Calcolatore di Curve Verticali - Strumento per Progettazione Stradale e Autostradale

Che cos'è un calcolatore di curve verticali?

Un calcolatore di curve verticali determina le quote, il valore K e i punti principali di una curva verticale, la curva parabolica che gli ingegneri usano per raccordare uniformemente due livellette stradali. Invece di incontrarsi formando un angolo netto, dove la pendenza cambia bruscamente, le due pendenze vengono raccordate in un'unica curva continua. Questo rende la marcia più regolare, consente ai conducenti di vedere abbastanza lontano da potersi fermare in sicurezza e favorisce il corretto drenaggio dell'acqua.

Gli ingegneri usano le curve verticali nella progettazione di strade, vie, ferrovie, piste aeroportuali e aree con quote di progetto, come i parcheggi. Ovunque una strada o un binario debba cambiare pendenza, una curva verticale realizza questa transizione.

Curve a dosso e curve a cunetta

Una curva verticale è di uno dei due tipi, a seconda del confronto tra le livellette prima e dopo la curva. Una pendenza si esprime in percentuale: una pendenza del 3% sale di 3 metri ogni 100 metri percorsi.

• Curva a dosso: la pendenza iniziale è maggiore di quella finale (g₁ > g₂). La strada sale, supera un punto alto e poi scende, come sulla sommità di una collina.
• Curva a cunetta: la pendenza iniziale è minore di quella finale (g₁ < g₂). La strada scende, attraversa un punto basso e poi risale, come sul fondo di un avvallamento.
• Se le due pendenze sono uguali, non serve alcuna curva. La strada è già rettilinea.

Le curve a dosso sono soprattutto importanti per la distanza di visibilità per l'arresto: il conducente deve vedere abbastanza lontano da fermarsi prima di urtare un ostacolo. Le curve a cunetta sono soprattutto importanti per la distanza di visibilità con i fari durante la notte e per il drenaggio, poiché l'acqua si raccoglie nel punto più basso.

Termini principali

• PVI (punto di intersezione verticale): il punto in cui si incontrerebbero le due rette delle livellette se non ci fosse la curva.
• PVC (punto di inizio della curva verticale): il punto in cui inizia la curva.
• PVT (punto di fine della curva verticale): il punto in cui termina la curva.
• Valore K: la lunghezza della curva divisa per la variazione di pendenza. Misura quanto è graduale la curva.
• Progressiva: una misura della distanza lungo l'asse stradale, usata al posto delle semplici coordinate. In questo calcolatore, la progressiva e la quota sono entrambe espresse in metri.

Una curva è normalmente simmetrica: il PVC si trova a metà della lunghezza della curva prima del PVI, mentre il PVT si trova a metà della lunghezza della curva dopo di esso.

Formula della curva verticale

La quota in un punto qualsiasi della curva segue un'equazione quadratica (parabolica):

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = quota alla distanza $x$ dal PVC
• $y_{PVC}$ = quota al PVC
• $g_1$ = pendenza iniziale, espressa come decimale (una pendenza del 3% è 0,03)
• $A$ = differenza algebrica tra le pendenze, $g_2 - g_1$ (in forma decimale)
• $L$ = lunghezza della curva

Formula del valore K

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

Qui $g_1$ e $g_2$ sono percentuali. Un valore K maggiore indica una curva più piatta e graduale. Manuali di progettazione come "A Policy on Geometric Design of Highways and Streets" dell'AASHTO stabiliscono valori K minimi per le strade, in base alla velocità di progetto e al fatto che la curva sia a dosso o a cunetta.

Se $g_1$ è uguale a $g_2$, la variazione di pendenza è nulla e K è indefinito (il calcolatore lo riporta come infinito).

PVC e PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

(Qui $g_1$ e $g_2$ sono percentuali; la divisione per 200 converte la percentuale in decimale e la applica su metà della lunghezza della curva.)

Punto alto o punto basso

Un punto alto (curva a dosso) o un punto basso (curva a cunetta) esiste all'interno della curva ogni volta che le due pendenze hanno segni opposti. La sua distanza dal PVC è:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Si aggiunge $x$ alla progressiva del PVC per ottenere la progressiva del punto alto o basso, poi si usa la formula della quota riportata sopra per trovarne la quota.

