Szabadesés Kalkulátor - Sebesség, Távolság & Idő Számító

Szabadesés-kalkulátor: sebesség, távolság és idő

A szabadesés-kalkulátor meghatározza a gravitáció hatására eső tárgy sebességét, az addig megtett utat és a talaj feletti magasságát. Adja meg a kezdőmagasságot, a kezdősebességet és az eltelt időt; a kalkulátor visszaadja a végsebességet, a lefelé irányuló elmozdulást és a végső magasságot.

Mi a szabadesés?

A szabadesés kizárólag a gravitáció által okozott mozgás. A légellenállást figyelmen kívül hagyjuk. A Föld felszíne közelében minden eső tárgy azonos ütemben gyorsul, tömegétől függetlenül. Ha a légellenállás elhanyagolhatóan kicsi, az egyszerre leejtett érme és kalapács ugyanabban a pillanatban ér földet.

Galileo Galilei ezt kísérletileg igazolta a 1600-as évek elején, megcáfolva azt a korábbi elképzelést, hogy a nehezebb tárgyak gyorsabban esnek. 1971-ben az Apollo–15 küldetés űrhajósa, David Scott kalapácsot és tollat ejtett le a Holdon, ahol nincs levegő, amely lelassítaná a tollat. Mindkettő egyszerre csapódott a felszínbe, amit a kamera rögzített.

E gyorsulás szabványos értékét standard nehézségi gyorsulásnak nevezik, jele g. Meghatározott értéke pontosan 9,80665 méter per másodperc négyzet, azaz (m/s²), amelyet nemzetközi megállapodással 1901-ben rögzítettek. A birodalmi mértékegységekben ugyanez a gyorsulás 32,17405 láb per másodperc négyzet, azaz (ft/s²). Ez az érték az 9,80665 értékének az 0,3048 értékével való elosztásából adódik, ahol az utóbbi egy láb méterben kifejezett pontos értéke, öt tizedesjegyre kerekítve. Számos tankönyvi példa az egyszerűbb számítás érdekében a metrikus értéket 9,81 m/s²-re kerekíti.

A szabadesés képlete

Három egyenlet lefedi az összes szabadesési feladatot. A lefelé irányt pozitívnak tekintjük, ezért a pozitív sebesség a talaj felé, a negatív pedig felfelé mutat.

A sebesség képlete

$v = v_0 + gt$

• $v$ = végsebesség
• $v_0$ = kezdősebesség (nyugalomból leejtéskor 0; felfelé dobáskor negatív)
• $g$ = gravitációs gyorsulás, ennél a kalkulátornál 9,80665 m/s² vagy 32,17405 láb/s²
• $t$ = eltelt idő, másodpercben

A távolság képlete

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Itt $d$ az elmozdulás: az a távolság, amellyel a tárgy lefelé elmozdult. A nyugalomból leejtett tárgy esetén ($v_0 = 0$) az egyenlet egyszerűsödik: $d = \frac{1}{2}gt^2$. Ha a tárgyat felfelé dobták, és még mindig az elengedés pontja felett van, $d$ negatív lesz.

A sebesség és a távolság kapcsolata

Ha az idő nem ismert, ez az egyenlet közvetlenül kapcsolja össze a sebességet és a távolságot:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Nyugalomból leejtett tárgy esetén ez az egyenlet egyszerűsödik: $v = \sqrt{2gd}$. Ezzel a képlettel határozható meg az ütközési sebesség egy ismert ejtési magasság alapján, illetve az ejtési magasság egy ismert ütközési sebességből.

Szabadesés számítása ezzel a kalkulátorral

A kalkulátor négy beállítást kér, és három eredményt ad.

1. Válasszon mértékegységrendszert. A metrikus rendszer métereket és méter per másodpercet használ. A birodalmi rendszer lábakat és láb per másodpercet használ.
2. Adja meg a kezdőmagasságot, vagyis azt a talaj feletti magasságot, ahonnan a tárgy indul. Ez nem lehet negatív.
3. Adja meg a kezdősebességet. Használjon 0 értéket nyugalomból leejtett tárgyhoz, pozitív számot lefelé dobott tárgyhoz, illetve negatív számot felfelé dobott tárgyhoz.
4. Adja meg az eltelt időt a tárgy elengedésétől számítva. Ennek nullánál nagyobbnak kell lennie.

Az eredmények a végsebesség, az elmozdulás és a végső magasság (a kezdőmagasság mínusz az elmozdulás). Az idő itt bemeneti adat, nem eredmény: a kalkulátor nem számít visszafelé egy célsebességből vagy célzott távolságból.

Ha a megadott idő elég hosszú ahhoz, hogy a tárgy már földet ért volna, a kalkulátor ezt jelzi negatív végső magasság helyett.

Példa: az alapértelmezett beállítás

Egy tárgyat nyugalomból ejtenek le 100 méter magasságból. Hol lesz 3 másodperc múlva?

Sebesség 3 másodperc után:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Elmozdulás az alatt a 3 másodperc alatt:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Végső magasság:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

A tárgy tehát körülbelül 29,42 m/s sebességgel esik, körülbelül 44,13 m métert tett meg lefelé, és még mindig körülbelül 55,87 m-rel a talaj felett van.

Példa: idő és sebesség ismert magasságból

Egy csavarkulcsot 20 méter magas állványról ejtenek le. Mennyi idő alatt ér földet, és mekkora lesz a sebessége ütközéskor?

