格子エネルギー計算ツール | 無料のボルン・ランデ方程式ツール

格子エネルギーとは何か？

格子エネルギーとは、気相中で別々に存在するイオンが集まり、固体のイオン化合物1モルを形成するときに放出されるエネルギーです。格子エネルギー計算機は、イオンの電荷、イオンの大きさ、およびボルン指数と呼ばれる調整可能なパラメーター1つから、ボルン–ランデ式を用いてこの値を推定します。

格子エネルギーが表す過程は次のとおりです。

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

ここで$M^{n+}$は金属陽イオン（正に帯電したイオン）、$X^{n-}$は非金属陰イオン（負に帯電したイオン）です。イオンが結晶中に固定されると、系の外へエネルギーが流れ出すため、格子エネルギーは常に負です。化学者は、エネルギーを放出する過程を「発熱過程」と呼びます。

格子エネルギーの大きさを決める要因は3つあります。

1. イオンの電荷。 電荷が大きいイオンほど、互いに強く引き合います。
2. イオンの大きさ。 小さいイオンは互いに近づくことができるため、引力が強くなります。
3. 結晶構造。 イオンが形成する幾何学的な配列によって、各イオンを取り囲む隣接イオンの数が変わります。この影響はマーデルング定数と呼ばれる数で表されます。

格子エネルギーの式（ボルン–ランデ式）

ボルン–ランデ式は、物理学者のマックス・ボルンとアルフレート・ランデが1918年に発表したもので、次のとおりです。

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

ここで、

• $U$ = 格子エネルギー（キロジュール毎モル、kJ/mol）
• $N_0$ = アボガドロ定数、モルあたり6.022 × 10²³（この値と$e$、$\varepsilon_0$は、丸めたCODATA値です）
• $A$ = マーデルング定数（この計算機では1.7476を使います。これは、NaCl、MgO、その他多くの単純な塩に共通する岩塩型構造の値1.74756です）
• $z_1$、$z_2$ = 陽イオンと陰イオンの電荷
• $e$ = 1個の電子の電荷、1.602 × 10⁻¹⁹クーロン
• $\varepsilon_0$ = 真空の誘電率、8.854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = イオン間距離、2つのイオンの中心間の距離
• $n$ = ボルン指数。イオンが押し縮められることにどれだけ強く抵抗するかを表す数です（通常は5から12の間）

式の前半部分は、異符号の二つの電荷の間にはたらく引力を計算します。項 $(1 - 1/n)$ は、イオンの電子雲が重なり始めたときに生じる反発の分を差し引きます。

イオン間距離

イオンの中心間距離$r_0$は、2つのイオン半径の和です。

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

イオン半径は通常ピコメートル（pm）で表されます。1ピコメートルは1メートルの1兆分の1です。

格子エネルギーの計算方法

1. 陽イオンの電荷を正の整数で入力します（Na⁺では1、Mg²⁺では2）。
2. 陰イオンの電荷を負の整数で入力します（Cl⁻では-1、O²⁻では-2）。
3. 陽イオンの半径をピコメートル単位で入力します。
4. 陰イオンの半径をピコメートル単位で入力します。
5. ボルン指数を入力します。9という値は多くの化合物に適しています。指数をちょうど1にすることはできません。
6. 結果パネルでイオン間距離と格子エネルギーを確認します。

例：塩化ナトリウム（NaCl）の格子エネルギー

食塩として一般的な塩化ナトリウムは、イオンが1価の電荷を持つため、最初の例として適しています。

• 陽イオンの電荷：+1（Na⁺）
• 陰イオンの電荷：-1（Cl⁻）
• 陽イオン半径：102 pm（六配位のNa⁺、シャノン半径）
• 陰イオン半径：181 pm（六配位のCl⁻）
• ボルン指数：9

手順1：イオン間距離を求める。

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

手順2：ボルン–ランデ式を適用する。

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

これは、熱化学サイクルによる786 kJ/molという値（この符号規則では−786 kJ/mol）に近いものの、同じではありません。その値は、この式からではなく、ボルン–ハーバーサイクルを通じて実験的な熱力学データから得られたものです。差が生じるのは、ボルン–ランデ式がイオンを完全な剛体球として扱い、結晶全体で一つの反発指数を用いるためです。そのため、この式は現実と正確に一致するものではなく、近似です。

例：酸化マグネシウム（MgO）の格子エネルギー

酸化マグネシウムは二価のイオンを持つため、比較に適しています。

• 陽イオンの電荷：+2（Mg²⁺）、半径72 pm
• 陰イオンの電荷：-2（O²⁻）、半径140 pm
• ボルン指数：9
• イオン間距離：72 pm + 140 pm = 212 pm

これらの数値を同じ式に入れると、格子エネルギーは約-4071 kJ/molとなり、NaClの値より負の方向に五倍以上大きくなります。熱化学サイクルによる値は3791 kJ/mol、この符号規則では−3791 kJ/molです。両方のイオンの電荷を二倍にすると、式が$z_1$と$z_2$を掛け合わせるため、静電引力はおよそ四倍になります。さらに、MgOではイオン間距離が短いため、引力はいっそう強まります。

