E. "Trigonometric Delights." Princeton University Press, 2013.

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