Lewati ke konten
🛠️
Whiz Tools

Kalkulator Lingkaran Satuan: Sinus, Kosinus, Tangen Eksak

Masukkan sudut dalam derajat atau radian untuk mendapatkan titiknya pada lingkaran satuan, sinus, kosinus, tangen, sudut acuan, dan kuadrannya. Menyediakan nilai eksak untuk sudut istimewa.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator pemuatan...
📚

Dokumentasi

Kalkulator Lingkaran Satuan

Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal grafik. Kalkulator lingkaran satuan menerima satu sudut dan melaporkan tempat sudut itu bertemu dengan lingkaran: titik (x, y), sinus, kosinus dan tangen, sudut acuan, serta kuadrannya. Halaman ini membaca sudut dalam derajat atau radian dan memberikan nilai eksak seperti √3/2 pada enam belas sudut standar.

Fungsi kalkulator

Pengguna memasukkan satu sudut dan memilih derajat atau radian. Halaman mengembalikan:

  • titik (x, y) tempat sudut memotong lingkaran
  • cos θ, sin θ dan tan θ
  • sudut acuan, dalam derajat dan radian
  • kuadran, atau sumbu jika sudut jatuh tepat pada salah satunya
  • sudut dalam kedua satuan, serta sudut yang sama setelah dilipat menjadi satu putaran

Pada enam belas sudut standar, jawaban ditampilkan dalam bentuk tertutup yang eksak, dengan desimal di bawahnya. Sudut lainnya ditampilkan hingga delapan angka signifikan. Hanya tampilan yang dibulatkan.

Rumus lingkaran satuan

Sudut diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Sinar yang ditarik pada sudut θ memotong lingkaran di satu titik, dan kedua koordinat titik itu adalah kosinus dan sinus:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

dengan xx sebagai koordinat horizontal, yy sebagai koordinat vertikal, dan θ\theta sebagai sudut.

Jari-jarinya adalah 1, sehingga koordinat dan kedua nilai fungsi tersebut merupakan pasangan bilangan yang sama dengan dua nama berbeda. Itulah alasan lingkaran digambar dengan jari-jari 1, bukan ukuran lain. Tangen dibentuk dari pasangan yang sama:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Setiap titik pada lingkaran juga memenuhi teorema Pythagoras, yang diterapkan pada segitiga siku-siku dengan sisi xx dan yy serta hipotenusa 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Derajat dan radian

