Calcolatore di Valori Critici | Test Z, Test t, Chi-Quadrato

Un valore critico è il punto di soglia di una distribuzione di probabilità che indica il limite della «regione di rifiuto» in un test d’ipotesi. Se una statistica test supera il valore critico, il risultato viene considerato statisticamente significativo e l’ipotesi nulla viene rifiutata. Questo calcolatore determina i valori critici per i tre test più comuni: il test Z, il test t e il test del chi quadrato.

Che cos’è un valore critico?

In statistica, i ricercatori partono spesso da un’ipotesi nulla, cioè dall’assunzione semplice che non stia accadendo nulla di insolito, per esempio che un nuovo farmaco non abbia alcun effetto. Dai dati campionari si calcola una statistica test, che viene confrontata con un valore critico per decidere se i dati forniscono prove sufficienti contro l’ipotesi nulla.

Il valore critico dipende da tre fattori: il test scelto, il livello di significatività (indicato con α, la lettera greca alfa) e il fatto che il test sia a una coda o a due code. Il livello di significatività è la probabilità di rifiutare erroneamente un’ipotesi nulla vera; spesso viene impostato a 0,05 (5%) o 0,01 (1%).

Un test a una coda verifica la presenza di un effetto in una sola direzione, per esempio «maggiore di». Ha un solo valore critico. Un test a due code verifica la presenza di un effetto in entrambe le direzioni e ha due valori critici, uno su ciascun lato della distribuzione.

Come si calcola un valore critico

1. Scegliere il test: test Z (campioni grandi o varianza della popolazione nota), test t (campioni piccoli con varianza sconosciuta) oppure test del chi quadrato (dati categoriali o bontà dell’adattamento).
2. Scegliere il tipo di coda: a una coda o a due code.
3. Scegliere il livello di significatività α, un numero compreso tra 0 e 1. Le scelte comuni sono 0,10, 0,05 e 0,01.
4. Per un test t o un test del chi quadrato, inserire i gradi di libertà (df). Per un test t, df è uguale alla dimensione del campione meno 1. Per un test del chi quadrato di bontà dell’adattamento, df è uguale al numero di categorie meno 1.
5. Individuare (o calcolare) il valore che delimita l’area della coda scelta sotto la curva della distribuzione. Questo è il valore critico.

Formule dei valori critici

Ogni formula usa l’inversa di una funzione di distribuzione cumulativa: il valore di x per il quale l’area sotto la curva fino a x è uguale a una probabilità obiettivo p.

Formula del test Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(a una coda)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(a due code)}$

Φ⁻¹ è l’inversa della funzione di distribuzione cumulativa normale standard.

Formula del test t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(a una coda)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(a due code)}$

t⁻¹(p, df) è l’inversa della funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione t con df gradi di libertà.

Formula del test del chi quadrato

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(a una coda)}$ $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(a due code)}$

La distribuzione del chi quadrato assume solo valori positivi, quindi entrambi i valori critici sono positivi e quello inferiore è minore di quello superiore.

Esempio: valore critico del test Z

Un team di controllo qualità vuole determinare il valore critico di un test Z a una coda con α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Qualsiasi statistica test superiore a 1,6449 rientra nella regione di rifiuto.

Esempio: valore critico del test t

Un ricercatore conduce un esperimento con 20 partecipanti, quindi df = 19. Vuole un valore critico per un test a due code con α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Le regioni di rifiuto sono t < -2,8609 e t > 2,8609.

Esempio: valori critici del chi quadrato

Un analista confronta i conteggi osservati e attesi in 5 categorie, quindi df = 4. Vuole valori critici per un test a due code con α = 0,05.

$\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Una statistica del chi quadrato inferiore a 0,4844 o superiore a 11,1433 rientrerebbe nella regione di rifiuto.

Valori critici comuni

Quando i gradi di libertà aumentano, i valori critici della distribuzione t si avvicinano a quelli corrispondenti del test Z, perché la distribuzione t tende alla distribuzione normale.

Domande frequenti

A cosa serve un valore critico?
Stabilisce il limite per decidere se una statistica test è abbastanza estrema da rifiutare l’ipotesi nulla. Se la statistica supera il valore critico, il risultato è statisticamente significativo al livello α scelto.

Qual è la differenza tra un valore critico per un test a una coda e uno per un test a due code?
Un test a una coda cerca un effetto in una sola direzione e ha un unico valore critico. Un test a due code cerca un effetto in entrambe le direzioni e ha due valori critici, disposti simmetricamente intorno al centro per il test Z e il test t. A parità di α, il valore critico di un test a due code ha un valore assoluto maggiore rispetto a quello di un test a una coda, perché la stessa probabilità totale viene suddivisa tra due code invece che concentrata in una sola.

Quando si dovrebbe usare un test Z invece di un test t?
Il test Z viene usato quando la varianza della popolazione è nota o quando il campione è grande, in genere con almeno 30 osservazioni. Il test t viene usato per campioni più piccoli con varianza della popolazione sconosciuta. Quando la dimensione del campione aumenta, i valori critici del test t convergono verso quelli del test Z.

Un valore critico può essere negativo?
Sì. Le distribuzioni del test Z e del test t sono simmetriche intorno allo zero, quindi un test a due code ha un valore critico negativo e uno positivo. I valori critici del chi quadrato sono sempre positivi, perché la distribuzione del chi quadrato è definita solo per valori pari o superiori a zero.

In che modo i gradi di libertà influiscono sul valore critico?
I gradi di libertà misurano la quantità di informazioni indipendenti presenti nei dati, solitamente la dimensione del campione meno il numero di parametri già stimati. Un numero inferiore di gradi di libertà produce distribuzioni più ampie e con code più pesanti, oltre a valori critici maggiori. Un numero superiore di gradi di libertà avvicina la distribuzione t e quella del chi quadrato alla distribuzione normale.

Quale valore critico corrisponde a un livello di confidenza del 95%?
Un livello di confidenza del 95% usa α = 0,05. Per un test Z a due code, i valori critici sono ±1,9600. Per un test Z a una coda, il valore critico è 1,6449.

Storia

Karl Pearson introdusse il test del chi quadrato nel 1900. William Sealy Gosset, pubblicando con lo pseudonimo «Student», sviluppò la distribuzione t nel 1908 per gestire campioni piccoli presso il birrificio Guinness. Ronald Fisher formalizzò i test di significatività e i valori critici negli anni Venti nel suo libro Statistical Methods for Research Workers. Prima dei computer, i ricercatori cercavano i valori critici in tabelle stampate; oggi calcolatori e software li determinano direttamente dalle formule delle distribuzioni.

Riferimenti

1. Pearson, K. (1900). "On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). "The probable error of a mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, "Critical Values."