Come calcolare una curva verticale

1. Inserire la pendenza iniziale e quella finale, espresse in percentuale. Usare un numero positivo per una pendenza in salita e un numero negativo per una pendenza in discesa.
2. Inserire la lunghezza della curva, in metri.
3. Inserire la progressiva del PVI e la quota del PVI, entrambe in metri.
4. Leggere il tipo di curva (a dosso, a cunetta o nessuno), il valore K e le progressive e le quote del PVC e del PVT.
5. Se le pendenze hanno segni opposti, il calcolatore riporta anche il punto alto o basso.
6. Per trovare la quota in qualsiasi altro punto, inserire una progressiva da verificare. Se tale progressiva cade fuori dalla curva, il calcolatore la segnala come esterna alla curva invece di mostrare un numero.

Esempio svolto: curva a dosso

Una strada sale con una pendenza del 3%, poi scende con una pendenza del −2%. Il PVI si trova alla progressiva 1000,00 m, con quota 150,00 m. La lunghezza della curva è 400 m.

Valore K: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: progressiva $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; quota $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: progressiva $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; quota $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Punto alto: poiché 3 e −2 hanno segno opposto, esiste un punto alto. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m dal PVC, quindi la sua progressiva è $800 + 240 = 1040.00$ m. La sua quota è $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Esempio svolto: curva a cunetta

Una strada scende con una pendenza del −3%, poi sale con una pendenza del 2%. Il PVI si trova alla progressiva 500,00 m, con quota 85,00 m. La lunghezza della curva è 200 m.

Valore K: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: progressiva $= 400.00$ m; quota $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: progressiva $= 600.00$ m; quota $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Punto basso: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m dal PVC, quindi la sua progressiva è $400 + 120 = 520.00$ m. La sua quota è $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Questo punto basso è il punto in cui si raccoglie l'acqua superficiale; pertanto il progettista vi colloca una caditoia, non sul PVI.

Domande frequenti

Che cos'è un valore K nella progettazione delle curve verticali? Il valore K è la lunghezza della curva divisa per la differenza assoluta tra le due pendenze. Indica quanti metri di curva corrispondono a una variazione di pendenza dell'1%. Un valore K maggiore indica una curva più piatta e graduale.

Come si stabilisce se serve una curva a dosso o a cunetta? Confrontare le due pendenze. Se la pendenza iniziale è maggiore di quella finale, si tratta di una curva a dosso. Se la pendenza iniziale è minore di quella finale, si tratta di una curva a cunetta. Con pendenze uguali non serve alcuna curva.

Che cosa succede se la pendenza iniziale e quella finale sono uguali? Non serve alcuna curva verticale, perché la strada è già rettilinea. Il valore K è indefinito perché richiederebbe una divisione per una variazione di pendenza pari a zero.

Come si trova il punto alto o basso di una curva? Esiste solo quando le due pendenze hanno segni opposti. La sua distanza dal PVC è $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Si aggiunge questo valore alla progressiva del PVC per ottenerne la posizione, poi si usa la formula della quota della curva per ricavarne l'altezza.

Perché il punto basso di una curva a cunetta è importante per il drenaggio? L'acqua che scende lungo entrambi i lati della cunetta si raccoglie nel punto basso. Se una caditoia viene collocata sul PVI invece che nel vero punto basso, l'acqua può ristagnare sulla strada, poiché i due punti raramente coincidono.

Una progressiva da verificare può trovarsi al di fuori della curva? Sì. La formula della quota si applica solo tra il PVC e il PVT. Una progressiva al di fuori di questo intervallo non ha una quota definita sulla curva, quindi il calcolatore segnala che si trova al di fuori della curva.

Riferimenti

1. Dipartimento dei trasporti del Texas. Roadway Design Manual, 4.8.2 Vertical Curves. TxDOT Roadway Design Manual: vertical curves — le curve verticali sono semplici parabole; lunghezza della curva L = KA, dove A è la differenza algebrica tra le pendenze in percentuale.
2. Levinson, D., et al. Fundamentals of Transportation, 7,5 Vertical Curves (Engineering LibreTexts). Fundamentals of Transportation: vertical curves — quota y = y_PVC + g₁x + (g₂ − g₁)x²/2 L; punto alto o basso in x = g₁L/(g₁ − g₂); PVC e PVT distano ciascuno L/2 dal PVI.