Kalkulator Lengkungan - Hitung Radius, Rentang & Ketinggian

Apa Itu Kalkulator Lengkung?

Kalkulator lengkung menentukan dimensi lengkung lingkaran—jari-jari, bentang, dan tinggi kenaikan—berdasarkan dua nilai mana pun di antaranya. Kalkulator ini juga menghitung panjang busur dan luas lengkung. Arsitek, pembangun, dan penghobi menggunakannya untuk merencanakan pintu, jendela, jembatan, dan elemen taman berbentuk lengkung.

Dimensi Utama Lengkung

Lengkung lingkaran adalah bagian yang dipotong dari tepi lingkaran. Lima pengukuran menggambarkan bentuknya:

• Jari-jari: jarak dari pusat lingkaran ke titik mana pun pada kurva lengkung.
• Bentang: jarak horizontal lurus antara dua ujung bawah lengkung, yang juga disebut lebar.
• Tinggi busur: jarak vertikal dari garis pegas (garis datar yang menghubungkan kedua ujung) ke titik tertinggi busur.
• Panjang busur: jarak sepanjang garis lengkung, dari satu ujung ke ujung lainnya.
• Luas lengkung: luas daerah melengkung yang dibatasi oleh lengkung dan garis tumpuan.

Rumus Dimensi Lengkung

Rumus ini berlaku untuk lengkung lingkaran, yaitu lengkung yang dibentuk dari segmen satu lingkaran. Rumus ini berlaku untuk setiap tinggi kenaikan hingga dua kali jari-jari. Rentang ini mencakup lengkung pintu, jendela, dan jembatan yang umumnya dihitung, serta lengkung tapal kuda, yang kurvanya berlanjut melewati setengah lingkaran.

Rumus tinggi busur (dari jari-jari dan bentang)

$\text{Kenaikan} = \text{Jari-jari} - \sqrt{\text{Jari-jari}^2 - \left(\frac{\text{Bentang}}{2}\right)^2}$

Berlaku jika jari-jari dan bentang bernilai positif serta bentang ≤ 2 × jari-jari.

Rumus jari-jari (dari bentang dan tinggi kenaikan)

$\text{Jari-jari} = \frac{\text{Bentang}^2}{8 \times \text{Kenaikan}} + \frac{\text{Kenaikan}}{2}$

Berlaku jika bentang dan tinggi kenaikan bernilai positif.

Rumus bentang (dari jari-jari dan tinggi kenaikan)

$\text{Bentang} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Jari-jari} \times \text{Kenaikan} - \text{Kenaikan}^2}$

Berlaku jika jari-jari dan tinggi kenaikan bernilai positif serta tinggi kenaikan ≤ 2 × jari-jari.

Rumus panjang busur

$\text{Panjang Busur} = \text{Jari-jari} \times \theta$

Di sini, θ (theta) adalah sudut pusat, dalam radian, yang dibentuk oleh kurva lengkung pada pusat lingkaran. Jika tinggi kenaikan tidak lebih besar daripada jari-jari, lengkung paling besar hanya setengah lingkaran dan θ adalah:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Bentang}}{2 \times \text{Jari-jari}}\right)$

Jika tinggi kenaikan lebih besar daripada jari-jari, lengkung lebih dari setengah lingkaran, dan θ adalah sisa bagian lingkaran:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Bentang}}{2 \times \text{Jari-jari}}\right)$

Kalkulator ini menangani kedua kasus dalam satu langkah, θ = 2 × atan2(Bentang ÷ 2, Jari-jari − Tinggi kenaikan), yang juga tetap akurat pada setengah lingkaran.

Rumus luas lengkung

$\text{Luas Lengkung} = \frac{1}{2} \times \text{Jari-jari}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Bentang} \times (\text{Jari-jari} - \text{Kenaikan})$

Cara Menggunakan Kalkulator Lengkung

Kalkulator ini menyediakan tiga mode, masing-masing untuk satu dimensi yang mungkin belum diketahui.

Hitung tinggi kenaikan, jika jari-jari dan bentang diketahui: masukkan jari-jari dan bentang. Alat ini menampilkan tinggi kenaikan, panjang busur, dan luas lengkung.

Hitung jari-jari, jika bentang dan tinggi kenaikan diketahui: masukkan bentang dan tinggi kenaikan. Alat ini menampilkan jari-jari, panjang busur, dan luas lengkung.

Hitung bentang, jika jari-jari dan tinggi kenaikan diketahui: masukkan jari-jari dan tinggi kenaikan. Alat ini menampilkan bentang, panjang busur, dan luas lengkung.

Kalkulator menolak masukan yang tidak dapat membentuk lengkung nyata. Bentang tidak boleh melebihi dua kali jari-jari, tinggi kenaikan tidak boleh melebihi dua kali jari-jari, dan setiap dimensi harus berupa bilangan positif. Pesan kesalahan ditampilkan jika suatu nilai melanggar salah satu aturan ini.

Contoh perhitungan

Contoh 1: Lengkung Pintu

Sebuah lengkung pintu memiliki bentang 36 inci (91,4 cm) dan tinggi kenaikan 12 inci (30,5 cm).