A $d = \frac{1}{2}gt^2$ képletet használva, ahol $d = 20$ m és $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ másodperc}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (körülbelül 71 km/h)}$

Példa: magasság az ütközési sebességből

Egy tárgy 25 m/s sebességgel ér földet, miután nyugalomból ejtették le. Milyen magasról esett?

A $v^2 = 2gd$ képletet használva:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ méter}$

Ez körülbelül egy tízemeletes épület magasságának felel meg.

Hogyan változik a gravitáció?

A szabványos nehézségi gyorsulás, 9,80665 m/s², átlagos referenciaérték. A tényleges gravitáció kissé változik a Föld felszínén. Az Egyenlítőn gyengébb (körülbelül 9,78 m/s²), mint a sarkokon (körülbelül 9,83 m/s²), mert a Föld az Egyenlítőnél kifelé kidudorodik, és ott forog a leggyorsabban. A gravitáció a magassággal is kissé gyengül: 10 000 méteren körülbelül 9,78 m/s²-re csökken.

Más égitesteken nagyon eltérő a gravitáció, ezért ugyanazok a képletek nagyon eltérő eredményeket adnak:

A Hold gravitációja körülbelül a földi egyhatoda, ezért egy ott leejtett tárgy ugyanannyi idő alatt körülbelül egyhatod akkora távolságot tesz meg.

Szabadesés és légellenállás

Ezek a képletek vákuumot feltételeznek, ahol a levegő nem fejt ki a tárgyra ellenerőt. A légellenállás a sebesség négyzetével nő, ezért nagyobb sebességeknél jelentősebb. Sűrű, tömör tárgyak, például egy csavarkulcs vagy egy kő rövid esésekor csekély a hatása. Nagy hatással van a könnyű vagy nagy felületű tárgyakra, például a tollra, egy papírlapra vagy az ejtőernyőre.

Amikor a légellenállás elég nagy lesz ahhoz, hogy kiegyenlítse a gravitációs erőt, a tárgy gyorsulása megszűnik, és állandó sebességgel esik tovább. Ezt végsebességnek nevezik. A hason fekvő helyzetben zuhanó ejtőernyős jellemzően körülbelül 53 méter per másodperc végsebességet ér el, ami körülbelül 190 km/h vagy 120 mérföld/óra, mielőtt kinyitja az ejtőernyőt.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a szabadesés a fizikában?

A szabadesés olyan mozgás, amelyben a tárgyra kizárólag a gravitáció hat, a légellenállást pedig figyelmen kívül hagyjuk. A Föld felszíne közelében minden eső tárgy azonos ütemben gyorsul lefelé, körülbelül 9,81 m/s² értékkel, tömegétől függetlenül.

Miért esik minden tárgy azonos ütemben?

A gravitáció erősebben húzza a nehezebb tárgyat, de a nehezebb tárgy jobban ellenáll a mozgás megváltozásának is, mivel nagyobb a tehetetlensége. Ez a két hatás pontosan kiegyenlíti egymást, ezért a tömeg nem befolyásolja a gyorsulás ütemét szabadeséskor.

Mi a szabadesés sebességének képlete?

$v = v_0 + gt$, ahol $v_0$ a kezdősebesség, $g$ a gravitációs gyorsulás, $t$ pedig az idő. Nyugalomból leejtett tárgy esetén ez egyszerűen $v = gt$.

Mi a szabadesés során megtett távolság képlete?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Nyugalomból leejtett tárgy esetén ez a következőre egyszerűsödik: $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Miért lehet az elmozdulás néha negatív?

Ennél a kalkulátornál a lefelé irányuló elmozdulás pozitív. A negatív elmozdulás azt jelenti, hogy a tárgy az elengedési pont felett van; ez akkor fordul elő, ha felfelé dobták, és még nem esett vissza. Dobjon fel egy labdát 10 m/s kezdősebességgel, és ellenőrizze 1 másodperc múlva: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, vagyis 5,10 m-rel magasabban van a kiindulási helyénél.

Mennyi idő alatt esik le egy tárgy adott magasságból?

A távolság képletét időre megoldva, nyugalomból leejtett tárgy esetén azt kapjuk, hogy $t = \sqrt{2d/g}$. Egy 20 méter magas ejtés körülbelül 2,02 másodpercig tart.

Miért 9,80665 m/s² értéket használ ez a kalkulátor 9,8 helyett?

A 9,80665 m/s² a szabványos nehézségi gyorsulás nemzetközileg meghatározott pontos értéke, amelyet 1901-ben fogadtak el. A 9,8 vagy 9,81 értékre kerekítés gyakori a tankönyvekben, és a legtöbb célra elég pontos. A kalkulátor a meghatározott értéket használja, hogy a metrikus és a birodalmi eredmények ugyanazt a fizikai esést írják le; ez nem igaz a kerekített 9,8 m/s² és 32,2 láb/s² értékpárra.

Figyelembe veszi ez a kalkulátor a légellenállást?

Nem. Idealizált, vákuumbeli szabadesést feltételez. Sűrű, tömör tárgyak mérsékelt magasságból történő esésekor pontos eredményt ad, de túlbecsüli a könnyű vagy nagy felületű tárgyak, illetve a nagyon hosszú esések sebességét és megtett útját, amikor a légellenállás jelentőssé válik.