Átfogó Kalkulátor - Pitagorasz-tétel Eszköz

Átfogó számológép

Az átfogó számológép kiszámítja a derékszögű háromszög leghosszabb oldalának, az átfogónak a hosszát. A Pitagorasz-tételt használja, amely a derékszögű háromszög három oldalát kapcsolja össze.

Mi az átfogó?

A derékszögű háromszögnek van egy 90 fokos szöge, amely ott alakul ki, ahol két oldal derékszögben találkozik. Ezt a két oldalt befogóknak nevezzük. A harmadik oldal, amely a derékszöggel szemközt helyezkedik el, az átfogó. Ez mindig a háromszög leghosszabb oldala.

A Pitagorasz-tétel képlete

A Pitagorasz-tétel szerint az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c az átfogó
• a és b a két befogó

Ha az átfogó helyett egy hiányzó befogót szeretnénk meghatározni, a képlet átrendezhető:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

A tétel a görög matematikusról, Püthagoraszról kapta a nevét, aki körülbelül Kr. e. 570 és 495 között élt. Az összefüggést már korábban is ismerték. A körülbelül 1800-ból származó babiloni agyagtáblák azt mutatják, hogy a babiloni matematikusok már alkalmazták, több mint ezer évvel Püthagorasz előtt.

Az átfogó kiszámítása

Az átfogó kézi kiszámításához kövesse ezt a négy lépést.

1. Emelje négyzetre az A oldal hosszát (szorozza meg önmagával).
2. Emelje négyzetre a B oldal hosszát.
3. Adja össze a két négyzetre emelt értéket.
4. Vonjon négyzetgyököt az összegből.

Az oldalon található számológép ugyanezt a négy lépést hajtja végre. A menüből válassza az „Átfogó meghatározása”, az „A oldal meghatározása” vagy a „B oldal meghatározása” lehetőséget, majd adja meg a két ismert hosszt. Az eredmény az érvényes számok megadásakor azonnal frissül, és két tizedesjegyre kerekítve jelenik meg.

Mindkét oldalhoz ugyanazt a mértékegységet kell használni, például hüvelyket vagy métert. A számológép nem vált át a mértékegységek között, ezért a lábban megadott és a hüvelykben megadott érték együtt nem ad értelmes eredményt.

Kidolgozott példa

Egy derékszögű háromszög A oldala 3 láb, B oldala pedig 4 láb hosszú.

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 láb

Ez a 3-4-5 arány olyan gyors ellenőrzési módszer, amelyet az ácsok annak megállapítására használnak, hogy egy sarok derékszögű-e. Mérjen 3 lábat az egyik él mentén, és 4 lábat a rá merőleges élen. A két pont közötti átlós távolságnak pontosan 5 lábnak kell lennie. Az arány bármely többszöröse ugyanígy működik, például a 6-8-10 vagy a 30-40-50.

Egy második példa tizedes értékeket használ. Egy derékszögű háromszög A oldala 2,5 hüvelyk, B oldala pedig 6,8 hüvelyk hosszú.

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 hüvelyk (18,4 cm)

A televíziók és monitorok méretét ezen a módon mérik. A megadott képernyőméret az átló hossza, amely a képernyő szélessége és magassága által meghatározott téglalap átfogója.

Hiányzó oldal meghatározása

Ha az átfogó és az egyik befogó már ismert, a számológép meghatározhatja a másik befogót. Válassza az „A oldal meghatározása” vagy a „B oldal meghatározása” lehetőséget, majd adja meg az átfogót és az ismert befogót.

Tegyük fel például, hogy egy derékszögű háromszög átfogója 10 méter, B oldala pedig 6 méter.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 méter

Az átfogónak mindig hosszabbnak kell lennie bármelyik befogónál, mivel ez a háromszög leghosszabb oldala. Ha az átfogóként megadott érték nem nagyobb az ismert befogónál, a számológép eredmény helyett hibaüzenetet jelenít meg, mivel ilyen derékszögű háromszög nem létezik.

Gyakori alkalmazások

A Pitagorasz-tételt minden olyan esetben alkalmazzák, amikor két merőleges mérésből kell meghatározni egy egyenes átlós távolságot.

• Építés és ácsmunkák: annak ellenőrzése, hogy egy keret vagy fal sarka derékszögű-e, valamint tetőgerendák és lépcsőkarok hosszának kiszámítása.
• Földmérés: a vízszintes és függőleges távolságok közvetlen látóvonalbeli távolsággá alakítása.
• Navigáció és számítógépes grafika: egy grafikon két pontjára alkalmazott távolságképlet, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], ugyanez a tétel koordinátákra alkalmazva.
• Oktatás: ez az egyik első geometriai bizonyítás, amellyel a legtöbb diák találkozik, és egyszerű egész számú példákkal, például a 3-4-5 vagy a 5-12-13 aránnyal ellenőrizhető.

A tétel csak derékszögű háromszögekre alkalmazható. Olyan háromszög esetében, amelynek nincs 90 fokos szöge, a koszinusztételt kell használni.

Gyakran ismételt kérdések

Mi az átfogó képlete? c = √(a² + b²), ahol a és b egy derékszögű háromszög két befogója, c pedig az átfogó.

Alkalmazható ez derékszög nélküli háromszögekre? Nem. A Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögekre alkalmazható. A 90 fokos szöggel nem rendelkező háromszöghöz a koszinusztétel szükséges.

Mi a 3-4-5 szabály? Ez egy gyors ellenőrzési módszer annak megállapítására, hogy egy sarok derékszögű-e. Ha az egyik oldal hossza 3 egység, a hozzá csatlakozó merőleges oldalé 4 egység, a végpontjaik közötti átlóé pedig 5 egység, akkor a sarok derékszöget alkot. A 3-4-5 bármely többszöröse, például a 6-8-10 vagy a 30-40-50, ugyanígy működik.

Mindkét oldalhoz ugyanazt a mértékegységet kell használni? Igen. Mindkét befogót ugyanabban a mértékegységben kell megadni, például mindkettőt lábban vagy mindkettőt méterben. A mértékegységek keverése, például a láb és a hüvelyk használata, matematikailag helyes, de fizikailag értelmetlen eredményt ad.

Miért jelez hibát a számológép bizonyos átfogó- és befogóértékeknél? Az átfogó mindig a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Ha az átfogóként megadott érték nem nagyobb az ismert befogónál, nem létezik érvényes derékszögű háromszög, ezért a számológép eredmény helyett hibaüzenetet ad.

Hány tizedesjegyig jelenik meg az eredmény? Kettőig. A számológép a számítás közben belsőleg megőrzi a teljes pontosságot, és csak a megjelenített számot kerekíti.

Ez ugyanaz, mint a távolságképlet? Igen. A koordinátageometriában használt távolságképlet, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], a Pitagorasz-tétel egy grafikon két pontjára alkalmazva. A pontok közötti vízszintes és függőleges távolság alkotja a derékszögű háromszög két befogóját.