Jari-jari = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 inci (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radian

Panjang Busur = 19,5 × 2,352 = 45,86 inci (116 cm)

Luas Lengkung = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 inci persegi (2.010 cm²)

Contoh 2: Lengkung Taman

Sebuah lengkung taman memiliki jari-jari 4 kaki (1,2 m) dan bentang 6 kaki (1,8 m).

Tinggi kenaikan = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 kaki (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radian

Panjang Busur = 4 × 1,696 = 6,78 kaki (2,07 m)

Luas Lengkung = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kaki persegi (0,523 m²)

Contoh 3: Lengkung Jembatan

Sebuah lengkung jembatan memiliki bentang 50 kaki (15 m) dan tinggi kenaikan 15 kaki (4,57 m).

Jari-jari = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 kaki (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radian

Panjang Busur = 28,33 × 2,162 = 61,25 kaki (18,7 m)

Luas Lengkung = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kaki persegi (49,6 m²)

Penggunaan Umum Perhitungan Lengkung

Pembangun menggunakan dimensi lengkung untuk memotong bekisting lengkung beton, membuat pola bata atau batu untuk lengkung pasangan, dan merencanakan kelengkungan langit-langit berkubah. Perancang jembatan menggunakan bentang, tinggi kenaikan, dan jari-jari untuk menyeimbangkan distribusi beban dengan ruang bebas. Pekerjaan restorasi mengandalkan rumus yang sama untuk menyesuaikan geometri tepat lengkung bersejarah saat memperbaiki atau membangunnya kembali. Tukang kebun dan orang yang mengerjakan proyek sendiri menggunakannya untuk teralis melengkung, gerbang, dan bukaan dekoratif.

Kalkulator ini hanya mencakup lengkung lingkaran, yaitu lengkung yang dibentuk dari busur satu lingkaran. Lengkung elips, parabola, Gotik, dan katenaria mengikuti kurva yang berbeda dan memerlukan rumus yang berbeda.

Sejarah Singkat Lengkung

Pembangun di Mesopotamia kuno menggunakan bentuk awal menyerupai lengkung sejak 2500 SM, meskipun sebagian besar dibangun dengan teknik corbel—menumpuk batu sehingga setiap lapisan menjorok melewati lapisan di bawahnya—bukan dengan busur sejati. Bangsa Romawi mengembangkan lengkung setengah lingkaran menjadi metode bangunan standar dan menggunakannya pada akuaduk, jembatan, serta bangunan seperti Koloseum. Pembangun Eropa pada Abad Pertengahan mengembangkan lengkung Gotik runcing, yang memungkinkan pembangunan struktur yang lebih tinggi dan ringan. Kemudian, para arsitek kembali menggunakan bentuk setengah lingkaran berdasarkan proporsi yang tepat, sementara material modern seperti baja dan beton bertulang kini memungkinkan lengkung membentang pada jarak yang jauh lebih besar.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan antara tinggi kenaikan dan tinggi lengkung?

Tinggi kenaikan adalah jarak vertikal dari garis tumpuan ke bagian atas kurva lengkung. Tinggi kadang-kadang mengacu pada tinggi total bukaan, termasuk dinding lurus di bawah garis tumpuan.

Apakah kalkulator ini berfungsi untuk semua jenis lengkung?

Tidak. Kalkulator ini hanya berfungsi untuk lengkung lingkaran, yaitu lengkung yang berbentuk seperti segmen lingkaran. Lengkung elips, parabola, Gotik, dan katenaria mengikuti kurva yang berbeda dan memerlukan rumus tersendiri.

Apa hubungan antara bentang dan jari-jari pada lengkung setengah lingkaran?

Pada lengkung setengah lingkaran, jari-jari sama dengan setengah bentang, dan tinggi kenaikan sama dengan jari-jari. Lengkung tersebut membentuk tepat setengah lingkaran.

Mengapa bentang tidak boleh lebih besar daripada dua kali jari-jari?

Bentang yang sama dengan dua kali jari-jari sudah menghasilkan setengah lingkaran, yaitu lengkung terlebar yang mungkin untuk jari-jari tersebut. Bentang yang lebih lebar sama sekali tidak akan muat pada lingkaran.

Mengapa tinggi kenaikan tidak boleh lebih besar daripada dua kali jari-jari (dalam mode hitung bentang)?

Tinggi kenaikan diukur dari garis tumpuan ke titik tertinggi lengkung pada lingkaran yang sama. Dua kali jari-jari adalah tinggi penuh lingkaran tersebut, sehingga tinggi kenaikan yang lebih besar akan menempatkan bagian atas lengkung di luar lingkaran. Tinggi kenaikan antara jari-jari dan dua kali jari-jari diperbolehkan. Lengkung itu kemudian lebih dari setengah lingkaran, seperti bentuk yang digunakan untuk lengkung tapal kuda.

Satuan apa yang digunakan kalkulator?

Satuan konsisten apa pun dapat digunakan—inci, kaki, meter, atau sentimeter. Masukkan setiap nilai dengan satuan yang sama; hasilnya akan menggunakan satuan yang sama, sedangkan luas menggunakan satuan kuadratnya.