Calcolatore Z-Score - Strumento per Punteggio Standard e Probabilità

Che cos'è un punteggio z?

Un punteggio z, detto anche punteggio standard, misura di quante deviazioni standard un dato si discosta dalla media di un insieme di dati. Un punteggio z pari a 0 significa che il valore è uguale alla media. Un punteggio z positivo significa che il valore è superiore alla media, e un punteggio z negativo significa che è inferiore alla media.

Formula del punteggio z

Il punteggio z di un dato si calcola con questa formula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Dove:

• $z$ è il punteggio z
• $x$ è il dato
• $\mu$ è la media dell'insieme di dati
• $\sigma$ è la deviazione standard dell'insieme di dati

La deviazione standard non può essere zero, perché la divisione per zero non ha un risultato definito. Non può nemmeno essere negativa, poiché per definizione una deviazione standard è sempre nulla o positiva.

Come calcolare un punteggio z

1. Trovare la media dell'insieme di dati sommando tutti i valori e dividendo per il numero di valori, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Trovare la deviazione standard. Calcolare prima la varianza, cioè la media dei quadrati degli scarti dalla media, poi farne la radice quadrata.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Sottrarre la media dal dato e dividere per la deviazione standard.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Esempio pratico

Uno studente ottiene 85 in una prova. La media della classe è 75 e la deviazione standard dei punteggi della classe è 10.

• Dato: $x = 85$
• Media: $\mu = 75$
• Deviazione standard: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Il punteggio z dello studente è 1,0. Il suo punteggio è superiore di una deviazione standard alla media della classe.

Punteggio z e probabilità cumulata

Un punteggio z può essere convertito in una probabilità cumulata, cioè la probabilità che un valore scelto a caso da una distribuzione normale sia minore o uguale a quel punto. Corrisponde all'area sotto la curva normale standard a sinistra di $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Per il punteggio z dello studente pari a 1,0, la probabilità cumulata è circa 0,8413, ovvero l'84,1%. Il calcolatore mostra il punteggio z con quattro cifre decimali e la probabilità in percentuale con due cifre decimali, quindi questo esempio visualizza 1,0000 e 84,13%. Ciò significa che lo studente ha ottenuto un risultato migliore di circa l'84% della classe, ipotizzando che i punteggi seguano una distribuzione normale.

Alcuni punti di riferimento:

Interpretare un punteggio z

In una distribuzione normale, circa il 95% dei valori si trova entro 2 deviazioni standard dalla media e circa il 99,7% entro 3. Questa è detta regola empirica, o regola 68-95-99,7. I punteggi z oltre +3 o -3 sono quindi rari e spesso vengono controllati come possibili valori anomali, cioè valori che differiscono nettamente dal resto dei dati.

I punteggi z permettono anche di confrontare valori misurati su scale diverse. Un punteggio di un test e una misura di altezza non possono essere confrontati direttamente, ma i loro punteggi z sì, perché entrambi descrivono la distanza da una media nelle stesse unità di deviazione standard.

Punteggio z e punteggio t

Un punteggio z usa la deviazione standard della popolazione, quindi presuppone che tale valore sia noto. Un punteggio t si usa quando la deviazione standard della popolazione è ignota e al suo posto si impiega la deviazione standard campionaria. Una regola empirica più datata prevedeva la distribuzione t solo per campioni di 30 elementi o meno, ma la prassi attuale è usarla ogni volta che la deviazione standard campionaria stima il valore della popolazione. La distribuzione t ha code più spesse della curva normale, il che tiene conto dell'incertezza aggiuntiva.

Usi comuni dei punteggi z

• Test standardizzati. Confronto del punteggio grezzo di uno studente con la distribuzione complessiva dei punteggi.
• Individuazione dei valori anomali. Segnalazione, in un insieme di dati, dei dati lontani dalla media.
• Controllo qualità. Verifica che un articolo prodotto rientri in un intervallo accettabile.
• Verifica delle ipotesi. I test z usano i punteggi z per giudicare se la media di un campione differisce in modo significativo da una media nota della popolazione.

Cenni storici

Il punteggio z si basa sulla distribuzione normale. Abraham de Moivre ricavò la curva normale nel 1733 come approssimazione della distribuzione binomiale. Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace la svilupparono ulteriormente.

Domande frequenti

Che cos'è un punteggio z in statistica? Un punteggio z è il numero di deviazioni standard che separa un dato dalla media del proprio insieme di dati. Si ricava con la formula z = (x − μ) / σ.

Come si interpreta il risultato di un punteggio z? Un punteggio z pari a 0 significa che il valore è uguale alla media. Un valore positivo è superiore alla media e un valore negativo è inferiore. I valori oltre +3 o -3 sono insoliti.

Un punteggio z può essere negativo? Sì. Un punteggio z negativo significa semplicemente che il dato è inferiore alla media. Un punteggio z pari a -2 significa che il valore si trova a 2 deviazioni standard sotto la media.

Qual è la differenza tra un punteggio z e un punteggio t? Un punteggio z si usa quando la deviazione standard della popolazione è nota. Un punteggio t si usa quando non è nota e si impiega invece la deviazione standard campionaria, qualunque sia la dimensione del campione.

Che cosa significa probabilità cumulata per un punteggio z? È la probabilità che un valore scelto a caso da una distribuzione normale sia minore o uguale al punteggio z dato. Equivale all'area sotto la curva normale a sinistra di quel punto.

Che cosa succede se la deviazione standard è zero? Il punteggio z è indefinito, perché la formula richiederebbe una divisione per zero. Una deviazione standard pari a zero significa che tutti i valori dell'insieme di dati sono identici.

Riferimenti

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. La distribuzione normale standard — la formula del punteggio z z = (x − μ)/σ e la regola empirica 68-95-99,7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabella della normale standard — area sotto la curva normale da 0 a z (0,34134 per z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Distribuzione t di Student — quando usare t anziché z, e le sue code più spesse.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. Biografia di Abraham de Moivre — la derivazione della curva normale di de Moivre nel 1733.