Calcolatore di Valori Critici | Test Z, Test t, Chi-Quadrato

Un valore critico è il punto di soglia di una distribuzione di probabilità che segna il limite della «regione di rifiuto» in un test di ipotesi. Se la statistica del test supera il valore critico, il risultato è considerato statisticamente significativo e l'ipotesi nulla viene rifiutata. Questo calcolatore trova i valori critici dei tre test più comuni: il test Z, il test t e il test chi quadrato.

Che cos'è un valore critico?

In statistica, i ricercatori partono spesso da un'ipotesi nulla, una semplice assunzione secondo cui non accade nulla di insolito (per esempio, che un nuovo farmaco non abbia effetto). Si calcola una statistica del test dai dati del campione e la si confronta con un valore critico per decidere se i dati forniscano prove sufficienti contro l'ipotesi nulla.

Il valore critico dipende da tre elementi: la scelta del test, il livello di significatività (indicato con α, la lettera greca alfa) e il fatto che il test sia a una coda o a due code. Il livello di significatività è la probabilità di rifiutare per errore un'ipotesi nulla vera, spesso fissato a 0,05 (5%) o a 0,01 (1%).

Un test a una coda verifica la presenza di un effetto in una sola direzione, per esempio «maggiore di». Ha un solo valore critico. Un test a due code verifica la presenza di un effetto in entrambe le direzioni e ha due valori critici, uno per ciascun lato della distribuzione.

Come calcolare un valore critico

1. Scegliere il test: test Z (campioni grandi o varianza della popolazione nota), test t (campioni piccoli con varianza ignota) o test chi quadrato (dati categoriali o bontà di adattamento).
2. Scegliere il tipo di coda: a una coda o a due code.
3. Scegliere il livello di significatività α, un numero compreso tra 0 e 1. Le scelte più comuni sono 0,10, 0,05 e 0,01.
4. Per un test t o un test chi quadrato, inserire i gradi di libertà (gl). Per un test t, i gradi di libertà sono pari alla dimensione del campione meno 1. Per un test chi quadrato di bontà di adattamento, i gradi di libertà sono pari al numero di categorie meno 1.
5. Cercare (o calcolare) il valore che delimita l'area di coda scelta sotto la curva della distribuzione. Questo è il valore critico.

Formule del valore critico

Ogni formula usa l'inversa di una funzione di distribuzione cumulativa: il valore di x per cui l'area sotto la curva fino a x è uguale a una probabilità obiettivo p.

Formula del test Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(a una coda)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(a due code)}$

Φ⁻¹ è l'inversa della funzione di distribuzione cumulativa normale standard.

Formula del test t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(a una coda)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(a due code)}$

t⁻¹(p, gl) è l'inversa della funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione t con gl gradi di libertà.

Formula del test chi quadrato

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(a una coda)}$ $\chi^2_{\text{inferiore}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{superiore}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(a due code)}$

La distribuzione chi quadrato assume solo valori positivi, quindi entrambi i valori critici sono positivi e quello inferiore è minore di quello superiore.

Esempio pratico: valore critico del test Z

Un gruppo di controllo qualità vuole un valore critico del test Z a una coda con α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Qualsiasi statistica del test superiore a 1,6449 cade nella regione di rifiuto.

Esempio pratico: valore critico del test t

Un ricercatore conduce un esperimento con 20 partecipanti, quindi gl = 19. Vuole un valore critico a due code con α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Le regioni di rifiuto sono t < -2,8609 e t > 2,8609.

Esempio pratico: valori critici del chi quadrato

Un analista confronta i conteggi osservati e attesi in 5 categorie, quindi gl = 4. Vuole valori critici a due code con α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inferiore}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{superiore}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Una statistica chi quadrato inferiore a 0,4844 o superiore a 11,1433 cadrebbe nella regione di rifiuto.

Valori critici comuni

All'aumentare dei gradi di libertà, i valori critici della distribuzione t diminuiscono avvicinandosi ai valori corrispondenti del test Z, perché la distribuzione t tende alla distribuzione normale.

Domande frequenti

A che cosa serve un valore critico? Stabilisce il limite per decidere se una statistica del test sia abbastanza estrema da rifiutare l'ipotesi nulla. Se la statistica supera il valore critico, il risultato è statisticamente significativo al livello α scelto.

Qual è la differenza tra un valore critico a una coda e uno a due code? Un test a una coda cerca un effetto in una sola direzione e ha un unico valore critico. Un test a due code cerca un effetto in entrambe le direzioni e ha due valori critici, posti simmetricamente rispetto al centro per il test Z e il test t. A parità di α, un valore critico a due code è più grande in valore assoluto di uno a una coda, perché la stessa probabilità totale è suddivisa su due code invece che su una.

Quando si usa un test Z al posto di un test t? Si usa un test Z quando la varianza della popolazione è nota o il campione è grande, in genere di 30 o più osservazioni. Si usa un test t per campioni più piccoli con varianza della popolazione ignota. Al crescere della dimensione del campione, i valori critici del test t convergono verso quelli del test Z.

Un valore critico può essere negativo? Sì. Le distribuzioni del test Z e del test t sono simmetriche rispetto allo zero, quindi un test a due code ha un valore critico negativo e uno positivo. I valori critici del chi quadrato sono sempre positivi, perché la distribuzione chi quadrato è definita solo per valori pari o superiori a zero.

Come influiscono i gradi di libertà su un valore critico? I gradi di libertà misurano quante informazioni indipendenti sono presenti nei dati, di solito la dimensione del campione meno il numero di parametri già stimati. Pochi gradi di libertà producono distribuzioni più larghe, con code più pesanti, e valori critici più grandi. Molti gradi di libertà avvicinano la distribuzione t e la distribuzione chi quadrato alla distribuzione normale.

Quale valore critico corrisponde a un livello di confidenza del 95%? Un livello di confidenza del 95% usa α = 0,05. Per un test Z a due code, i valori critici sono ±1,9600. Per un test Z a una coda, il valore critico è 1,6449.

Cenni storici

Karl Pearson introdusse il test chi quadrato nel 1900. William Sealy Gosset, che pubblicava con lo pseudonimo «Student», sviluppò la distribuzione t nel 1908 per gestire i campioni piccoli al birrificio Guinness. Ronald Fisher formalizzò i test di significatività e i valori critici negli anni 1920 nel suo libro Statistical Methods for Research Workers. Prima dei computer, i ricercatori consultavano i valori critici in tabelle stampate; oggi calcolatori e software li calcolano direttamente dalle formule delle distribuzioni.

Riferimenti

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.1: Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabella normale standard del NIST — valori critici ±1,282, ±1,645, ±1,960, ±2,326, ±2,576.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.2: Critical Values of the Student's t Distribution. Tabella della distribuzione t del NIST — gl 10: 1,812 e 2,228; gl 19: 2,861 a 0,995; gl 30: 1,697 e 2,042.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.4: Critical Values of the Chi-Square Distribution. Tabella del chi quadrato del NIST — gl 4: 0,484 e 11,143; gl 9: 2,700 e 19,023.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Karl Pearson. Biografia di Karl Pearson — il test chi quadrato di significatività statistica (1900).
5. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. William Gosset. Biografia di William Gosset — scriveva con lo pseudonimo "Student"; inventò il test t per gestire i campioni piccoli nel controllo qualità della produzione di birra alla Guinness.
6. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. R A Fisher. Biografia di R A Fisher — Statistical Methods for Research Workers (1925).