互いに素の数の計算機

互いに素な数とは、共通する正の約数が1しかない2つ以上の整数のことです。この計算機は、入力された数の最大公約数(GCD)を求めることで、それらが互いに素かどうかを調べます。GCDが1であれば、その数は互いに素です。

互いに素な数は、相互素数と呼ばれることもあります。

互いに素とはどういう意味か

2つの整数は、1より大きい整数でその両方を割り切れるものが存在しないとき、互いに素です。数自体が素数である必要はありません。例えば、8と15は互いに素です。8の約数は1、2、4、8であり、15の約数は1、3、5、15です。共通する約数は1だけなので、これらは互いに素です。

一方、12と18は互いに素ではありません。どちらも2、3、6で割り切れるため、最大公約数は6になります。

数が互いに素かどうかを調べる方法

すべての数の最大公約数(GCD)を求めます。GCDとは、すべての数を余りなく割り切れる最大の整数のことです。
GCDを1と比較します。GCDが1に等しければ、その数は互いに素です。GCDが1より大きければ、互いに素ではありません。

複数の数からなるグループのGCDは、ユークリッドの互除法を2つの数ずつに適用して求めます。a、b、cという3つの数のGCDは、GCD(GCD(a, b), c)です。

互いに素の公式

数 a₁, a₂, …, aₙ が互いに素であるとは、次の式が成り立つときです。

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

計算例

6、10、15が互いに素かどうかを調べます。

GCD(6, 10) = 2
GCD(2, 15) = 1

3つの数すべての最大公約数は1なので、6、10、15は集合として互いに素です。

ただし、この3つの数は対ごとには互いに素ではありません。6と10は因数2を共有し、6と15は因数3を共有し、10と15は因数5を共有しています。集合として互いに素であること(すべての数を合わせたGCDが1であること)は、対ごとに互いに素であること(すべての組のGCDが1であること)よりも緩い条件です。この計算機は両方の結果を表示します。

対ごとの互いに素と集合としての互いに素

数のグループは、グループ全体のGCDが1であるとき集合として互いに素です。グループ内のあらゆる組のGCDが1であるとき対ごとに互いに素です。対ごとに互いに素な数は常に集合としても互いに素ですが、上の例が示すように、その逆は必ずしも成り立ちません。

よくある質問

1はどんな数とも互いに素ですか?

はい。1はどんな整数とも1より大きい因数を共有しないため、1自身を含むすべての整数と互いに素です。

互いに素な数は素数である必要がありますか?

いいえ。互いに素な数は合成数でもかまいません。8と15はどちらも合成数ですが、1以外の共通の因数を持たないため互いに素です。

異なる2つの素数は常に互いに素ですか?

はい。異なる2つの素数は1以外に共通の因数を持たないため、どのような2つの異なる素数も互いに素です。

負の数も互いに素になりますか?

互いに素の概念は、通常は正の整数に対して定義されます。この計算機では、1以上の正の整数のみを受け付けます。

GCDと互いに素の違いは何ですか?

GCDは、入力されたすべての数を割り切る最大の数です。「互いに素」は、そのGCDが1に等しい特別な場合を指します。

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