Calcolatore Z-Score - Strumento per Punteggio Standard e Probabilità

Che cos’è uno z-score?

Lo z-score, chiamato anche punteggio standard, misura quante deviazioni standard separano un dato dalla media di un insieme di dati. Uno z-score pari a 0 significa che il valore è uguale alla media. Uno z-score positivo indica che il valore è superiore alla media, mentre uno z-score negativo indica che è inferiore.

Formula dello z-score

Lo z-score di un dato si calcola con questa formula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Dove:

• $z$ è lo z-score
• $x$ è il dato
• $\mu$ è la media dell’insieme di dati
• $\sigma$ è la deviazione standard dell’insieme di dati

La deviazione standard non può essere zero, perché la divisione per zero non ha un risultato definito. Non può nemmeno essere negativa, poiché, per definizione, una deviazione standard è sempre zero o positiva.

Come calcolare uno z-score

1. Trovare la media dell’insieme di dati sommando tutti i valori e dividendo per il numero di valori, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Trovare la deviazione standard. Calcolare prima la varianza, cioè la media dei quadrati delle differenze dalla media, quindi estrarne la radice quadrata.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Questa è la deviazione standard della popolazione, che divide per $n$. Quando i numeri costituiscono un campione estratto da un gruppo più ampio, si divide invece per $n - 1$.

3. Sottrarre la media dal dato e dividere per la deviazione standard.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Esempio svolto

Uno studente ottiene 85 in un test. La media della classe è 75 e la deviazione standard dei punteggi della classe è 10.

• Dato: $x = 85$
• Media: $\mu = 75$
• Deviazione standard: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Lo z-score dello studente è 1,0. Il suo punteggio è una deviazione standard al di sopra della media della classe.

Z-score e probabilità cumulativa

Uno z-score può essere convertito in una probabilità cumulativa, cioè la probabilità che un valore scelto casualmente da una distribuzione normale si trovi in quel punto o al di sotto di esso. Si tratta dell’area sotto la curva normale standard a sinistra di $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Per lo z-score dello studente, pari a 1,0, la probabilità cumulativa è circa 0,8413, ovvero l’84,13%. Ciò significa che lo studente ha ottenuto un punteggio superiore a quello di circa l’84% della classe, supponendo che i punteggi seguano una distribuzione normale. Il calcolatore mostra lo z-score con quattro cifre decimali e la probabilità cumulativa come percentuale con due cifre decimali.

Alcuni valori di riferimento:

Come interpretare uno z-score

La maggior parte dei valori di una distribuzione normale si trova entro 2 deviazioni standard dalla media. Gli z-score superiori a +3 o inferiori a -3 sono rari e spesso vengono considerati valori anomali, cioè valori che differiscono nettamente dal resto dei dati.

Gli z-score permettono inoltre di confrontare valori misurati su scale diverse. Un punteggio di un test e una misurazione dell’altezza non possono essere confrontati direttamente, ma è possibile confrontare i relativi z-score, perché entrambi descrivono la distanza dalla media nelle stesse unità di deviazione standard.

Z-score e t-score a confronto

Lo z-score presuppone che la deviazione standard della popolazione sia nota e funziona meglio con campioni di grandi dimensioni. Il t-score viene usato quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta e il campione è piccolo, in genere con meno di 30 osservazioni. Entrambi descrivono la distanza dalla media, ma il t-score deriva dalla distribuzione t, che presenta code più pesanti per tenere conto dell’incertezza aggiuntiva di un campione piccolo.

Usi comuni degli z-score

• Test standardizzati. Confronto del punteggio grezzo di uno studente con la distribuzione complessiva dei punteggi.
• Rilevamento dei valori anomali. Individuazione dei dati molto lontani dalla media di un insieme di dati.
• Controllo della qualità. Verifica che un prodotto fabbricato rientri in un intervallo accettabile.
• Verifica delle ipotesi. I test z usano gli z-score per valutare se la media di un campione differisce in modo significativo dalla media nota della popolazione.

Storia

Lo z-score si basa sulla distribuzione normale, descritta da Abraham de Moivre nel 1733 e sviluppata ulteriormente da Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace all’inizio del 19° secolo. La standardizzazione dei valori in unità di deviazione standard è diventata una pratica comune nei test psicologici e nel controllo della qualità durante il 20° secolo.

Domande frequenti

Che cos’è uno z-score in statistica?
Uno z-score indica il numero di deviazioni standard che separano un dato dalla media del relativo insieme di dati. Si calcola con la formula z = (x − μ) / σ.

Come si interpreta il risultato di uno z-score?
Uno z-score pari a 0 significa che il valore è uguale alla media. Un valore positivo è superiore alla media, mentre un valore negativo è inferiore. I valori superiori a +3 o inferiori a -3 sono insoliti.

Uno z-score può essere negativo?
Sì. Uno z-score negativo significa semplicemente che il dato è inferiore alla media. Uno z-score pari a -2 indica che il valore è 2 deviazioni standard al di sotto della media.

Qual è la differenza tra uno z-score e un t-score?
Lo z-score viene usato con campioni grandi quando la deviazione standard della popolazione è nota. Il t-score viene usato con campioni piccoli, generalmente con meno di 30 osservazioni, quando la deviazione standard non è nota.

Che cosa significa probabilità cumulativa per uno z-score?
È la probabilità che un valore scelto casualmente da una distribuzione normale sia minore o uguale allo z-score indicato. Corrisponde all’area sotto la curva normale a sinistra di quel punto.

Che cosa succede se la deviazione standard è zero?
Lo z-score non è definito, perché la formula richiederebbe una divisione per zero. Una deviazione standard pari a zero significa che tutti i valori dell’insieme di dati sono identici.

Riferimenti

1. Punteggio standard, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Distribuzione normale e z-score, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review