Halaman menerima salah satu satuan dan melaporkan keduanya. Keduanya berkaitan karena setengah putaran sama dengan π radian:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ dengan $\theta_{\mathrm{deg}}$ sebagai sudut dalam derajat dan $\theta_{\mathrm{rad}}$ sebagai sudut yang sama dalam radian. ### Melipat menjadi satu putaran Sudut dapat bernilai negatif dan dapat melewati satu putaran penuh. Titik pada lingkaran berulang setiap 360°, sehingga halaman terlebih dahulu melipat sudut ke dalam rentang dari 0° hingga, tetapi tidak termasuk, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ dengan $\theta$ sebagai sudut yang diketik, dalam derajat, dan $\theta_0$ sebagai arah yang sama, ditulis dalam satu putaran. 750° dilipat menjadi 30°, dan −30° dilipat menjadi 330°. Pelipatan dilakukan dalam derajat, sehingga sisanya eksak. ### Sudut acuan dan kuadran Sudut acuan adalah sudut lancip antara sinar dan sumbu x. Nilainya tidak pernah lebih dari 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{jika tidak} \end{cases}$$ dengan $\theta_0$ sebagai sudut yang telah dilipat, dalam derajat. Besar sinus, kosinus dan tangen hanya bergantung pada sudut acuan. Kuadran menentukan tandanya. | Kuadran | Sudut yang dilipat | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° hingga 90° | + | + | + | | II | 90° hingga 180° | − | + | − | | III | 180° hingga 270° | − | − | + | | IV | 270° hingga 360° | + | − | − | Sudut 0°, 90°, 180° dan 270° berada pada sumbu. Kuadran adalah wilayah terbuka di antara dua sumbu, sehingga tidak satu pun dari keempat sudut itu berada di dalam kuadran, dan halaman menyebutkan sumbunya alih-alih memilih kuadran di sebelahnya. ### Enam belas sudut standar Lima sudut acuan memiliki bentuk tertutup eksak. | Sudut acuan | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | tidak terdefinisi | Mencerminkan baris-baris tersebut ke tiga kuadran lainnya menghasilkan enam belas sudut: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 dan 330 derajat. Halaman membuatnya dengan memutar titik-titik kuadran pertama seperempat putaran setiap kali, bukan menyalin tabel empat kali, karena kesalahan tanda dapat terjadi saat penyalinan. 15°, 75° dan 105° juga memiliki bentuk tertutup, tetapi berupa bentuk dua suku seperti 2 − √3. Sudut-sudut tersebut berada di luar kelompok ini dan dijawab sebagai desimal. 15° menghasilkan cos 0,96592583, sin 0,25881905 dan tan 0,26794919. ### Contoh: 210 derajat 210° lebih besar dari 180° dan lebih kecil dari 270°, sehingga berada di kuadran III. Mengurangkan 180 menghasilkan sudut acuan 30°. Pada sudut acuan 30°, ketiga besarnya adalah √3/2, 1/2 dan √3/3. Kuadran III membuat kedua koordinat negatif, sehingga titiknya adalah (−√3/2, −1/2). Tangen adalah bilangan negatif dibagi bilangan negatif, sehingga tetap positif sebesar √3/3. Dalam radian, sudutnya adalah 7π/6 dan sudut acuannya adalah π/6. Dalam bentuk desimal, halaman menampilkan cos −0,8660254, sin −0,5 dan tan 0,57735027. 570° dan −150° memberikan jawaban yang sama, karena keduanya dilipat menjadi 210°. ### Konstanta mana yang eksak | Konstanta | Nilai | Eksak? | Sumber | |---|---|---|---| | Derajat dalam satu putaran | 360 | tepat berdasarkan definisi | ISO 80000-3 | | Radian dalam satu putaran | 2π | tepat berdasarkan definisi | ISO 80000-3; Brosur SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | eksak | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | eksak | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | eksak | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | tidak ada nilai | eksak, sebuah titik kutub | NIST DLMF §4,15 | π irasional, sehingga tidak memiliki bentuk desimal atau biner eksak dan setiap nilainya yang disimpan dibulatkan. Halaman mencegah pembulatan itu memengaruhi jawaban dengan dua cara. Pelipatan dilakukan dalam derajat, sehingga 360 habis dibagi tanpa sisa. Sudut standar dibaca dari tabel bentuk tertutup di atas, tidak pernah dari sinus floating-point. ### Membaca sudut yang diketik dalam radian Masukan radian sudah berupa desimal yang dibulatkan. π/2 diketik sebagai 1,5707963267948966, dan jika dikonversi kembali menghasilkan sudut yang berjarak sekitar sepersepuluh triliun derajat dari 90, bukan tepat 90. Karena itu, halaman membaca setiap sudut yang berjarak kurang dari sepersejuta derajat dari sudut standar sebagai sudut tersebut. Toleransi menentukan tabel yang digunakan; toleransi tidak pernah memperluas jawaban. 30,001° tidak menjadi 30°. Sudut di atas satu miliar derajat ditolak. Itu merupakan batas aritmetika, bukan geometri: jarak antara bilangan yang dapat disimpan komputer bertambah seiring ukurannya, dan setelah kira-kira empat setengah miliar derajat, jaraknya lebih besar daripada toleransi sepersejuta derajat, sehingga pelipatan tidak lagi membawa detail yang cukup untuk menentukan nama sudut. Batas satu miliar menyisakan margin di bawah titik tersebut. ### Pertanyaan yang sering diajukan **Untuk apa lingkaran satuan digunakan?** Lingkaran ini mengubah sinus dan kosinus menjadi koordinat. Dengan membaca satu titik dari lingkaran, kedua nilai diperoleh sekaligus, dan gambar tersebut menunjukkan mengapa keduanya berulang setiap putaran penuh serta mengapa tandanya berubah dari satu kuadran ke kuadran berikutnya. **Berapakah nilai eksak sin 30°?** Setengah. cos 30° adalah √3/2, kira-kira 0,8660254, dan tan 30° adalah √3/3, kira-kira 0,57735027. **Mengapa tan 90° tidak terdefinisi?** Tangen adalah sinus dibagi kosinus, dan cos 90° adalah 0. Pembagian dengan nol tidak memiliki jawaban. Halaman menemukan kutub dengan menyebutkan sudutnya, bukan dengan memeriksa apakah tangen yang dihitung menghasilkan angka besar, karena tangen yang curam tepat sebelum 90° tetap merupakan bilangan biasa. **Apa yang dimaksud dengan sudut acuan?** Sudut acuan adalah sudut lancip antara sinar dan sumbu x, sehingga selalu berada antara 0° dan 90°. 150°, 210° dan 330° semuanya memiliki sudut acuan 30°, sehingga sinus dan kosinusnya memiliki tiga besar yang sama dan hanya berbeda tandanya. **Apakah sudut negatif dapat digunakan?** Ya. Sudut negatif berputar searah jarum jam. −30° menunjuk ke arah yang sama dengan 330°, sehingga halaman mengembalikan titik (√3/2, −1/2) dan kuadran IV. **Mengapa halaman menampilkan sudut dua kali?** 750° dan 30° memotong lingkaran di titik yang sama, tetapi keduanya bukan rotasi yang sama. Halaman menampilkan kembali sudut sebagaimana diketik, mengonversinya ke satuan lain, dan menampilkan sudut yang telah dilipat di sebelahnya.