Calcolatore di Alligation — Rapporto di Miscelazione e Quantità

Che cos'è un calcolatore dell'alligazione?

Un calcolatore dell'alligazione calcola il rapporto necessario per miscelare due ingredienti di valore diverso in una miscela che raggiunga un valore obiettivo. Il metodo alla base si chiama alligazione. Si applica a qualsiasi miscela composta da due parti, ad esempio per miscelare una materia prima economica con una costosa o diluire una soluzione concentrata con una diluita, purché entrambi gli ingredienti siano misurati sulla stessa scala.

La formula dell'alligazione

L'alligazione confronta tre numeri sulla stessa scala: un valore di costo inferiore C, un valore di costo superiore D e il valore obiettivo della miscela M, dove C è minore di M e M è minore di D.

$c : d = (D - M) : (M - C)$

dove c è il numero di parti dell’ingrediente meno costoso e d il numero di parti di quello più costoso.

La quota di ciascun ingrediente deriva dalla differenza sul lato opposto rispetto all'obiettivo. Più il valore obiettivo è vicino al valore di un ingrediente, maggiore sarà la quantità necessaria di quell'ingrediente, perché la media deve avvicinarsi a quel valore.

Se è nota anche una quantità totale Q, la quantità di ciascun ingrediente è:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

dove $A_c$ è la quantità dell’ingrediente meno costoso, $A_d$ la quantità di quello più costoso e Q la quantità totale.

La croce dell'alligazione

La formula viene tradizionalmente rappresentata come una croce. I due valori degli ingredienti si trovano a sinistra, l'obiettivo al centro e ciascuna differenza diagonale è scritta nell'angolo opposto.

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

Il valore più costoso si trova in alto a sinistra, quello meno costoso in basso a sinistra e il valore obiettivo al centro. La differenza in alto a destra indica il numero di parti dell’ingrediente più costoso; la differenza in basso a destra indica il numero di parti di quello meno costoso.

Esempio di calcolo

Miscelare un ingrediente da 10 USD con un ingrediente da 30 USD per ottenere una miscela del valore di 20 USD.

Le parti risultano essere meno costoso : più costoso = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1.

I due ingredienti sono necessari in parti uguali. Su un totale di 100 unità, ciò significa 50 unità dell'ingrediente da 10 USD e 50 unità dell'ingrediente da 30 USD. Il valore medio della miscela è esattamente 20 USD.

Spostando l'obiettivo a 25 USD, il rapporto cambia: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15, che si riduce a 1 : 3. L'obiettivo è ora più vicino al valore più alto, quindi la miscela richiede una quantità dell'ingrediente più costoso tre volte superiore a quella dell'ingrediente più economico.

Alligazione alternata e alligazione media

Il metodo precedente si chiama alligazione alterna: sono noti i valori dei due ingredienti e quello obiettivo, mentre il rapporto è sconosciuto. Il problema inverso si chiama alligazione mediale: sono note le quantità e i valori degli ingredienti, mentre il valore della miscela risultante è sconosciuto. L'alligazione mediale corrisponde a una media ponderata:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

dove M è il valore della miscela, q la quantità di un ingrediente e v il suo valore; i pedici indicano il primo e il secondo ingrediente.

I due metodi si verificano a vicenda. Inserendo nella formula della media ponderata le quantità ottenute con un calcolo di alligazione alterna, si deve ottenere nuovamente il valore obiettivo originale.

Dove si usa l'alligazione

• Preparazione galenica. Miscelazione di una preparazione concentrata e di una diluita, come una soluzione al 70% e una al 20%, per raggiungere una concentrazione prescritta. I valori sono percentuali o concentrazioni anziché prezzi, ma l'aritmetica è la stessa.
• Prezzi al dettaglio e delle materie prime. Miscelazione di una materia prima economica e di una di qualità superiore per raggiungere un prezzo di vendita o un costo unitario obiettivo.
• Alimenti, bevande e chimica. Diluizione o arricchimento di una soluzione per raggiungere una concentrazione, una gradazione alcolica o un contenuto di zucchero obiettivo.

La regola richiede una sola proprietà misurata su una scala coerente, quindi gli stessi tre numeri coprono tutti questi casi.

Come usare il calcolatore dell'alligazione

Inserire il valore più basso, il valore più alto e il valore obiettivo della miscela, usando la stessa unità di misura per tutti e tre. I campi non accettano valori inferiori a zero. Aggiungere una quantità totale per visualizzare la quantità esatta necessaria di ciascun ingrediente. L'obiettivo deve trovarsi strettamente tra i due valori degli ingredienti. Un obiettivo esterno a questo intervallo non può essere raggiunto con una miscela dei due ingredienti, mentre un obiettivo uguale a uno dei due non richiede alcuna miscelazione; in entrambi i casi, il calcolatore mostra un messaggio di errore anziché un rapporto.

Domande frequenti

Che cosa succede se il valore obiettivo non è compreso tra i valori dei due ingredienti? Nessuna miscela dei due ingredienti può raggiungerlo. Una miscela di un articolo da 10 USD e di un articolo da 30 USD ha sempre un valore medio compreso tra 10 USD e 30 USD, quindi il calcolatore rifiuta gli obiettivi esterni a questo intervallo. Rifiuta anche un obiettivo uguale a 10 USD o 30 USD, perché tale obiettivo è raggiunto da un solo ingrediente e non c'è alcun rapporto da calcolare.

L'unità di misura è importante? No. Il rapporto dipende solo dalle differenze tra i tre valori, quindi vanno bene prezzi, percentuali e concentrazioni come mg/mL, purché tutti e tre i dati utilizzino la stessa unità di misura.

L'alligazione può gestire tre o più ingredienti? Questo calcolatore risolve il caso con due ingredienti. I problemi con tre o più ingredienti hanno più di una soluzione valida e di solito vengono risolti abbinando gli ingredienti a due a due oppure impostando equazioni lineari.

L'alligazione è la stessa cosa di una media ponderata? Sono operazioni inverse. Una media ponderata, chiamata anche alligazione media, trasforma quantità note in un valore della miscela. L'alligazione alterna determina, a partire da un valore obiettivo, le quantità necessarie per raggiungerlo.

Perché il metodo si chiama alligazione? Il nome deriva dalla parola latina alligare, che significa «legare» o «unire», e descrive il modo in cui il metodo unisce due valori in un unico rapporto obiettivo.

Fonti

• Alligazione — Wikipedia
• Calcolatore dell'alligazione — Omni Calculator