一般的なイオン半径とボルン指数

陽イオンの代表的な半径

陰イオンの代表的な半径

これらは、岩塩型構造に見られる配位である六配位のシャノンイオン半径です。ボルン指数は通常5から12の間で、この計算機の既定値は9です。

格子エネルギーに影響する要因

格子エネルギーは、化学者が直接測定できるいくつかの性質と関係しています。

• 融点。 イオン間の引力が強いほど、通常は融点が高くなります。酸化マグネシウムのイオンは塩化ナトリウムのイオンの二倍の電荷を持ち、距離も近いため、MgOの格子エネルギーははるかに大きな負の値になります。これが、MgOが約2825 °Cで融解するのに対し、NaClが約801 °Cで融解する理由の一部です。
• 硬さ。 格子エネルギーが高い結晶ほど、引っかき傷や変形に強い傾向があります。
• 溶解度。 格子エネルギーが非常に高い化合物は、水に溶けにくいことがよくあります。結晶を壊すには、イオンを取り囲む水分子が供給できる以上のエネルギーが必要になるためです。

格子エネルギーは、元素からイオン化合物が生成するときのエネルギー変化を求めるために化学者が使う収支計算の方法、ボルン–ハーバーサイクルの1項でもあります。

ボルン–ランデ式とこの計算機の限界

この計算機は、常に岩塩型構造のマーデルング定数（1.7476）を使います。この値は、NaClやMgOと同じ形式で結晶化する化合物には正しいものの、塩化セシウム（1.76267）やフッ化カルシウム（2.51939）のように、マーデルング定数が異なる別の構造の化合物には正しくありません。また、ボルン–ランデ式はイオンを完全な球とみなし、共有結合性などの影響を無視するため、結果は厳密な実験値ではなく、近い推定値です。

よくある質問

格子エネルギーを簡単に言うと？ イオンと呼ばれる帯電粒子が集まり、固体の結晶として結び付くときに放出されるエネルギーです。数値がより負であるほど、イオンは強く結び付いています。

格子エネルギーはなぜ常に負なのですか？ 固体の形成時には、エネルギーが吸収されるのではなく放出されるためです。一部の教科書では、「格子エンタルピー」を結晶を分解するために必要な正のエネルギーとして定義しています。どちらも符号が逆なだけで、同じ結合の強さを表します。

どのボルン指数を使えばよいですか？ 9は、多くのイオン化合物で妥当な結果が得られる一般的な初期値です。特定の化合物については、化学の参考資料や結晶構造データベースに、イオンの電子配置に基づくより正確な値が記載されています。

計算機の結果が教科書の値と正確に一致しないのはなぜですか？ 教科書の値は実験（ボルン–ハーバーサイクル）に基づくことが多いのに対し、この計算機は理論的なボルン–ランデ式を使います。上の例では、差はNaClで約3%、MgOで約7%です。

イオンが大きいほど、格子エネルギーは必ず低くなりますか？ 通常はそうです。大きいイオンほどイオン間距離$r_0$が大きくなります。これは式の分母に入るため、他の条件が同じなら、イオンが大きくなるほど格子エネルギーは負の程度が小さくなります。

この計算機はあらゆるイオン化合物に対応していますか？ NaCl、MgO、CaOなど、岩塩型の結晶構造を共有する単純な化合物で最もよく機能します。異なる結晶構造を持つ化合物や、共有結合性が大きい化合物では信頼性が低くなります。

参考文献

1. LibreTexts Chemistry。The Born-Landé equation。LibreTexts：ボルン–ランデ式 — 1918年にボルンとランデが定式化。ボルン指数は通常5から12。
2. 米国国立標準技術研究所。CODATA Fundamental Physical Constants (ASCII table)。NISTのCODATA定数 — アボガドロ定数 6.022 140 76 × 10²³ mol⁻¹、電気素量 1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C、真空の誘電率 8.854 187 8188 × 10⁻¹² F/m。
3. LibreTexts Chemistry（ハウスクロフト編のマップ）。Madelung Constants。LibreTexts：マーデルング定数 — NaCl（岩塩型）1.74756、CsCl 1.76267、CaF₂ 2.51939。
4. インペリアル・カレッジ・ロンドン、原子論的シミュレーショングループ。Database of Ionic Radii (Shannon), Na。シャノン半径：Na — Na⁺の六配位イオン半径 1.02 Å（102 pm）。
5. インペリアル・カレッジ・ロンドン、原子論的シミュレーショングループ。Database of Ionic Radii (Shannon), Cl。シャノン半径：Cl — Cl⁻の六配位イオン半径 1.81 Å（181 pm）。
6. WebElements。Sodium: compound properties。WebElements：ナトリウム化合物 — NaClの格子エネルギー 786 kJ/mol（熱化学サイクル）。
7. WebElements。Magnesium: compound properties。WebElements：マグネシウム化合物 — MgOの格子エネルギー 3791 kJ/mol（熱化学サイクル）。
8. 米国国立医学図書館。PubChem: Magnesium oxide。PubChem：酸化マグネシウム — 融点 2825 °C。
9. 米国国立医学図書館。PubChem: Sodium chloride。PubChem：塩化ナトリウム — 融点 800.7 °C。